Сопротивление материалов. Задачи для домашних заданий, примеры решений для студентов направления 270800 – Строительство (стр. 1 )

Министерство ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

уНИВЕРСИТЕТ им. »

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Задачи для домашних заданий, примеры решений

Для студентов направления 270800 – Строительство

Нальчик

2013

УДК 539.3/.6

ББК 30.121

С

Рецензент:

кандидат тех. наук, доцент кафедры

строительных конструкций и сооружений Кабардино-Балкарской

государственной сельскохозяйственной академии

Культербаев материалов [Текст] : задачи для домашних заданий, примеры решений. . – Нальчик : Каб.-Балк. ун-т, 2013. – 94 с. – 200 экз.

Издание содержит 14 задач, из которых могут быть составлены различные домашние задания для студентов: курсовые работы, контрольные работы, расчётно-проектировочные работы и т. д. Для каждой задачи приведены 30 вариантов расчётных схем и 5 вариантов исходных данных. По всем задачам приведены примеры решения.

Предназначено для студентов вузов, обучающихся по направлению подготовки 270800 – «Строительство» в бакалавриате. Содержание пособия соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту третьего поколения и примерной программе дисциплины «Сопротивление материалов», рекомендованной учебно-методическим объединением высших учебных заведений Российской Федерации по образованию в области строительства.

УДК 539.3/.6

ББК 30.121

© Кабардино-Балкарский

государственный университет, 2013

ПРЕДИСЛОВИЕ

Курс сопротивления материалов играет важную роль в обеспечении фундаментальной базы профессиональной подготовки будущих специалистов в области строительства, вследствие чего Госстандартами высшего профессионального образования для его изучения отводится значительное время.

Овладение практическими методами расчётов на прочность, жёсткость и устойчивость элементов зданий и сооружений является важнейшей задачей преподавания данной дисциплины. Поэтому в учебных занятиях по её изучению большой объём занимают не только аудиторные занятия, но и выполнение домашних заданий. В зависимости от содержания учебных планов и рабочих программ студентам всех форм обучения предлагается множество домашних заданий: курсовые работы, контрольные работы, расчётно-проектировочные работы и т. д.

При выполнении и оформлении домашних заданий студент сталкивается с множеством вопросов, которые не излагаются или недостаточно поясняются в теоретической части дисциплины; у него возникают трудности изложения хода решения задачи, способов аргументирования принимаемых решений, структурирования и оформления записей и т. д.

Испытывают затруднения и преподаватели: им приходится часто пересматривать объёмы, содержание и структуру домашних заданий; составлять многочисленные варианты задач; обеспечивать своевременную выдачу несовпадающих заданий в массовом порядке; проводить многочисленные консультации и разъяснения рутинного характера и т. д. Данное пособие предназначено для уменьшения трудностей перечисленного характера в условиях массового обучения. Оно содержит 14 базовых задач, охватывающих по своей тематике основные разделы курса:

1. Растяжение – сжатие упруго-пластической статически неопределимой стержневой системы.

2. Определение грузоподъёмности чугунной балки при прямом поперечном изгибе.

3. Внутренние силы в сечениях криволинейного стержня и расчёты на прочность.

4. Внутренние силы при изгибе рамы.

5. Внутренние силы в балках с промежуточным шарниром.

6. Определение перемещений при изгибе плоской рамы

7. Пространственное напряжённое состояние в точке и прочность.

8. Расчёт бруса на прочность при сложном сопротивлении.

9. Определение перемещений в балках при прямом изгибе

10. Расчёт плоской статически неопределимой рамы.

11. Внецентренное сжатие с изгибом.

12. Расчёт балки на упругом основании.

13.Рациональное сечение сжатой стойки при продольном изгибе

14. Продольно-поперечный изгиб стержней.

Объёмы и содержание задач позволяют при соответствующем комбинировании составить любой из указанных типов домашних заданий. По каждой из перечисленных задач в пособии приведены: условие, численные исходные данные (5 вариантов), расчётные схемы (30 вариантов), конкретный пример решения с подробными объяснениями.

Учебное пособие составлено на основе опыта преподавания курса сопротивления материалов и организации самостоятельной работы студентов на инженерных специальностях Кабардино-Балкарского государственного университета. В нём учтены рекомендации «Примерной программы дисциплины «Сопротивление материалов», Москва 2012 г.», рекомендованной учебно-методическим объединением высших учебных заведений Российской Федерации по образованию в области строительства.

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЙ

Следующие методические указания являются общими для всех работ:

1. Каждый студент курса выполняет в течение семестра и учебного года домашние задания, предусмотренные утверждёнными рабочими программами сопротивления материалов. Их структура, формы, последовательность выполнения, индивидуальные шифры студентов для выбора вариантов заданий сообщаются преподавателем в начале учебного года (семестра).

2. Исходные данные к задачам выбираются студентом самостоятельно согласно индивидуальному шифру, состоящему из двух чисел. По первому числу берутся номера схем, чертежей и т. д., по второму – соответствующие количественные данные и единицы их измерений.

3. Каждая работа оформляется отдельно со своим титульным листом. Задание должно быть оформлено на стандартных листах писчей бумаги 210×297 мм, сброшюрованных в альбом с обложкой. На страницах работы должны быть указаны их номера. Титульный лист (обложка) оформляется в зависимости от формы задания по предлагаемому ниже образцу.

4. В расчётных схемах, как правило, имеются отклонения от нормативных данных в несколько процентов, так как нагрузки, геометрические размеры, свойства материала, коэффициент запаса прочности, допускаемое напряжение и т. д. невозможно определить точно. Поэтому не следует проводить вычисления с излишне большим числом значащих цифр. Сохранение в записи числа (результатах вычислений) трёх значащих цифр обеспечивает необходимую точность.

5. Чертежи необходимо выполнять карандашом невысокой твердости (ТМ, М), а записи вести ручкой или карандашом, соблюдая чертёжные шрифты. Схемы, чертежи, эпюры должны быть выполнены с соблюдением масштабных соотношений, с применением чертёжных инструментов.

6. В начале каждой задачи должны быть приведены её номер, текст условия, расчётная схема и таблица исходных данных. Далее следуют текст решения и ответы на поставленные вопросы. Все выкладки должны представлять собой стройную логическую последовательность и сопровождаться лаконичным пояснительным текстом. При этом не допускается сокращение слов кроме общепринятых. Не следует копировать или пытаться аналогично воспроизвести весь пояснительный текст примеров решений, данных в пособии. В большинстве случаев достаточно кратких пояснений, комментариев или приведения названий вычисляемых величин.

Образец оформления титульного листа

КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х. М. БЕРБЕКОВА ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Выбрать: КУРСОВАЯ РАБОТА РАСЧЁТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНАЯ РАБОТА КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Тема:_______________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ Исполнитель: Направление «Строительство» 2 курс, 1 группа Форма обучения – очная (заочная) Шифр: 31–6 Руководитель: Дата сдачи: _________ Нальчик – 2013

7. Каждый пункт решения должен при необходимости содержать вспомогательные чертежи или эскизы, расчётную формулу в общем виде, числовое повторение (подстановку) этой формулы и ответ. В промежуточных и окончательных ответах необходимо проставлять единицы измерения получаемых величин.

8. Тексты задач являются общими для всех вариантов заданий. Поэтому в некоторых задачах расчётные схемы могут не содержать всех элементов, о которых говорится в условии задачи. В таких случаях из текста задачи и таблицы исходных данных необходимо исключить лишнее.

9. Как правило, при проверке работы преподавателем обнаруживаются ошибки, неточности в расчётах и чертежах, которые студенту необходимо исправлять. Если замечания мелкие и немногочисленные, их можно устранить прямо на первоначальных листах чертежей и записей. Если же они таковы, что вносимые исправления мешают обозреванию и восприятию документа, работа полностью оформляется вновь. При повторном представлении работы необходимо прилагать первоначальные записи и чертежи с замечаниями, что ускорит её проверку.

10. Каждая работа принимается с защитой и выставлением оценки. При этом учитываются качество выполнения задания, теоретические знания студента по теме, его умения и навыки решения конкретных практических задач. При неудовлетворительной защите работа не засчитывается, студенту предлагается повторная защита или выдаётся другое задание для выполнения вновь.

11. Работа считается завершённой лишь в том случае, если она зачтена преподавателем и об этом объявлено студенту.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ И ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Задача 1

Растяжение – сжатие упруго-пластической статически

неопределимой стержневой системы

Шарнирно-стержневая система состоит из тяг, материал которых является идеально упруго-пластическим, и абсолютно жёсткого бруса. Требуется:

1. Вычислить силу F = Fт, при достижении которой в одной из тяг начинаются пластические деформации, и соответствующие ей значения продольных сил в тягах N1Т, N2Т и перемещения dBТ точки B;

2. Вычислить предельную нагрузку F = Fпр и соответствующие ей значения продольных сил в тягах N1пр, N2пр и перемещения dВпр= dВ(Fпр–0).

3. Определить допускаемую нагрузку из расчётов по допускаемым напряжениям и разрушающим нагрузкам и сравнить результаты.

4. Построить графики функций: N1(F), N2(F), dB(F); когда сила F возрастает от 0 до F = Fпр+ 0.

5. Изобразить на рисунке деформированное состояние системы.

Примечание: если в расчётной схеме задачи абсолютно жёсткий брус отсутствует, то подчёркнутое в тексте задачи пропускается, в противном случае пишется без подчерка.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Шифр	l м	A мм2	sT МПа	E ГПа	a0 град.	nТ
31–6	1	240	250	200	20	1,6

Расчётная схема Решение

На расчётной схеме обозначим номера стальных тяг 1, 2, опорные реакции R1, R2, R3, R4 , точки С, G.

Значение силы FТ найдётся из условия

|si| = sT,

где si – нормальные напряжения в поперечных сечениях тяг, получаемые из «упругой» задачи. Для их определения сначала найдем опорные реакции R1, R2, затем продольные силы N1, N2.

В данной плоской упругой системе возникают 4 опорные реакции, в то время как для их определения имеются лишь 3 уравнения равновесия. Поэтому она является один раз статически неопределимой. Степень статической неопределимости определяется как разница 4 – 3 = 1.

Нет необходимости находить опорные реакции R3 и R4, так как они в дальнейших расчётах не применяются. Поэтому определим лишь R1 и R2. Составим уравнение равновесия. Но из всевозможных уравнений равновесия выберем равенство нулю суммы моментов относительно точки G, так как оно содержит именно те неизвестные опорные реакции R1, R2, которые необходимы в расчётах. Другие уравнения равновесия не составляем, так как они содержат R3, R4. Итак, имеем

å МG = 0, R1a+ R2cosa 2a – F 2a = 0.

Сократим на а и получим

R1+ 2R2cosa = 2F. (1)

К уравнению (1) необходимо добавить второе уравнение, содержащее те же неизвестные R1, R2. Для его составления покажем на рисунке деформированное состояние конструкции (пунктирные линии). Обозначим точки C΄, D. Ввиду малости деформаций перемещения BB΄, CC΄ считаются вертикальными, C΄D^CD, BB΄= Dl1, CD = Dl2. Из подобия треугольников GBB΄ и GCC΄ следует

Þ 2BB'=CC' , т. е. 2D l1 = (2)

По закону Гука

Dl 1 =, Dl2 = .

Подставим в (2) и запишем

= или R2 = 2R1cosa. (3)

(1) и (3) образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно R1 и R2. Решая, получим

R1 = R2 =

Обозначим

c1 = cos a = cos 20˚ = 0,9397, c2 = 2/(1 + 4 cos2a) = 2/(1 + 4· 0,93972) = 0,4413,

l1 = l / EA = 1 / 200 · 109 · 240 · 10-6 = 2,083 · 10-8 м / Н.

Найдём продольные силы:

N1 = R1 = Fc2, N2 = –R2 = –2Fc1c2 (4)

и перемещение точки B

dB = Dl 1 = = N1l1. (5)

Теперь можно найти формулы для нормальных напряжений в поперечных сечениях тяг:

s1 = N1/A = Fc2/A = 0,4413 F/A, s2 = N2/A = -2Fc1c2/A = - 0,8294 F/A. (6)

Из сравнения видно, что напряжение во второй тяге по абсолютному значению больше, чем в первой, т. е. | s2 | > s1, поэтому пластические деформации при возрастании силы F возникнут раньше во втором стержне. Найдём формулу для определения FТ. С этой целью приравняем большее из напряжений по модулю к пределу текучести материала

| s2 | = sT

или, что то же самое

0,8294 F/A = sT.

Отсюда

F = FТ = sTA / 0,8294 = 250 · 106 · 240 · 10-6 / 0,8294 = 72340 Н = 72,34 кН.

Этому значению нагрузки соответствуют продольные силы в тягах, определяемые формулами (4)

N1Т = 72,34 · 0,4413 = 31,92 кН, N2Т = - 2 · 72,34 · 0,9397 · 0,4413 = –60 кН

и перемещение точки B, вычисляемое формулой (5)

dBТ = N1Тl1 = 31920 · 2,083 ·10-8 = 0,665 · 10-3 м = 0,665 мм.

По значению силы FТ можно найти допускаемое значение:

[F]т = FТ / nТ = 72,34 / 1,6 = 45,21 кН.

Такой метод расчётов называется расчётом по допускаемым напряжениям. Второй и более точный метод расчётов – это расчёт по разрушающим нагрузкам (другое название – расчёт по несущей способности). Предельное состояние или исчерпание несущей способности системы наступит при достижении силой F предельного разрушающего значения, т. е. при F = Fпр, когда в обеих тягах напряжения будут равны пределу текучести sT:

s1 = sT, s2 = –sT.

Тогда продольные силы достигнут предельных значений, т. е. оба стержня «потекут», продольные силы достигнут значений:

N1пр = sT A = 250·106 · 240 · 10-6 =

60000 Н = 60 кН, N2пр = –sT A = –60 кН.

Здесь на рис. 2 стержни, в которых уже наступила текучесть, заштрихованы.

Найдём предельную нагрузку Fпр. Составим уравнение равновесия:

å МG = 0, N1пр а - N2пр c1 2а – Fпр2а = 0, 60 + 2 · 60 c1 = 2Fпр.

Отсюда

Fпр = 60 (1+2с1) / 2 =+ 2 · 0,9397) = 86,38 кН.

[F]пр = Fпр / nТ = 86,38 / 1,6 = 53,99 кН.

Разница результатов, полученных двумя методами расчётов на прочность, составляет

Перемещение dBпр = dB(Fпр – 0) вычисляется при F = Fпр – 0. Это означает, что вторая тяга уже «течёт», а первая продолжает оставаться в упругой стадии деформирования, хотя находится на «пределе», т. е. накануне текучести, так что N1 = 60 кН. К первой тяге ещё можно применять закон Гука. Следовательно,

dBпр = 60000 · 2,083 ·10-8 = 1,25 · 10-3 м = 1,25 мм.

По результатам вычислений построены графики функций (рис. 3, 4): N1(F), N2(F), dB(F); когда сила F возрастает от 0 до F = Fпр+ 0.

Рис. 3

Рис. 4

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Второе число шифра	l м	A мм2	sT МПа	E ГПа	a град.	nт
1	1,2	200	250	200	20	1,6
2	1,3	210	330	200	40	1,8
3	1,4	220	240	210	50	2,0
4	1,5	230	360	210	70	2,2
5	1,6	240	320	200	40	1,6

Задача 2

Определение грузоподъёмности чугунной балки

при прямом поперечном изгибе

Заданы раcчётные схемы и исходные данные к прямому поперечному изгибу чугунных балок.

Требуется определить грузоподъёмность из расчёта на прочность по первому предельному состоянию.

Исходные данные

Шифр	м	a м	b cм	h cм	c cм	Rр МПа	Rс МПа	γc
31-6	1,7	0,8	12	8	3	60	160	0,9

Расчётная схема Решение

Заданы расчётные сопротивления чугуна на растяжение и сжатие и геометрические размеры балки (рис. 1). Необходимо определить грузоподъёмность балки, т. е. установить максимальные расчётные значения нагрузок. Для их вычисления воспользуемся условиями прочности балки из хрупкого материала, имеющего разные расчётные сопротивления на растяжение (Rр) и сжатие (Rc).

(1)

(2)

Искомые расчётные нагрузки должны удовлетворять обоим условиям прочности.

Опасным является сечение с максимальным значением изгибающего момента Мmax. Для его определения необходимо построить эпюру изгибающих моментов. Проведём координатные оси y и z, как отмечено на расчётной схеме. Покажем опорные реакции R1 и R2. При определении изгибающих моментов понадобятся опорные реакции, потому определим их с помощью уравнений равновесия. Сначала составим уравнение равновесия, которое будет содержать только одно из неизвестных. Наметим точку О и составим уравнение

Опорную реакцию R1 найдём из второго уравнения равновесия

Поскольку к балке не приложена распределённая нагрузка, для построения эпюры достаточно вычислить значения изгибающих моментов в характерных сечениях. Изгибающий момент в сечении А и во всех сечениях консольной части

По результатам вычислений построены эпюры M и Q, показанные на рис. 1.

Перейдём к определению осевых моментов сопротивления для растянутых и сжатых волокон заданного поперечного сечения балки. Данное сечение состоит из двух прямоугольников (рис. 1). На более крупном рисунке (рис. 2) обозначим их номерами 1 и 2, наметим центры тяжести для каждого соответственно: C1, C2. Проведём через них координатные оси, собственные для каждого элемента и обозначим их: x1, y, x2. Ввиду симметричности фигуры, вертикальные центральные оси обоих элементов совпадают и такая общая ось является центральной для всего сечения. По этой причине введена только одна ось y – ов. Нанесём на чертёж основные размеры.

Поскольку центр тяжести сечения лежит на оси y - ов, нет необходимости в отыскании его координаты хС. Для вычисления второй координаты yC проведём вспомогательную ось x0.

Предварительно определим геометрические характеристики для каждого элемента, необходимые для последующих вычислений.

Прямоугольник 1. Площадь сечения

,

координата центра тяжести С1 в системе осей x0y

Осевой момент инерции

Прямоугольник 2. При аналогичных обозначениях

Общая площадь сечения

A = A1 + A2 = 24 + 54 = 78 см2.

Координата центра тяжести сечения