Сопротивление материалов. Задачи для домашних заданий, примеры решений для студентов направления 270800 – Строительство (стр. 5 )

Расчёт бруса на прочность при сложном сопротивлении

Дан плоскопространственный консольный брус из двух стержней с ломаным очертанием осевой линии. Сечение одного стержня круглое с диаметром d, сечение другого стержня прямоугольное с заданным соотношением сторон h/b. Стержни перпендикулярны между собой, Силы направлены перпендикулярно стержням или вдоль их осей, пары сил (моменты) лежат в плоскостях, перпендикулярных одному из стержней.

Требуется:

1. Построить эпюры N, Qx, Qy, Mx, My, Mк в аксонометрии.

2. Указать вид сопротивления для каждого участка бруса.

3. Определить максимальные напряжения в опасном сечении каждого участка от внутренних усилий Nz, Mx , My и Mz (касатель­ными напряжениями от Qx и Qy  пренебречь).

4. Из расчёта на прочность по первому предельному состоянию определить размеры поперечного сечения d, b, h.

Указание. Ориентацию прямоугольного сечения относительно координатных осей выбирает студент.+

Исходные данные

Шифр	м	a м	b/h cм	F1 кН	F2 кН	Rр МПа	Rс МПа	γc
31-6	1,1	0,6	1,75	9	6	170	170	0,95

Расчётная схема Решение

Заданы расчётные значения сопротивления материала и нагрузок. Для проверки прочности балки потребуются максимальные значения поперечной силы и изгибающего момента в сечениях. Поэтому необходимо построить соответствующие эпюры.

Искомые размеры поперечных сечений зависят от внутренних сил. Поэтому займёмся их определением с помощью метода сечений. Чтобы не вычислять специально опорные реакции, в методе сечений будем рассматривать отсечённые части, не включающие заделку. Рассмотрим каждый участок отдельно.

Участок BC. Отсечённая часть представлена на рис. 2. Показаны координатные оси и внутренние силы. Направления последних избираются произвольно, их действительные направления далее даются решениями уравнений. Составим уравнения равновесия и найдём из них внутренние силы

Во всех ответах получены положительные знаки, и это означает, что фактические направления внутренних сил совпадают с заранее показанными на рисунке 1.

Участок CD. Отсечённая часть представлена на рис. 3. Как и в предыдущем случае составим уравнения равновесия, и найдём внутренние силы

Для продольной силы получен знак минус, и это означает, что направление стрелки противоположно изображённому на рисунке 3, т. е. участок CD работает на сжатие.

По результатам вычислений построены эпюры N, Qy, Mx и Mк, показанные на рисунке 4. Внутренние силы Qx и My тождественно равны нулю.

Перейдём к определению размеров поперечных сечений стержня. Расчётные сопротивления материала на растяжение и сжатие равны между собой. Значит, наиболее подходящей теорией прочности является энергетическая теория прочности.

Участок BС подвергается прямому поперечному изгибу. При пренебрежении поперечной силой (значит, и касательными напряжениями) здесь расчёт должен проводиться в опасном сечении по нормальному напряжению, так как напряжённое состояние получается линейным (одноосным). Опасным сечением является сечение С с максимальным изгибающим моментом Мх = 3,6 кНм. Независимо от применяемой теории прочности условие прочности по первому предельному состоянию имеет вид

(1)

где Wх – осевой момент сопротивления поперечного сечения. Вычислим его по известной формуле для круга

Теперь условие прочности (1) после подстановок принимает вид

Решая, получим d = 6,1 см.

Участок СD находится в условиях сложного сопротивления, так как в его сечениях действуют сжимающая продольная сила, изгибающий момент, крутящий момент и поперечная сила (рис. 5), влиянием которой пренебрегаем, и поэтому не показываем. Опасным является сечение D, в котором сочетаются наибольшие значения N, Mx, Mк. Анализ рисунка показывает, что опасной точкой является Е, где суммируются сжимающие нормальные напряжения от продольной силы и изгибающего момента, и одновременно действует касательное напряжение от крутящего момента. Здесь создаётся плоское напряжённое состояние, условие прочности которого по энергетической теории имеет вид

(2)

Выпишем площадь и моменты сопротивления прямоугольного сечения при изгибе и кручении

Здесь α =0,239 – табличный коэффициент для прямоугольного сечения при h/b = 0,75. Нормальное и касательное напряжения в точке Е будут

η = 0,82 - табличный коэффициент для прямоугольного сечения при h/b = 0,75, учитывающий, что точка Е находится в середине короткой стороны прямоугольника.

Вычислим правую часть условия прочности (2)

Rрγс = 170·0,95 = 161,5 МПа =161,5·103 кПа.

После подстановок условие прочности (2) принимает вид

(3)

Записанное в виде равенства оно представляет собой уравнение с неизвестным b. Определение его корня точными методами затруднительно и требует громоздких преобразований и вычислений. Поэтому применим простой метод итераций (последовательных приближений). С этой целью дробь в подкоренном выражении, содержащую b2, преобразуем, умножив числитель и знаменатель на b.

После несложных преобразований уравнение принимает вид

(4)

Итерационный процесс организуем по формуле, вытекающей из (4)

(5)

Для начала примем, что b1 = 0, и далее проведём вычисления, следуя (5). Итоги счёта в табличной форме

k	1	2	3	4	5
b, см	0	4,5	4,52	4,523	4,523

Вычисления прекращаются, так как заметного уточнения b, уже не происходит. Принимаем, что b= 4,52 см. Из условия задачи находим второй размер h = 1,75b = = 1,75·4,52 = 7,91 см.

В середине длинной стороны прямоугольника G касательные напряжения являются наибольшими, поэтому проверим прочность при найденных значениях сечения. Здесь напряжения будут

Очевидно, что условие прочности (2) выполняется. Поэтому найденные размеры являются окончательными.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Второе число шифра	м	a м	b/h cм	F1 кН	F2 кН	M кНм	Rр МПа	Rс МПа	γc
1	1,0	0,6	1,5	10	8	7	180	180	0,90
2	0,8	0,5	1,75	7	5	6	80	200	1,00
3	1,1	0,7	1,5	9	7	6	17	1,6	0,85
4	0,7	0,4	1,75	6	4	5	90	220	0,95
5	0,9	0,5	1,75	8	6	7	80	210	0,90

Задача 9

Определение перемещений в балках при прямом изгибе

Для заданной балки при прямом изгибе требуется:

1.Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил от заданных нормативных нагрузок.

2.Подобрать сечение балки в виде стального прокатного двутавра по методу предельных состояний, приняв коэффициент надежности по нагрузке равным γf=1,2. Расчетное сопротивление стали по пределу текучести R = 210 МПа, коэффициент условий работы γс = 1.

3.Определить с помощью метода начальных параметров значения прогибов v и углов поворота φ поперечных сечений в характерных сечениях балки от нормативных нагрузок. По полученным значениям построить эпюры v и φ, указав их особенности (экстремумы, скачки, изломы и точки перегиба). Определить числовые значения прогибов в сантиметрах и углов поворота сечений в радианах, приняв модуль упругости стали Е=210 ГПа.

Исходные данные

Шифр	l, м	a, м	b, м	M, кНм	q, кН/м
31-6	2,0	1,4	1,0	16	30

Расчётная схема Решение

Заданная расчётная схема балки изображена на рис. 1. Вначале произведём расчёт несомой балки AC, имеющей условную шарнирную опору в сечении С (рис. 2а).

Определяем опорные реакции. Балка является статически определимой, поскольку для определения трёх опорных реакций можно составить два уравнения равновесия и дополнительное уравнение для левой или правой части балки.

Расчёт проведём с помощью поэтажной схемы. Разрежем мысленно балку по промежуточному шарниру С. Балка AC не может работать самостоятельно и опирается на несущую балку СG. Разбиваем балку на несомую CG и несущую AC части (балки). Производим статический расчёт несомой балки AC (рис. 2б).

.

, .

Опорную реакцию прикладываем к несущей балке и определяем опорные реакции

,

, .

Эта реакция направлена вниз. Вычислим поперечные силы и изгибающие моменты для характерных сечений.

Балка .

,

.

.

Между точками A и B находится сечение с экстремальным значением изгибающего момента, так на этом участке приложена распределённая нагрузка, и поперечная сила меняет знак с плюса на минус. Найдём координаты этого локального максимума, затем и значение изгибающего момента. По рис. 2в

.

Отсюда . Следовательно

.

Балка .

.

Для построения криволинейной эпюры на участке вычислим ещё одно значение

.

По результатам вычислений построены эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, приведённые на рис 2в, 2г.

Подбор сечения балки из стального двутавра производится по методу предельных состояний из условия

. (1)

Из эпюры 2г наибольшее значение изгибающего момента, найденное по нормативным нагрузкам, равно . Значит, расчётное значение

.

Из (1) требуемый момент сопротивления

.

Берём из таблицы двутавр № 16. Его данные:

.

Определим с помощью метода начальных параметров значения прогибов v и углов поворота φ поперечных сечений в характерных сечениях балки от нормативных нагрузок. Соответствующие формулы имеют вид

(2)

(3)

В правые части (2) и (3) включаются лишь те кинематические и статические факторы, которые находятся левее рассматриваемого сечения. Равномерно распределённая нагрузка должна быть продолжена до правого конца, так как пользование данными формулами предполагает её непрерывность по всей длине балки. В свою очередь, для обеспечения эквивалентности образующейся балки заданной балке приходится прикладывать распределённую нагрузку на участке BG, но уже направленную вверх (пунктиры на рис 2а).

При конкретизации формул (2), (3) применительно к данной расчётной схеме получим для последнего правого участка

, (4)

(5)

Здесь знак минут при заданной распределённой нагрузке обусловлен направлением вниз.

Для вычислений по (2), (3) необходимо установить начальные параметры и взаимный угол поворота сечений в промежуточном шарнире. В этих целях воспользуемся условиями опирания балки по рис. 1. Левый конец, совпадающий с началом координат (рис. 2а), оперт шарнирно, из чего следует равенство нулю начального параметра, т. е. v0 = 0.

Из-за наличия опор в точках прогибы должны равняться нулю

.

Подставляя в (5) значения аргументов и параметров запишем два уравнения

,

.

Здесь введено обозначение

.

После простейших преобразований уравнения получает вид

Решение системы уравнений даёт

.

Вычисления, проведённые по компьютерной программе, дали эпюры на рис. 2д, 2е.

Второе число шифра	l, м	a, м	b, м	F, кН	M, кНм	q, кН/м
1	1,4	2,0	1,0	24	16	30
2	2,2	1,2	1,2	16	18	20
3	1,2	2,2	1,4	24	15	18
4	1,6	1,6	1,4	22	18	24
5	1,8	1,4	1,0	18	14	26