γ – коэффициент Пуассона 
.
13. Коэффициент полезного действия любого термодинамического цикла:
, (2.14)
где А – работа цикла, Q1 – количество теплоты, полученного рабочим телом от нагревателя, или
, (2.15)
где Q2 – теплота, переданная рабочим телом охладителю.
14. Коэффициент полезного действия идеального цикла Карно:
, (2.16)
где Т1 и Т2 – температуры нагревателя и охладителя.
15. Изменение энтропии:
, (2.17)
где А и В – пределы интегрирования, соответствующие начальному и конечному состояниям системы.
Примеры решения задач по теме №2
Пример 2.1. Двухатомный газ, находящийся под давлением 0,1 МПа в сосуде объемом 0,5 м3, нагревают от 30 до 1300С. Определить количество теплоты, необходимое для изохорического нагревания газа.
Дано: P1=0,1 МПа=0,1∙106 Па,
V=0,5 м3,
Т1=30 0С=303 К,
Т2=130 0С=403 К,
i=5.
Найти: Q.
Решение
Количество теплоты, необходимое для нагревания можно найти по формуле:
. (2.1.1)
Здесь сV – удельная теплоемкость при постоянном объеме.
Молярная СV и удельная сV теплоемкости связаны соотношением:
. (2.1.2)
Молярная теплоемкость при постоянном объеме:
, (2.1.3)
где i – число степеней свободы.
Из (2.1.2) и (2.1.3) следует, что
. (2.1.4)
Молярную массу газа найдем из уравнения Менедлеева-Клапейрона, характеризующего начальное состояние газа:
, (2.1.5)
. (2.1.6)
Подставим (2.1.6) в (2.1.4), а затем полученное выражение подставим в (2.1.1):
, (2.1.7)
, (2.1.8)
. (2.1.9)
Проверим размерность:
.
Подставим в (2.1.9) числовые данные и получим значение Q:
.
Ответ: количество теплоты Q=41кДж.
Пример 2.2. Какое количество теплоты поглощают 200 г водорода, нагреваясь от 0 до 100 0С при постоянном давлении? Каков прирост внутренней энергии газа? Какую работу совершает газ?
Дано: m = 200 г = 0,2 кг,
Т1 = 0 0С = 273 К,
Т2 = 100 0С = 373 К,
μ=2∙10-3 кг/моль.
Найти: Q, ΔU, A.
Решение
Запишем первое начало термодинамики:
. (2.2.1)
Здесь Q – количество теплоты, сообщенное водороду; ΔU – изменение внутренней энергии водорода; А – работа, совершенная водородом против внешних сил.
Изменение внутренней энергии газа определяется как
. (2.2.2)
Учитывая, что количество вещества 
и что водород является двухатомным газом, т. е. i = 5, перепишем (2.2.2):
. (2.2.3)
Подставим в (2.2.3) числовые данные:
Работа, совершаемая водородом:
. (2.2.4)
Изменение объема ΔV найдем, записав уравнения Менделеева-Клапейрона, характеризующие начальное и конечное состояния газа:
, (2.2.5)
. (2.2.6)
Вычтем из (2.2:
. (2.2.7)
Подставив (2.2.7) в (2.2.4), получим выражение для работы:
. (2.2.8)
Рассчитаем работу:
.
Подставим числовые данные в (2.2.1) и рассчитаем значение количества теплоты:
.
Ответ: Q=291 кДж, ΔU=208 кДж, A=83 кДж.
Пример 2.3. Найти изменение энтропии при изобарическом расширении 6,6 г водорода от объема V1 до объема V2=2V1.
Дано: m = 6,6 г = 6,6∙10-3 кг,
V2 =2V1,
P = const,
μ=2∙10-3 кг/моль.
Найти: ΔS.
Решение
При переходе вещества из состояния 1 в состояние 2 изменение энтропии:
, (2.3.1)
где 1 и 2 – пределы интегрирования, соответствующие начальному и конечному состояниям газа; Q – количество теплоты, сообщенное газу.
Согласно первому началу термодинамики:
, (2.3.2)
где dU – изменение внутренней энергии газа; dА – работа, совершенная газом против внешних сил.
Изменение внутренней энергии газа:
. (2.3.3)
Водород – двухатомный газ, следовательно, i=5.
Работа, совершаемая при изменении объема V газа:
. (2.3.4)
Т. о.:
. (2.3.5)
Давление, под которым находится газ и изменение температуры, найдем из уравнения Менедлеева-Клапейрона:
, (2.3.6)
. (2.3.7)
Подставим (2.3.6) и (2.3.7) в (2.3.5):
. (2.3.8)
Полученное выражение подставим в (2.3.1):
.
Подставим числовые данные:
.
Ответ: изменение энтропии ΔS=66,5Дж/К.
Задачи по теме №2
1. Определить молярную массу и массу одной молекулы поваренной соли.
2. Определить массу одной молекулы углекислого газа.
3. Какой объем занимают 100 моль ртути?
4. Найти плотность азота при температуре 400 К и давлении 2 МПа.
5. Найти число атомов в алюминиевом предмете массой 135 г.
6. Одинаковые массы азота и кислорода находятся при одинаковой температуре. Как должны относиться их давления, чтобы они имели при этом одинаковые плотности?
7. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа равна 5∙10-21 Дж. Концентрация молекул 3∙1019 см-3. Определить давление газа.
8. Найти концентрацию молекул кислорода, если при давлении 0,2 МПа средняя квадратичная скорость его молекул равна 700 м/с.
9. Найти среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы кислорода при давлении 20 кПа. Концентрация молекул кислорода при указанном давлении 3∙1025 м-3.
10. В результате нагревания давление газа в закрытом сосуде увеличилось в 4 раза. Во сколько раз изменилась средняя квадратичная скорость молекул?
11. В сосуде находится 10 г углекислого газа и 15 г азота. Найти плотность ρ смеси при температуре 270C и давлении 150 кПа.
12. Газ находится в сосуде при давлении 2⋅106 Па и температуре 260С. После нагревания на 500С в сосуде осталась половина массы газа. Определите установившееся давление.
13. При нагревании некоторой массы газа на 1 К при постоянном давлении объем этой массы газа увеличился на 1/350 часть первоначального объема. Найти начальную температуру газа.
14. Масса m=12г газа занимает объём 4л при температуре 70С. После нагревания газа при постоянном давлении его плотность стала равной 0,6 кг/м3. До какой температуры нагрели газ?
15. Масса m=12г кислорода находится при давлении 304 кПа и при температуре 100С. После расширения вследствие нагревания при постоянном давлении кислород занял объем 10л. Найти объем газа до расширения и температуру газа после расширения.
16. При какой температуре находился газ, если при нагревании его на 200С при постоянном давлении объем увеличился вдвое?
17. Масса m=16г кислорода находится при давлении 304 кПа и при температуре 100С. После расширения вследствие нагревания при постоянном давлении кислород занял объем 10 л. Найти плотности газа до и после расширения.
18. Какова разница в массе воздуха, заполняющего помещение объемом 50 м3, зимой и летом, если летом температура в помещении достигает 400С, а зимой падает до 00С? Давление нормальное.
19. В сосуде объемом 110 л находятся водород массой 0,8 кг и кислород массой 1,6 кг. Найти давление смеси на стенки сосуда при температуре 270C.
20. В сосуде объемом 2 м3 находятся гелий массой 4 кг и водород массой 2 кг при температуре 270C. Найти давление и молярную массу смеси газов.
21. Вычислить удельные теплоемкости неона и водорода при постоянном давлении и при постоянном объеме, считая эти газы идеальными.
22. Вычислить молярные теплоемкости смеси двух газов: одноатомного и двухатомного. Количества вещества одноатомного и двухатомного газов равны соответственно 0,4 и 0,2 моль.
23. Каковы удельные теплоемкости при постоянном давлении смеси газов, содержащей кислород массой 16 г и азот массой 28 г?
24. Найти отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и при постоянном объеме для кислорода.
25. Каковы удельные теплоемкости при постоянном объеме смеси газов, содержащей кислород массой 10 г и азот массой 20 г?
26. Вычислить удельную теплоемкость при постоянном объеме смеси двух газов: одноатомного и двухатомного. Количества вещества одноатомного и двухатомного газов равны соответственно 0,4 и 0,2 моль.
27. Каковы удельные теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме двухатомного газа, плотность которого при нормальных условиях 1,43 кг/м3?
28. Найти отношение удельных теплоемкостей при постоянном объеме и при постоянном давлении для смеси газов, содержащей 10 г гелия и 4 г водорода.
29. Найти удельную теплоемкость при постоянном давлении смеси газов, состоящей из 3000 молей аргона и 2000 молей азота.
30. Каковы удельные теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме одноатомного газа, плотность которого при нормальных условиях 1,204 кг/м3?
31. При нагревании 1 киломоля азота было передано 103 Дж теплоты. Определить работу расширения при постоянном давлении.
32. При изотермическом расширении газа, занимавшего объем 2 м3, давление его меняется от 0,5М Па до 0,4М Па. Найти работу, совершенную газом.
33. При адиабатическом сжатии 1 кмоль двухатомного газа была совершена работа 146 кДж. На сколько увеличилась температура газа при сжатии?
34. Один моль водорода, первоначально имевший температуру 0 0С, нагревается при p=const. Какое количество теплоты необходимо сообщить газу, чтобы его объем удвоился? Какая работа при этом будет совершена?
35. При каком процессе выгоднее производить расширение углекислого газа: адиабатическом или изотермическом, если объем увеличивается в 2 раза? Начальная температура в обоих случаях одинакова.
36. Газ, занимающий объем 20 л под давлением 1 МПа, был изобарически нагрет от 323 до 473 К. Найти работу расширения газа.
37. При изотермическом расширении одного моля кислорода, имевшего температуру 300 К, газ поглотил теплоту 2 кДж. Во сколько раз увеличился объем газа?
38. Кислород, занимающий объем 1 л при давлении 1,2 МПа, адиабатически расширился до объема 10 л. Определить работу расширения газа.
39. Водород при нормальных условиях имел объем 100 м3. На сколько изменилась внутренняя энергия газа при адиабатическом изменении его объема до 150 м3?
40. Масса m=6,5г водорода, находящегося при температуре 270С, расширяется вдвое при р=const за счет притока тепла извне. Найти работу расширения газа, приращение внутренней энергии газа и количество теплоты, сообщенное газу.
41. В результате кругового процесса газ совершил работу в 1 Дж и передал охладителю теплоту в количестве 4,2 Дж. Определить термический к. п. д. цикла.
42. Определить работу идеальной тепловой машины за один цикл, если она в течение цикла получает от нагревателя количество теплоты 2095 Дж. Температура нагреваК, холодильника 300 К.
43. Температура нагревателя тепловой машины, работающей по циклу Карно, 480 К, температура холодильника 390 К. Какова должна быть температура нагревателя при неизмененной температуре холодильника, чтобы к. п. д. машины увеличился в 2 раза?
44. За счет 1 кДж теплоты, получаемой от нагревателя, машина, работающая по циклу Карно, совершает работу 0,5 кДж. Температура нагреваК. Определить температуру холодильника.
45. При прямом цикле Карно тепловая машина совершает работу 200 Дж. Температура нагреваК, холодильника 300 К. Определить количество теплоты, получаемое машиной от нагревателя.
46. Газ, совершающий цикл Карно, 2/3 теплоты, полученной от нагревателя, отдает охладителю. Температура охладиК. Определить температуру нагревателя.
47. Газ совершает цикл Карно. Температура охладиК. Во сколько раз увеличится к. п. д. цикла, если температура нагревателя повысится от 400 до 600 К?
48. Газ совершает цикл Карно. Абсолютная температура нагревателя в три раза выше, чем температура охладителя. Нагреватель передал газу количество теплоты, равное 42 кДж. Какую работу совершил газ?
49. Определить, на сколько процентов изменится к. п. д. прямого цикла Карно, если температура нагреваК, а температура холодильника уменьшилась от 494 до 394К.
50. Совершая прямой цикл Карно, газ отдал холодильнику 0,25 теплоты, полученной от нагревателя. Определить температуру холодильника, если температура нагреваК.
51. Кислород массой 10 г нагревается от 323 до 423 К. Найти изменении энтропии, если нагревание происходит изохорически.
52. Кислород массой 10 г нагревается от 325 до 425 К. Найти изменении энтропии, если нагревание происходит изобарически.
53. Найти изменение энтропии 4 кг свинца при охлаждении его от 327 до 00С.
54. Найти изменение энтропии при плавлении 1 кг льда.
55. Найти изменение энтропии при превращении 1 кг воды, находящийся при температуре 00С, в пар.
56. Найти изменение энтропии при переходе 8 г кислорода от 10 л при температуре 353 К до 40 л при температуре 573 К.
57. В результате изохорического нагревания водорода массой 1 кг давление газа увеличилось вдвое. Определить изменение энтропии газа.
58. Лед массой 100 г, находящийся при температуре -300С, превращается в пар. Определить изменение энтропии.
59. Найти изменение энтропии при нагревании 100 г воды от 0 до 1000С и последующем превращении воды в пар той же температуры.
60. Водород массой 6,6 г изобарически расширяется. Найти изменение энтропии, если оббьем увеличился в 2 раза.
ТЕМА №3. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
Законы и формулы к выполнению задач по теме №3
1. Закон Кулона:
, (3.1)
где F – сила взаимодействия точечных зарядов Q1 и Q2; r – расстояние между зарядами; – диэлектрическая проницаемость среды; ε0 – электрическая постоянная.
2. Напряженность электрического поля:
. (3.2)
3. Потенциал электрического поля:
, (3.3)
где П – потенциальная энергия точечного положительного заряда Q, находящегося в данной точке поля (при условии, что потенциальная энергия заряда, удаленного в бесконечность, равна нулю).
4. Напряженность и потенциал поля, создаваемого системой точечных зарядов (принцип суперпозиции электрических полей):
, (3.4)
где 
, φi – напряженность и потенциал в данной точке поля, создаваемого i-м зарядом.
5. Напряженность и потенциал поля, создаваемого точечным зарядом:
, (3.5)
где r – расстояние от заряда Q до точки, в которой определяются напряженность и потенциал.
6. Напряженность и потенциал поля, создаваемого проводящей заряженной сферой радиуса R на расстоянии r от центра сферы (заряд сферы Q):
· если r<R, то E=0; 
; (3.6)
· если r=R, то 
; 
; (3.7)
· если r>R, то 
; 
. (3.8)
7. Линейная плотность заряда (заряд, приходящийся на единицу длины заряженного тела):
. (3.9)
8. Поверхностная плотность заряда (заряд, приходящийся на единицу площади поверхности заряженного тела):
. (3.10)
9. Напряженность и потенциал поля, создаваемого распределенными зарядами. Если заряд равномерно распределен вдоль линии с линейной плотностью τ, то на линии выделяется малый участок длины dl с зарядом dQ=τdl. Такой заряд можно рассматривать как точечный. Напряженность dE и потенциал dφ электрического поля, создаваемого зарядом dQ, определяется формулами:
, (3.11)
где r – радиус-вектор, направленный от выделенного элемента dl к точке, в которой вычисляется напряженность.
Используя принцип суперпозиции электрических полей, находим интегрированием напряженность 
и потенциал φ поля, создаваемого распределенным зарядом:
. (3.12)
Интегрирование ведется вдоль всей длины l заряженной линии.
10. Напряженность поля, создаваемого бесконечной прямой равномерно заряженной линией или бесконечно длинным цилиндром:
, (3.13)
где r – расстояние от нити или оси цилиндра до точки, напряженность поля в которой вычисляется.
11. Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью:
. (3.14)
12. Связь потенциала с напряженностью:
a) в случае однородного поля
; (3.15)
b) в случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией:
. (3.16)
13. Работа сил поля по перемещению заряда Q из точки поля с потенциалом φ1в точку с потенциалом φ2:
. (3.17)
14. Электроемкость:
или 
, (3.18)
где φ – потенциал проводника (при условии, что в бесконечности потенциал проводника принимается равным нулю); U – разность потенциалов пластин конденсатора.
15. Электроемкость плоского конденсатора:
(3.19)
где S – площадь пластины (одной) конденсатора; d – расстояние между пластинами.
16. Электроемкость батареи конденсаторов:
· а) при последовательном соединении: 
; (3.20)
· б) при параллельном соединение: 
, (3.21)
где N – число конденсаторов в батарее.
17. Энергия заряженного конденсатора:
. (3.22)
Постоянный ток
18. Сила тока:
, (3.23)
где Q – заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t.
19. Закон Ома:
а) для участка цепи, не содержащего ЭДС, 
, (3.24)
где φ1–φ2=U – разность потенциалов (напряжение) на концах участка цепи;
R – сопротивление участка;
б) для участка цепи, содержащего ЭДС, 
, (3.25)
где ε – ЭДС источника тока; R – полное сопротивление участка (сумма внешних и внутренних сопротивлений);
в) для замкнутой (полной) цепи 
, (3.26)
где r – внутреннее сопротивление цепи; R – внешнее сопротивление цепи.
20. Сопротивление R и проводимость G проводника:
(3.27)
где ρ – удельное сопротивление; σ – удельная проводимость; l – длина проводника; S – площадь поперечного сечения проводника.
21. Сопротивление системы проводников:
· при последовательном соединении 
; (3.28)
· при параллельном соединении 
, (3.29)
где Ri – сопротивление i-го проводника.
22. Работа тока:
(3.30)
Первая формула справедлива для любого участка цепи, на концах которого поддерживается напряжение U, последние две – для участка, не содержащего ЭДС.
23. Мощность тока:
. (3.31)
24. Закон Джоуля - Ленца:
(3.32)
Электромагнетизм
25. Связь магнитной индукции 
с напряженностью 
магнитного поля:
, (3.33)
где μ – магнитная проницаемость изотропной среды; μ0 – магнитная постоянная.
26. Сила Ампера:
или 
, (3.34)
где α – угол между векторами 
и 
.
27. Магнитный поток:
или 
(3.35)
где S – площадь контура; α – угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции.
28. Момент сил, вращающих контур с током в магнитном поле:
. (3.36)
Здесь pm – магнитный момент контура с током.
29. Магнитный момент контура с током:
, (3.37)
где S – площадь контура, N – число витков.
30. ЭДС индукции:
(3.38)
31. Разность потенциалов на концах проводника, движущегося со скоростью 
в магнитном поле:
, (3.39)
где l – длина проводника; α – угол между векторами 
и 
.
32. ЭДС самоиндукции:
(3.40)
33. Индуктивность соленоида:
(3.41)
где n – число витков, приходящееся на единицу длины соленоида; V – объем соленоида.
34. Энергия магнитного поля:
. (3.42)
35. Объемная плотность энергии магнитного поля (энергия в единице объема):
или 
, или 
, (3.43)
где B – магнитная индукция; H – напряженность магнитного поля.
Примеры решения задач по теме №3
Пример 3.1. На пластинах плоского конденсатора находится заряд 10 нКл. Площадь каждой пластины конденсатора равна 100 см2, диэлектрик – воздух. Определить силу, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.
Дано: Q = 10 нКл = 10∙10-9 Кл,
S = 100 см2 = 100 ∙10-4 м2,
ε = 1.
Найти: F.
Решение
Заряд Q одной пластины находится в поле напряженностью E1, созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила:
. (3.1.1)
Так как:
, (3.1.2)
где σ – поверхностная плотность заряда пластины, то формула (3.1.1) с учетом выражения (3.1.2) примет вид:
. (3.1.3)
Подставив числовые данные в (3.1.3), получим:
.
Ответ: Сила, с которой притягиваются пластины F=565мкН.
Пример 3.2. Плоский квадратный контур со стороной 10 см, по которому течет ток 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле 1 Тл. Определить работу, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол:;При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.
Дано: a = 10 см = 10∙10-2 м,
I=100 A,
B=1 Тл,
φ1 = 900,
φ2 = 30,
Найти: A1, А2.
Решение
Как известно, на контур с током в магнитном поле действует момент сил:
. (3.2.1)
Здесь pm – магнитный момент контура с током, B – магнитная индукция поля,
φ – угол поворота контура. По условию задачи, в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил равен нулю (M=0), а значит φ=0, т. е. векторы 
и совпадают по направлению. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил, определяемый формулой (3.2.1), будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла поворота φ), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме:
. (3.2.2)
Подставив в (3.2.2) выражение (3.2.1) и учитывая, что 
, где I – сила тока в контуре; S=a2 – площадь контура, получим:
. (3.2.3)
Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол:
. (3.2.4)
1) Работа при повороте на угол φ1 = 900:
. (3.2.5)
Подставим числовые данные и вычислим работу:
.
2) Работа при повороте на угол φ2 = 30. В этом случае, учитывая, что угол φ2 мал, заменим в выражении (4) sinφ≈φ:
. (3.2.6)
Выразим угол φ2 в радианах. После подстановки числовых значений величин в (3.2.6) найдем:
.
Ответ: A1=1 Дж, А2=1,37мДж.
Задачи по теме №3
1. Электрическое поле создается двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными равномерно разноименными зарядами с поверхностной плотностью σ1=1 нКл/м2 и σ2=2 нКл/м2. Определите напряженность электростатического поля: 1) между плоскостями; 2) за пределами плоскостей. Постройте график изменения напряженности поля вдоль линии, перпендикулярной плоскостям.
2. Две параллельные плоскости, заряженные с поверхностными плотностями σ1=2 мкКл/м2 и σ2=-0,8 мкКл/м2, находятся на расстоянии 0,6 см друг от друга. Определить разность потенциалов между плоскостями.
3. Поле образовано бесконечной равномерно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда 40 нКл/м2. Определить разность потенциалов двух точек поля, отстоящих на r1=15 см и r2=20 см.
4. Заряд равномерно распределен по бесконечной плоскости с поверхностной плотностью 10 нКл/м2. Определить разность потенциалов двух точек поля, одна из которых находится на плоскости, а другая удалена от нее на расстояние 10 см.
5. Расстояние между двумя зарядами 1000 нКл и 500 нКл равно 0,1 м. Определить силу, действующую на третий заряд 1 мкКл, отстоящий на расстоянии 0,12 м от большего заряда и на расстоянии 0,1 м от меньшего.
6. Тонкий стержень длиной 30 см равномерно заряжен с линейной плотностью 1,5 нКл/см. На продолжении оси стержня на расстоянии 12 см от его конца находится точечный заряд 0,2 мкКл. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
