Механика. Молекулярная физикаи термодинамика. Электричество и магнетизм. Колебания и волны. Оптика. Элементы квантовой механики, атомнойи ядерной физики (стр. 2 )

Законы и формулы к выполнению задач по теме №1

Кинематика

Поступательное движение

1.  Уравнение движения материальной точки (или центра масс абсолютно твердого тела), движущейся равномерно вдоль оси x: , (1.1)

движущейся равноускоренно вдоль оси x: . (1.2)

Для прямолинейного движения разность между конечной (x) и начальной (x0) координатами тела равна пройденному пути S.

2.  Закон изменения скорости при равноускоренном движении:

. (1.3)

Здесь и – скорость тела в начальный момент времени и в момент времени t соответственно, a – линейное ускорение.

3.  Средняя путевая скорость:

, (1.4)

где ΔS – величина пути, пройденного телом за интервал времени Δt.

4.  Тангенциальное ускорение:

. (1.5)

5.  Нормальное ускорение:

, (1.6)

где R – радиус кривизны траектории.

6.  Полное ускорение:

. (1.7)

Вращательное движение

7.  Уравнение движения материальной точки (или центра масс абсолютно твердого тела), движущейся равноускоренно по окружности радиуса R:

. (1.8)

8.  Закон изменения скорости при равноускоренном движении:

. (1.9)

Здесь Δφ – угол поворота тела за время t, ω0 и ω – угловые скорости тела в начальный момент времени и в момент времени t соответственно, ε – угловое ускорение.

9.  Угловая скорость ω связана:

с линейной скоростью : , (1.10)

с линейной частотой ν: , (1.11)

с периодом колебаний Т: . (1.12)

10.  Угловое ускорение ε связано с тангенциальной составляющей линейного ускорения aτ соотношением

. (1.13)

11.  Угловая скорость ω связана с нормальной составляющей линейного ускорения an соотношением

. (1.14)

Динамика

Поступательное движение

12.  Второй закон Ньютона:

. (1.15)

– геометрическая сумма сил, действующих на тело, m – масса тела.

13.  Третий закон Ньютона:

, (1.16)

где – сила, действующая на первое тело со стороны второго, а – сила, действующая на второе тело со стороны первого.

14.  Силы в механике:

·  сила упругости , где x – величина упругой деформации тела, k – коэффициент упругости;

·  сила тяжести , где – ускорение свободного падения;

·  сила трения (скольжения) , где μ – коэффициент трения,

N – сила нормального давления (сила реакции опоры).

15.  Импульс материальной точки (твердого тела) массой m:

. (1.17)

16.  Закон сохранения импульса изолированной системы тел:

. (1.18)

17.  Кинетическая энергия тела:

. (1.19)

18.  Потенциальная энергия:

·  упругодеформированной пружины , (1.20)

где k – жесткость пружины, x – величина деформации;

·  тела, находящегося в однородном поле силы тяжести , (1.21)

где h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой (имеется при этом в виду, что h<<R, где R – радиус Земли).

19.  Закон сохранения механической энергии:

, (1.22)

где E – полная энергия изолированной системы.

20.  Работа постоянной силы:

, (1.23)

где S – перемещение тела под действием силы F, α – угол между направлением силы и направлением перемещения.

21.  Связь работы сил, действующих на тело, и кинетической энергии тела:

, (1.24)

где ΔE – изменение полной энергии системы под действием внешних сил.

Вращательное движение

22.  Модуль момента силы относительно неподвижной точки О:

, (1.25)

где r – модуль радиус-вектора, проведенного из точки О, через которую проходит ось вращения в точку приложения силы F; α – угол между радиус-вектором и вектором силы. Направление вектора момента силы совпадает с направлением поступательного движения правового винта при его вращении от к .

23.  Основной закон динамики вращательного движения:

, (1.26)

где J – момент инерции тела относительно оси вращения, – угловое ускорение.

24.  Момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс для:

·  полого цилиндра (обруча) радиусом R ; (1.27)

·  сплошного цилиндра (диска) радиусом R ; (1.28)

·  прямого тонкого стержня длиной l ; (1.29)

·  шара радиусом R . (1.30)

25.  Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:

, (1.31)

где ω – угловая скорость.

26.  Кинетическая энергия катящегося тела:

. (1.32)

Примеры решения задач по теме №1

Пример 1.1. Самолет движется со скоростью 18 км/ч. С некоторого момента он начинает двигаться с ускорением a в течение 10 с, а последние 110 м проходит за одну секунду. Определить ускорение и конечную скорость самолета.

Дано: =18 км/ч=5м/с,

t1=10 с,

t2=1 с,

S2=110 м.

Найти: a,

Решение

Весь путь, проделанный самолетом, делится на два S1 и S2 (рис.1).

Рис. 1.

Запишем для двух этих участков уравнения движения:

; (1.1.1)

(1.1.2)

и законы изменения скорости:

; (1.1.3)

. (1.1.4)

Подставим (1.1.3) в (1.1.2):

. (1.1.5)

Выразим a:

. (1.1.6)

Подставим в (1.1.6) числовые данные:

.

Теперь подставим (1.1.3) в (1.1.4) и вычислим конечную скорость:

.

Ответ: ускорение самолета a=10м/с2, конечная скорость самолета =115м/с.

Пример 1.2. Колесо вращается с частотой 180об/мин. С некоторого момента колесо начинает вращаться равнозамедленно с угловым ускорением 3 рад/с2. Через какое время колесо остановится? Найти число оборотов колеса до остановки.

Дано: ν = 180об/мин=3об/с,

ε = 3 рад/с2.

Найти: t, n.

Решение

Запишем уравнение движения тела, совершающего равноускоренное, вращательное движение:

(1.2.1)

и закон изменения скорости

. (1.2.2)

Здесь Δφ – угол поворота тела за время t, ω0 и ω – угловая скорость тела в начальный момент времени и в момент времени t соответственно, ε – угловое ускорение.

Угол поворота Δφ связан с числом оборотов n соотношением:

. (1.2.3)

Начальную угловую скорость ω0 найдем из соотношения:

. (1.2.4)

С учетом (1.2.3) и (1.2.4), а также с учетом того, что колесо движется равнозамедленно, перепишем (1.2.1):

. (1.2.5)

Из уравнения (1.2.2) найдем время до остановки колеса, т. е. время, когда угловая скорость ω стала равна нулю:

. (1.2.6)

Рассчитаем время t:

.

Теперь подставим (1.2.6) в (1.2.5):

. (1.2.7)

Выразим из (1.2.7) число оборотов n и подставим числовые данные:

.

Ответ: колесо остановится через 6,28 с; число оборотов n=9,4 оборота.

Пример 1.3. Шар массой 2 кг, движущийся горизонтально со скоростью =4 м/с, столкнулся с неподвижным шаром массой 3 кг. Считая удар центральным и абсолютно неупругим, найти количество теплоты, выделившееся при ударе.

Дано: m1 = 2 кг,

m2 = 3 кг,

= 4 м/с,

= 0 м/с.

Найти: Q.

Решение

Запишем закон сохранения импульса:

. (1.3.1)

Здесь и – скорости первого и второго шаров до удара соответственно, u1 и u2 – скорости первого и второго шаров после удара соответственно. После неупругого столкновения тела движутся с одинаковой скоростью, поэтому u1 = u2 = u. Запишем проекцию уравнения (1.3.1) на направление движения шаров с учетом того, что =0 м/с:

. (1.3.2)

При неупругом ударе закон сохранения энергии не выполняется. Разность между энергией системы до удара (ЕК1) и энергией после удара (ЕК2) равна количеству теплоты, выделившемуся при ударе:

. (1.3.3)

Кинетическая энергия системы до удара:

. (1.3.4)

Кинетическая энергия системы после удара:

. (1.3.5)

Выразим из (1.3.2) u и подставим в (1.3.5):

. (1.3.6)

С учетом (1.3.4) и (1.3.6) вычислим количество теплоты Q:

.

Ответ: количество теплоты, выделившееся при ударе Q=9,6 Дж.

Пример 1.4. На барабан радиусом 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой 12 кг. Найти момент инерции барабана, если груз опускается с ускорением 1,81 м/с2. Барабан считать однородным цилиндром. Трением пренебречь.

Дано: R=0,5м,

m=12 кг,

a=1,81 м/с2.

Найти: J.

Решение

Рис. 2

Запишем основной закон динамики вращательного движения:

. (1.4.1)

Здесь J – момент инерции цилиндра относительно оси вращения, проходящей через центр масс, ε – угловое ускорение (ускорение вращательного движения), M – момент силы, заставляющей барабан вращаться. Такой силой является сила натяжения шнура Т.

Модуль момента силы равен:

. (1.4.2)

Из рис. 2 видно, что α=900, поэтому:

. (1.4.3)

Угловое ускорение ε связано с линейным ускорением a соотношением:

, (1.4.4)

где R – радиус барабана.

С учетом (1.4.3) и (1.4.4) перепишем (1.4.1) в скалярном виде (вектор М и вектор ε направлены в одну сторону):

. (1.4.5)

Выразим из (1.4.5) J:

. (1.4.6)

Силу натяжения шнура Т найдем из второго закона Ньютона, записанного для поступательно движущегося груза (рис. 2):

. (1.4.7)

Сила натяжения шнура, вращающая барабан и сила, действующая на груз, равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Проекция уравнения (1.4.7) на ось OY имеет вид:

. (1.4.8)

Выразим из (1.4.8) Т и подставим полученное выражение в (1.4.6):

. (1.4.9)

Проверим размерность:

.

Подставим в (1.4.9) числовые данные:

.

Ответ: момент инерции барабана J=12 м2кг.

Пример 1.5. Шар массой 0,25 кг и радиусом 3 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости с частотой вращения 4 об/с. Найти кинетическую энергию шара.

Дано: m=0,25 кг,

R=3 см=3∙10-2 м,

ν= 4 об/с.

Найти: EК.

Решение

Кинетическая энергия шара, который катится по горизонтальной плоскости без скольжения, складывается из энергии поступательного и вращательного движения:

, (1.5.1)

где m – масса шара, – линейная скорость (скорость поступательного движения), J – момент инерции шара относительно оси вращения, проходящей через центр масс, ω – угловая скорость (скорость вращательного движения).

Известно, что для шара радиусом R

. (1.5.2)

Угловая скорость ω связана с линейной скоростью соотношением:

, (1.5.3)

а с линейной частотой ν соотношением

. (1.5.4)

Подставим (1.5.2), (1.5.3) и (1.5.4) в (1.5.1) и сделаем необходимые преобразования:

. (1.5.5)

Подставим в (1.5.5) числовые данные:

.

Ответ: кинетическая энергия шара ЕК=0,1 Дж.

Задачи по теме №1

1.  Поезд прошел расстояние 17 км между двумя станциями со средней скоростью 60 км/ч. При этом на разгон в начале движения и торможения перед остановкой ушло в общей сложности 4 мин, а остальное время поезд двигался с постоянной скоростью. Чему равна эта скорость?

2.  При аварийном торможении автомобиль, движущийся со скоростью 72 км/ч, остановился через 5 с. Найти тормозной путь.

3.  Вертикально вверх с начальной скоростью 20 м/с брошен камень. Через 1 с после этого брошен вертикально вверх другой камень с такой же скоростью. На какой высоте встретятся камни?

4.  Лыжник съехал с горы длиной 40 м за 10 с, после чего он проехал по горизонтальной площадке до остановки 20 м. Считая движение с горы равноускоренным без начальной скорости, а по горизонтальной площадке равнозамедленным, найти скорость лыжника в конце горы и среднюю скорость на всем пути.

5.  При равноускоренном движении мотоциклист за первые 5 с прошел путь в 45 м, а в следующие 5 с – путь в 95 м. Найти начальную и среднюю скорости мотоциклиста.

6.  Материальная точка начинает двигаться по окружности радиусом 12,5 см с постоянным тангенциальным ускорением 0,5 см/с2. Определить момент времени, при котором вектор ускорения образует с вектором скорости угол 450.

7.  Точка движется по окружности радиуса 20 см с постоянным тангенциальным ускорением 5 м/с2. Через какое время после начала движения нормальное ускорение точки будет равно тангенциальному?

8.  По дуге окружности радиусом 10 м движется точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки 4,9 м/с2; в этот момент векторы полного и нормального ускорений образуют угол 600. Найти скорость и тангенциальное ускорение точки.

9.  Колесо начинает вращаться из состояния покоя и через 1,5 с достигает угловой скорости 20 рад/с. На какой угол оно повернулось за указанное время?

10.  Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости 20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.

11. Снаряд вылетает из ствола орудия, установленного на высоте 122,5 м, со скоростью 400 м/с в горизонтальном направлении. Определить время полета снаряда. Поразит ли снаряд одну из целей, расположенных на расстоянии 2 км и 5,8 км от орудия (по горизонтали) в направлении полета снаряда? Сопротивлением воздуха пренебречь.

12. Камень брошен с вышки со скоростью 29,4 м/с в горизонтальном направлении. Найти радиус кривизны траектории камня в точке, где он будет через 4 с после начала движения.

13. Камень брошен горизонтально. Через 3 с его скорость оказалась направленной под углом 450 к горизонту. Определить начальную скорость камня.

14. Под углом 600 к горизонту брошено тело с начальной скоростью 20 м/с. Через какой промежуток времени оно будет двигаться под углом 450 к горизонту.

15. Дальность полета тела, брошенного горизонтально со скоростью 4,9 м/с, равна высоте бросания. Под каким углом к горизонту направлена скорость тела в момент его падения на землю?

16. Мяч брошен со скоростью υ0 под углом α к горизонту. Найти υ0 и α, если максимальная высота подъема мяча 3 м, а радиус кривизны траектории мяча в этой точке 3 м.

17. Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении. Через промежуток времени 2 с камень упал на землю на расстоянии 40 м от основания вышки. Определить начальную и конечную скорости камня.

18. Камень, брошенный горизонтально на высоте 6 м, упал на землю на расстоянии 10 м от точки бросания. Найдите начальную скорость камня, нормальное и тангенциальное ускорение камня через время 0,2 с после начала движения.

19. Через какое время вектор скорости тела, брошенного под углом 60° к горизонту с начальной скоростью 20 м/с, будет составлять с горизонтом угол 30°? Сопротивление воздуха не учитывать.

20. С башни высотой 30 м в горизонтальном направлении брошено тело с начальной скоростью 10 м/с. Определить скорость тела в момент падения на землю и угол, который образует эта скорость с горизонтом в точке его падения.

21.  В шахту равноускоренно опускается бадья массой 280 кг. В первые 10 с она проходит 35 м. Найти силу натяжения каната, на котором висит бадья.

22.  Поезд весом 8 МН идет со скоростью 72 км/ч. Через сколько времени после прекращения тяги паровоза он остановится под влиянием силы трения в 117,6 кН?

23.  Стальная проволока выдерживает груз до 5000 Н. С каким наибольшем ускорением можно поднимать груз в 4500 Н, подвешенный на этой проволоке, чтобы она не разорвалась?

24.  Под действием какой силы при прямолинейном движении тела изменение координаты x со временем происходит по закону: x = 10t - 20t2, где x – в метрах, t – в секундах? Масса тела 5 кг.

25.  С каким ускорением нужно поднимать гирю, чтобы ее вес увеличился вдвое? С каким ускорением нужно ее опускать, чтобы вес уменьшился вдвое?

26.  По наклонной плоскости высотой 0,5 м и длиной склона 1 м скользит тело массой 3 кг. Тело приходит к основанию наклонной плоскости со скоростью 2,45 м/с. Найти коэффициент трения тела о плоскость. Начальная скорость равна нулю.

27.  Камень, пущенный по поверхности льда со скоростью 3 м/с, прошел до остановки расстояние 20,4 м. Найти коэффициент трения камня о лед.

28.  Тело скользит по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол 450. Пройдя путь 36,4 см, тело приобретает скорость 2 м/с. Найти коэффициент трения тела о плоскость.

29. На столе стоит тележка массой 4 кг. К тележке привязан один конец шнура, перекинутого через блок. С каким ускорением будет двигаться тележка, если к другому концу шнура привязать гирю массой 1 кг?

30. Стальная проволока выдерживает груз до 5000 Н. С каким наибольшем ускорением можно поднимать груз в 4500 Н, подвешенный на этой проволоке, чтобы она не разорвалась?

31.  Шар массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с и сталкивается с шаром массой 1 кг, движущимся ему навстречу со скоростью 4 м/с. Определить скорость шаров после прямого центрального абсолютно упругого удара.

32.  Два абсолютно неупругих шара, имеющих массы 15 г и 10 г, двигались навстречу друг другу со скоростями, модули которых 0,6 м/с и 0,4 м/с соответственно. Найти их скорость после столкновения и потерю кинетической энергии при ударе.

33.  Снаряд массой 20 кг, летевший со скоростью, направленной под углом 300 к горизонту, попадает в платформу с песком массой 104 кг и застревает в песке. С какой скоростью летел снаряд, если платформа начинает двигаться со скоростью 1 м/с?

34.  Камень массой 400 г бросили со скоростью 20 м/с в горизонтальном направлении с башни, высота которой 50 м. Найти потенциальную и кинетическую энергии камня через 2 с после начала его движения.

35.  Вагон массой 40 т движется на упор со скоростью 0,1 м/с. При полном торможении вагона буферные пружины сжимаются на 10 см. Определить максимальную силу сжатия буферных пружин и продолжительность торможения.

36. Лодка массой 150 кг и длиной 2,8 м стоит неподвижно в стоячей воде. Рыбак массой 90 кг в лодке переходит с носа на корму. Пренебрегая сопротивлением воды, определить на какое расстояние s при этом сдвинется лодка.

37. Тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с и нагоняет второе тело массой 3 кг, движущееся со скоростью 1 м/с. Каково должно быть соотношение между массами тел, чтобы при упругом ударе первое тело после удара остановилось?

38.  Два шара массами 9 кг и 12 кг подвешены на нитях длиной 1,5 м. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем меньший шар отклонили на угол 300 и отпустили. Считая удар неупругим, определить высоту на которую поднимутся оба шара после удара.

39.  Тело массой 2 кг движется навстречу второму телу массой 1,5 кг и абсолютно неупруго соударяется с ним. Скорости тел непосредственно перед ударом были 1 м/с и 2 м/с. Какое время будут двигаться эти тела после удара, если коэффициент трения 0,05?

40.  Молекула массой 4,65×10-26 кг, летящая нормально к стенке сосуда со скоростью 600 м/с, ударяется о стенку и упруго отталкивается от нее без потери скорости. Найти импульс силы, полученный стенкой за время удара.

41.  Пружина жесткостью 103 Н/м была сжата на 5 см. Какую нужно совершить работу, чтобы сжатие пружины увеличить до 15 см?

42.  Автомобиль массой 2 т затормозил и остановился, пройдя путь 50 м. Найти работу силы трения, если дорога горизонтальна и коэффициент трения равен 0,4.

43.  Автомобиль массой 2 т движется в гору. Уклон горы равен 4 м на каждые 100 м пути. Коэффициент трения равен 0,08. Найти работу, совершенную двигателем автомобиля на пути 3 км.

44.  Найти, какую мощность развивает двигатель автомобиля массой 1 т, если известно, что автомобиль едет с постоянной скоростью 36 км/ч по горизонтальной дороге.

45. Автомобиль массой 10 т движется под уклон по дороге, составляющей с горизонтом угол, равный 40. Найти работу силы тяжести на пути 100 м.

46.  Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины, сжимает ее на 2 мм. На сколько сожмет пружину та же гиря, упавшая на конец пружины с высоты 5 см?

47.  Молот массой 70 кг падает с высоты 5 м и ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием 1330 кг. Считая удар абсолютно неупругим, определить энергию, расходуемую на деформацию изделия.

48.  Определить работу, совершаемую человеком при поднятии груза массой 2 кг на высоту 1 м с ускорением 3 м/с2.

49.  Определить КПД наклонной плоскости длиной 1 м и высотой 0,6 м, если коэффициент трения при движении по ней тела равен 0,1.

50.  Определить полезную мощность при разбеге самолета массой 1 т. длина разбега 300 м, взлетная скорость 30 м/с, коэффициент сопротивления 0,03.

51.  Определить момент силы, который необходимо приложить к однородному диску, вращающемуся с частотой 12 с-1, чтобы он остановился через 8 с. Диаметр диска 30 см, масса диска 6 кг.

52. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом 50 см намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой 6,4 кг. Груз, опускается с ускорением 2 м/с2. Определить момент инерции вала и массу вала.

53.  К ободу колеса радиусом 0,5 м и массой 50 кг приложена касательная сила 98.1 Н. Найти угловое ускорение колеса. Через какое время после начала действия силы колесо будет иметь частоту вращения 100 об/с? Колесо считать однородным диском. Трением пренебречь.

54.  Маховик, момент инерции которого 63,6 кг∙м2, вращается с угловой скоростью 31.4 рад/с. Найти момент сил торможения, под действием которого маховик остановится через 20 с. Маховик считать однородным диском.

55.  По горизонтальной плоской поверхности катится диск со скоростью 8 м/с. Определить коэффициент сопротивления, если диск, будучи предоставленным самому себе, остановился, пройдя путь в 18 м.

56.  Определить тормозящий момент, которым можно остановить за 20 с маховое колесо массой 50 кг и радиусом 0,30 м, вращающееся с частотой 20 об/с. Массу маховика считать распределённой по ободу. Чему равна работа, совершаемая тормозящим моментом?

57.  Сплошной цилиндр массой 10 кг катится без скольжения с постоянной скоростью 10 м/с. Определить кинетическую энергию цилиндра и время до его остановки, если на него действует сила трения 50 Н.

58.  Сплошной шар скатывается без проскальзывания по наклонной плоскости, длина которой 10 м и угол наклона 300. Определить скорость шара в конце наклонной плоскости. Трение шара о плоскость не учитывать.

59.  Полый тонкостенный цилиндр массой 2 кг катится по горизонтальной поверхности со скоростью 20 м/с. Определить силу, которую необходимо приложить к цилиндру, чтобы остановить его на пути 1,6 м.

60. Какой путь пройдет катящийся без скольжения диск, поднимаясь вверх по наклонной плоскости с углом наклона 300, если ему сообщена начальная скорость 7,0 м/с, параллельная наклонной плоскости.

ТЕМА №2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА

Законы и формулы к выполнению задачи по теме №2

Основы молекулярно-кинетической теории

1.  Основное уравнение молекулярно-кинетической теории:

, (2.1)

где n – концентрация молекул газа, – средняя кинетическая энергия молекул.

2.  Средняя кинетическая энергия молекул:

, (2.2)

где k – постоянная Больцмана, i – число степеней свободы, Т – температура.

3.  Количество вещества:

, (2.3)

где N – число частиц в газе, NA – число Авогадро, m – масса газа, μ – молярная масса газа.

4.  Плотность газа, занимающего объем V:

. (2.4)

5.  Уравнение Менделеева-Клапейрона:

, (2.5)

где P – давление, V – объем газа, μ – молярная масса газа, R – универсальная газовая постоянная, Т – температура газа.

Термодинамика

6.  Связь между молярной С и удельной с теплоемкостями:

. (2.6)

7.  Молярная теплоемкость при постоянном объеме:

. (2.7)

8.  Уравнение Майера:

, (2.8)

где CP – молярная теплоемкость при постоянном давлении

9.  Первое начало термодинамики:

, (2.9)

где Q – количество теплоты, сообщенное системе (газу); ΔU – изменение внутренней энергии газа; А – работа, совершенная газом против внешних сил.

10.  Изменение внутренней энергии газа:

. (2.10)

11.  Работа, совершаемая при изменении объема газа:

. (2.11)

12.  Уравнения адиабатического процесса:

; т. е. ; (2.12)

; т. е. . (2.13)