Алгебра 9класс. Учитель математики -
Эпиграф:
« Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи,
причем не только стандартного вида, но и требующие известной независимости мышления,
здравого смысла, оригинальности, изобретательности.
Д. Пойа.
Урок- презентация «Арифметическая и геометрическая прогрессии».
Цель урока: обобщение тем «Арифметическая прогрессия» и «Геометрическая прогрессия».
Задачи урока:
-- обобщить и систематизировать теоретические знания учащихся, а именно –нахождение п-ого
члена и суммы п первых членов данных прогрессий с помощью формул;
-- проконтролировать и развивать умения и навыки;
-- развивать познавательный интерес учащихся, учить их видеть связь между математикой и
окружающей жизнью.
Тип урока: повторительно - обобщающий.
Оборудование: Карточки с заданиями
1) На урок со слайда №2;
2) Задания на дом со слайда № 14 и слайда №15.
Ход урока.
I Организационный момент.
Презентация. Слайд №1.
Слова учителя: 
Прогрессии мы с вами изучали
И много новых формул вы узнали
Различные задачи прорешали
И вот теперь настал тот час
И вы конечно же должны узнать,
А применимы ли прогрессии в жизни сейчас?
Сегодня предпоследний урок по главе « Арифметическая и геометрическая прогрессии».
Предстоит вам контрольная работа. Перед вами задача - показать, как вы знаете формулы
прогрессии и умеете их применять при решении различных задач.
Слайд №2.
Даны примеры последовательностей. Определите какая последовательность является
« арифметической или геометрической прогрессией», ответы запишите на листочках, найдите
разность и знаменатель.
1) 2; 5; 8; 11; 14; 17…
2) 3; 9; 27; 81; 243; …
3) 1; 6; 11; 20; 25;…
4) -4; -8; -16; -32;…
5) 5; 25; 35; 45;55…
6) -2; -4 -6;-8; -10;…
Слайд №3 ,проверим решение.
Ответ :
1) 2; 5; 8; 11; 14; 17;… | арифметическая прогрессия d =3. |
2) 3; 9; 27; 81; 243;… | геометрическая прогрессия q =3. |
3) 1; 64 11; 20; 25; … | последовательность чисел |
4) -4; -8; -16; -32;… | геометрическая прогрессия q =2. |
5) 5; 25; 35; 45; 55; .. | последовательность чисел. |
6) -2; -4; -6; -8; -10; … | арифметическая прогрессия d = -2.. |
Вопросы по проверке теоретического уровня знаний.
Какая последовательность называется арифметической прогрессией? какая последовательность называется геометрической прогрессией? Как вычислить разность арифметической прогрессии? Как вычислить знаменатель геометрической прогрессии? Почему прогрессия называется арифметической? Почему прогрессия называется геометрической? Какому множеству чисел принадлежит число п?Слайд №4.
Арифметическая
Пример 2,1; 2,6; 3,1…
Определение …каждый следующий равен
предыдущему сложенному
с одним и тем же числом
Разность d = ап+1 – aп
Формула n - ого члена
ап = a1 + (n-1) хd
Характеристическое свойство
Среднее арифметическое
an = (aп+1+ aп-1) : 2
Геометрическая
Пример 0,6; 1,8; 2,4…
Определение … каждый следующий равен предыдущему умноженному на одно и то же число
Знаменатель q = bп+1 : bп
Формула n – ого члена
bп = b1 х qп-1
Характеристическое свойство
Среднее геометрическое
bп = √ bп+1 х bп-1
Арифметическая
Сумма n первых членов
Sn = (a1+ aп)х n /2
Sn =(2a1+ d х(n-1)) n/2
Геометрическая
Сумма n первых членов
Sn = b1 (qп - 1) / q -1
Слайд №5.
Историческая справка. Слова учителя.
В XVIII в в английских и французских. учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессий. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Например Ариабхатта (Vв.) знал формулы для общего члена и суммы арифметической прогрессии.
Слово прогрессия ( лат. progressio) означает «движение вперед»( как и слово «прогресс»), встречается впервые у римского автора Боэция. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать.
В древнеегипетском папирусе Ахмеса ( около 2000 лет до н. э) приводится такая задача:
«Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 людьми так, чтобы разность мер ячменя, полученного каждым человеком и его соседом, равнялось 1/8 меры»
А в одном из древнегреческих папирусов приводится следующая задача:
«Имеется 7 домов, в каждом доме по 7 кошек, каждая кошка съедает по 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый из которых, если посеять зерно, дает 7 мер зерна. Нужно посчитать сумму мер зерна».
Слайд №6
n Эпизод из жизни Карла Гаусса.
Однажды на уроке, чтобы занять первоклассников, пока он будет заниматься с учениками третьего класса, учитель велел сложить все числа от 1 до 100, надеясь, что это займет много времени. Но маленький Гаусс сразу сообразил, что 1+100=101, 2+99=101 и т. д. И таких чисел будет 50. Осталось 101 умножить на 50. это мальчик сделал в уме. Едва учитель закончил чтение условия, он предъявил ответ, записанный на грифельной доске. Изумленный учитель понял, что это самый способный ученик в его практике. В дальнейшем Гаусс сделал много замечательных открытий. Его даже назвали «царем математики».
n Легенда о создании шахмат. Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царем, потребовал ….Что потребовал Сета?
«Чтобы разместить это зерно в амбаре, то его размеры будут: высота 4 м, ширина 10 м, длина будет 30 000 000 км – вдвое больше, чем расстояние от Земли до Солнца. А чтобы его получить, то надо засеять пшеницей площадь всей Земли, считая моря, океаны, горы, пустыни, Арктику с Антарктикой, то лет за пять царь смог бы рассчитаться с просителем»
Слайд №7
Выполните задания.
В восточных странах Китае, Корее, Японии и других, люди едят при помощи палочек. Часто их делают из бамбука, древесины, слоновой кости и металла. В Китае такие палочки называют «Куайцзы».
Узнайте как палочки для еды называют в Японии. Для этого выполните задания, учитывая. Что (ап)- арифметическая прогрессии. Зачеркните в таблице буквы, соответствующие найденным ответам.
1) а1 =20; d =4. Найдите а5 ; 2) а1 =1,7 ; в =- 0,2 ; Найдите а8.
3) -8 ; -6,5; … Найдите а4 ; 4) а8 = -14; а10 = -9,5. Найдите d.
-3,5 | 3,5 | 36 | 0,3 | 33 | -2,5 | 2,5 | 0,7 |
Г | Х | У | Ф | А | С | Е | И |
Ответ: Хаси.
Слайд №8
А применимы ли прогрессии сейчас?
Задача №1. Курс воздушных ванн начинается с 15 мин в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый последующий день на 10 мин. Cколько дней потребуется принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 ч 45 мин?
Слайд № 9. Проверим решение.
Задача №1.
ап = a1 + (n-1) хd ;
105 = 15 +10(п-1);
п-1= 90:10;
п=10.
Слайд №10.
Задача №2.Представьте себе, что ты прораб на стройке. Привезли и выгрузили большое количество труб. Нужно быстро определить , чтобы закрыть наряд шоферу, сколько труб. Как это сделать? Какое рационализаторское предложение внесешь по транспортировке и укладке труб?
Слайд № 11.
Ответ к задаче №2.
В данном случае нужно выбрать такую форму контейнера, или захвата для выгрузки, чтобы подсчет труб осуществлялся по простым формулам. Один из способов – использовать естественное расположение труб штабелем так, чтобы в каждом верхнем ряду количество оказывается на единицу меньше, чем в предыдущем нижнем, т. е числа труб в последовательных рядах образуют арифметическую прогрессию.
Слайд № 12.
Задача №3.
Ребенок заболеет ветрянкой, если в его организме окажется не менее 27000 вирусов ветряной оспы. Если заранее не сделана прививка от ветрянки, то каждый день число попавших в организм вирусов утраивается. Если в течении 6 дней после попадания инфекции болезнь не наступает, организм начинает вырабатывать антитела, прекращающие размножение вирусов. Какое минимальное количество вирусов должно попасть в организм, чтобы ребенок, которому не сделали прививку, заболел?
Слайд № 13.
Эта задача является примером геометрической прогрессии, где Sn =27000, а найти надо b1, при п =6, и q =3; 27000= b1 :(3-1); b1 ≈ 75.
Слайд № 14.
В старинной арифметике Магницкого приведена следующая забавная задача.
Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
- Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь ,которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
- Если по –твоему, цена лошади высока, то купи ее подковные гвозди; лошадь же тогда получишь в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего ¼к., за второй ½к., за третий 1к. и т. д
Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условие продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10р.
На сколько покупатель проторговался?
Эту задачу и задачу слайда №15 вам предлагается решить дома.
Слайд № 15.
Вкладчик 10 января 2007 г. внес в сберегательный банк 3000 руб. Какова будет сумма его вклада на 10 января 2010 г., если сбербанк начисляет ежегодно 26 % годовых?
Слайд № 16.
Все формулы мы с вами повторили.
Урок успешно завершили.
Литература:
1.История математики в школе.-М.,Просвещение,1992г.
2.МакарычевЮ. Н.и др.Алгебра 9. – М., Просвещение 2008г.
3. Дидактические игры на уроках математики.- М., Просвещение,1990г.
4.Газета «Математика»
