Муниципальное образовательное учреждение
«Цивильская средняя общеобразовательная школа №2»
Конкурс педагогического мастерства
«Мой лучший урок»
Урок геометрии в 7 классе
«Что значит доказать?»
Автор:
учитель математики, 1 категория
Цивильск
2007
1.Оранизационный момент. Цель урока.
Сегодня мы с вами постараемся в течение урока познать смысл слова «доказать».
Для успеха нашей работы я прошу вас «не закрывать рот мыслям», не стесняться высказываться, при обсуждении слышать то, что говорит ваш товарищ. Я подчеркну ещё раз - «слышать». Остальное сделает ваша фантазия, воображение.
2.Объяснение смысла слова «доказать».
В жизни всё время, ежедневно в общении с другими людьми, вам приходиться отстаивать своё мнение, убеждать в чём-либо, т. е. доказывать.
Что же значит доказать?
На доске написаны слова: (работа в группах)
Высказаться разобрать аргументировать
Раскрыть установить решить
Осмыслить обосновать понять
Убедить растолковать найти
Объяснить рассудить опровергнуть
Показать потребовать построить
Рассказать сделать вывод смоделировать
Отрицать разложить развить
Проверить догадаться потребовать
Выберите одно – два слова, которые с вашей точки зрения, наиболее полно отражают смысл требования «доказать» и защитите свой выбор.
Ответы ребят:
А теперь послушайте, как объясняется слово «доказательство» в различных словарях и справочниках:
«Доказательство – установление (обоснование) истинности высказывания, суждения, теории »
Сов. энциклопедический словарь. –
М.: Сов. энциклопедия, 1987.
«Доказательство – цепочка умозаключений, устанавливающая истинность данного суждения»
Энциклопедический словарь юного математика.-
М.:Педагогика, 1985.
«Доказательство – логическое действие, в процессе которого истинность какой-либо мысли обосновывается с помощью других мыслей»
Кандаков
словарь. – М.: Наука, 1975
А сейчас предлагаю такую ситуацию: Вы попали к жителям другой планеты. Они мгновенно едят всех пришельцев, кроме землян. Вам надо доказать, что вы – земляне. Приведите убедительные аргументы:
Удачные ответы: 1)Назову земное время: год, число, месяц.
2)У меня есть сердце.
3)Я говорю по-человечески.
4)У меня два уха и они не такие,
как у жителей др. планеты.
5)Покажу свой дневник.
А теперь убедите меня, что Париж – столица Франции. ???
Сейчас, вы отстаивали своё мнение, по существу производили доказательство.
В других науках или в житейских обстоятельствах мы для доказательства часто прибегаем к примеру, опыту. Мы говорим: «Смотри!» - и это может служить доказательством. В математике такой способ доказательства недопустим, ссылаться на очевидные отношения нельзя.
Математическое доказательство отличается от доказательства в житейских условиях тем, что оно совершается выведением новой доказываемой мысли из ранее доказанных или принятых без доказательства (аксиом) по правилам логики.
С доказательством мы встречаемся при изучении обеих математических дисциплин и алгебры, и геометрии.
3.Доказательство в геометрии.
Отцом геометрии легенда считает Фалеса – ионийского купца, путешественника и философа. Фалеса причисляют к числу семи мудрецов древности. Именно ему приписывают изречение «Познай себя», которое высечено в храме Аполлона в Дельфах. Считается, что Фалес первым, анализируя геометрические истины, задался вопросом: «почему». Ведь совершенно ясно, что две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются. Однако, почему? Фалесу принадлежат первые доказательства геометрических теорем. А это, как вы убедились, самое трудное.
1) Давайте повторим, на какие две части можно разбить формулировку теоремы?
- на первом месте, после слова «если», стоит условие,
на втором, после слова «то» - заключение.
Обозначим условие теоремы через А, заключение – через В. Тогда теорему можно выразить так: «Если есть А, то есть В».
Как будет называться суждение «Если есть В, то есть А»
- обратной теоремой.
Для словесного выражения теорем используют категорическую и условную формы.
Категорическая форма «В равнобедренном треугольнике углы при основ. равны». Сформулируйте в виде условного предложения эту теорему
- если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны»
А теперь обратную теорему:
- Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.
Сформулируйте в виде условного предложения теорему о свойстве вертикальных углов:
- Если углы вертикальные, то они равны.
А теперь обратную теорему
- Если два угла
равны, то они вертикальные.
Сделайте вывод о справедливости обратной теоремы.
2)Научиться доказывать теоремы очень трудно. Однако специально зазубривать доказательство не нужно. Чтобы не заблудиться в лесу, мы обычно запоминаем какие-то отметины, по которым можно будет потом ориентироваться. Так и при изучении математики в голове следует создавать «опоры», «вехи» с помощью которых можно воспроизвести рассуждения и запомнить.
Всякий шаг доказательства состоит из 3-х частей:
|
Давайте составим схему шагов доказательства теоремы о медиане равнобедренного треугольника, проведенной к основанию
Дано:
ABC - равнобедренный
CD - медиана
Доказать: CD – высота.
Посылка | условие | следствие |
Определение равнобедренного треугольника |
| AC=ВС (1) |
Теорема о равенстве углов при основании |
|
|
Определение медианы | CD - медиана | AD=BD (3) |
1 признак равенства треугольников | (1), (2), (3) |
|
Определение равенства треугольников | (4) |
|
Определение смежных углов |
| Эти углы смежные (6) |
Определение прямого угла | (5).(6) |
|
Определение высоты | (7) | CD - высота |
равнобедренный
А=
=
(4)
=
(5)Самое трудное в доказательстве это найти последовательность посылок, которые мы применяем к условиям теоремы или к промежуточным результатам рассуждений.
Какими же правилами нужно пользоваться при поиске этой последовательности?
1.Полезно заменять названия объектов, о которых идет речь в теореме их определениями или признаками.
= Где при док-ве этой теоремы мы так поступали?
2.Если можно, то нужно раздробить доказываемое на части и доказывать каждую в отдельности
= При док-ве каких теорем мы так поступали?
3.Полезно в поисках доказательства идти с двух сторон: от условия к заключению и от заключения к условию.
4.Попробовать сказать одним предложением в чём главная мысль доказательства.
Сущности доказательства изученных теорем:
= В теореме о сумме смежных углов нужно сравнить эту сумму с величиной развернутого угла
= При доказательстве 1-го признака равенства треугольников надо показать, что один треугольник при наложении полностью совмещается с другим
= При доказательстве теоремы о биссектрисе равнобедренного треугольника, проведенной к основанию, следует доказать равенство двух треугольников, на которые разбивается данный.
= При доказательстве признака параллельности двух прямых через равенство накрест лежащих углов.
3) В ряде случаев для доказательства теорем используют особый прием, называемый «доказательством от противного»
Проиллюстрируйте применение этого метода в решении задачи:
Задача: Луч ОС разбивает угол АОВ на два угла, величины которых относятся как 2:7 и один угол больше другого на 90 градусов. Докажите, что данный угол не является развернутым.
Дано:
=2:7
Доказать:
не явл. развернутым
Доказательство:
Предположим, что является развернутым, тогда =180
.
Пусть одна часть х. Тогда 
.
Имеем 2х+7х = 180
9х = 180
x = 20
-40 = 100. что противоречит условию.
Значит, предположение, что угол АОВ – развернутый неверно, угол АОВ не является развернутым.
4)Подтвердите или опровергните следующие утверждения:
- Медиана делит треугольник на две равные части
- Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны
- Если один из смежных углов прямой, то другой тоже прямой.
- Если один из смежных углов острый, то другой тоже острый.
- Если периметр одного треугольника равен периметру другого треугольника, то такие треугольники равны.
4. Доказательство в алгебре.
Алгебра представляет также широкие возможности, чтобы научиться правильно и последовательно рассуждать. Рассмотрим несколько ситуаций, в которых требуется рассуждать при изучении алгебраического материала.
Ситуация 1: Оканчивается ли единицей число 3
при любом натуральном k .
Решение:
Здесь надо сначала высказать гипотезу («да» или «нет»), а затем либо её подтвердить, либо опровергнуть.
= Как высказать гипотезу? Рассмотреть частные случаи:
Если k=1. то 3
= 
Если k=2. то 3
= (3
)
=
= ….1
Если k=3. то 3
= (3)
= 
В общем виде: 3
= (3)=81=
=…1
Ситуация 2: Докажите, что 16+ 2
кратно 3.
Решение:
Здесь сразу видно, что высказывание истинно
16+2=(2)+2= 2+ 2= 2( 1+ 2
) = 2*33
5. Логические задачи
Учиться рассуждать полезно и при решении логических задач.
1) Потребовалось составить расписание уроков. Математик просил, чтобы его урок был первым или вторым, историк пожелал первый или третий; литератор просил второй или третий. Как составить расписание, чтобы пожелания всех учителей были удовлетворены?
1 урок | 2 урок | 3 урок | |
Математик | + | + | |
Историк | + | + | |
Литератор | + | + |
Пусть
1 урок | 2 урок | 3 урок | |
Математик | + | - | - |
Историк | - | - | + |
Литератор | - | + | - |
Или
1 урок | 2 урок | 3 урок | |
Математик | - | + | - |
Историк | + | - | - |
Литератор | - | - | + |
Резерв: Могу предложить вам еще одну интересную задачу:
Представьте, что перед вами двое совершенно неотличимых близнецов. Один всегда лжет, другой всегда говорит правду. Одного из близнецов зовут Джон.
Неизвестно кто лжет – Джон или его брат.
Предположим, что вам встретились близнецы, и вы хотите узнать, кто из них Джон. Каждому из них вам разрешается задать только один вопрос, на который они ответят односложно: «да» или «нет». Сам вопрос должен состоять из трех слов. Какой вопрос вы бы задали?
Ответ: «Джон говорит правду?»
Если последует ответ «да», то независимо от того лжет ли этот близнец или всегда говорит правду, он должен быть Джоном.
Если же он ответит «нет», то Джоном зовут его брата.
ОЦЕНКИ.
6. Итог урока.
Итак, мы попробовали систематизировать свои умения доказывать. А это очень важно, ведь способность доказывать приучает вас к самостоятельности, умению убеждать, находить всякие доводы, чтобы защитить свою точку зрения.
