Глава 5. Прогрессии

Тема №1-2 Числовые последовательности.

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Основные сведения

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложен­ному с одним и тем же числом. Это число называют разностью ариф­метической прогрессии и обычно обозначают буквой d.

1. Если аn есть n-й член, d — разность, то

d = an+1 - an, an = a1 + d(n - 1),

Sn = или Sn =


Арифметическая прогрессия возрастает, если d > 0, и убывает, если d<0.

2. Если ak, al, am, an — члены арифметической прогрессии с такими номерами, что k + l = m + n, то ak + al = am + an.

3. Каждый член арифметической прогрессии, отличный от первого и последнего, равен среднему арифметическому соседних с ним членов:

an =

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность от­личных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. Это число называ­ют знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначают буквой q.

1. Если bn есть n-й член, q — знаменатель, то

q = bn = b1qn-1

Sn = q1

2. Если bk, bl, bm, bn — члены геометрической прогрессии с такими номерами, что к +l =

m + n, то bk • bl = bm • bn.

3. Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, отличного от первого и последнего, равен произведению соседних с ним членов: bn2= bn-1• bn+1

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Если S есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрес­сии (|q| <1), то S=

Предлагаю вашему вниманию демонстрационный вариант, изучите на его примере алгоритмы выполнения заданий и попробуйте свои силы.

1. Из чисел -3, 6, 21, 0 выберите число, которое не является членом последовательности

bn = n2 - 4.

1)) 0

Решение. Исследуем каждое из предложенных чисел.

1) Пусть bn = -3, тогда -3 = n2 - 4, n2 = 1, n = ±1, n N. Значит, n = 1. Следовательно, bn = -3 является членом заданной по­следовательности.

2) Пусть bn = 6, тогда 6 = n2 - 4, n2 = 10, n = ±, n N. Сле­довательно, bn = 6 не является членом заданной последовательности.

3) Пусть bn = 21, тогда 21 = n2 - 4, n2 = 25, n = ±5, n N. Значит, n = 5. Следовательно,

bn = 21 является членом заданной по­следовательности.

4) Пусть bn = 0, тогда 0 = n2 - 4, n2 = 4, n = ±2, n N. Значит, n = 2. Следовательно, bn = 0 является членом заданной последователь­ности.

Ответ: 2.

2. Найдите пятый член последовательности, заданной рекуррентной формулой

an+1 = 2аn - 3 и условием а1 = 2.

14) -13

Решение. Найдём пятый член последовательным нахождением а2, а3,a4, а5.

а2 = 2 • 2 - 3 = 1, а3 = 2 • 1 - 3 = -1, а4 = 2 • (= -5, а5 = 2 • (= -13.

Ответ: 4.

3. Из арифметических прогрессий, заданных формулой n-го члена, вы­берите ту, для которой выполняется условие а12 > 0.

1) аn = -3n 2) аn = -2n + 24

3) аn = n -аn = 2n - 10

Решение. По формуле n-го члена для каждой из заданных прогрес­сий сравним значение а12 с нулём.

аn = -3n, a12 = -3 • 12 = -36 < 0.

аn = -2n + 24, a12 = -2 • 12 + 24 = 0.

аn = n - 15, a12 == -3 < 0.

аn = 2n - 10, a12 = 2 •= 14 > 0.

Ответ: 4.

4. Найдите знаменатель геометрической прогрессии: 3; 1; ;...

1)

Решение. Знаменатель геометрической прогрессии q = =

Ответ: 4.

5. Укажите число неотрицательных членов арифметической прогрессии:
13; 10; 7;...

1 10

Решение. Разность заданной прогрессии d = a2—a1= 10-13 = —3. Следовательно, а4 = а3 + d = 7 — 3 = 4, a5 = а4 + d = 4 — 3 = 1, а6 = a5 + d = 1 — 3 = - 2 < 0. Очевидно, все последующие члены прогрессии являются отрицательными. Значит, заданная прогрессия со­держит 5 неотрицательных членов.

Ответ: 1.

6. Найдите неизвестный член геометрической прогрессии: ; ; х; ;...

l) 2)

Решение. Неизвестный член заданной геометрической прогрессии найдём по свойству прогрессии:

bn = . Получаем х =

Ответ: 2.

7. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если а1 = 5, d = —2.

1) 4) 5

Решение. Сумму первых пяти членов заданной арифметической прогрессии найдём по формуле

Sn =

Получаем S5 = . Ответ: 4.

8. Каждой из последовательностей

А)3;5;7; Б)1; В) 1;

поставьте в соответствие формулу n-ого члена.

l) an = 2)an = 2n + l 3) an=n2 4) an =

Решение. Рассмотрим каждую из заданных последовательностей.

А) 3; 5; 7 — последовательность нечётных чисел, аn = 2n + 1. Этой последовательности соответствует ответ 2).

Б) Последовательность 1; можно записать в виде: 1;

Значит, an = -. Этой последовательности соответствует ответ 4).

В) 1; — геометрическая прогрессия со знаменателем q = .

Значит an = 1 • = . Этой последовательности соответ­ствует ответ 1).

А

Б

В

2

4

1

Попробуй решить сам!

Вариант 1.

1. Какое из чисел является членом последовательности аn = n2+2n—1?

1 4

2. Найдите рекуррентную формулу для последовательности чисел
3;1;-1;-3;...

1) an+1 = an + 2 2) an+1 = an - 2

3) an+1 = -2an 4) an+1 = an

3. Из арифметических прогрессий, заданных формулой n-го члена, вы­берите ту, для которой выполняется условие а15 < 0.

1) аn = 5n 2) аn = -2n + 50

3) аn = 3n -аn = -3n + 45

4. Найдите разность арифметической прогрессии, заданной формулой an = 3n - 4.

1)) 4

5. Укажите число членов арифметической прогрессии 4,7,10,..., удов­летворяющих условию аn 48.

1)4) 17

6. bn — геометрическая профессия, и известно, что b3 = х, b3+k = , b3+2к = 3,75.

Найдите х.

1) 3) 4)

7. Найдите сумму первых семи членов геометрической профессии, если b1= , q = 2.

1) 2)

8. Каждой из последовательностей поставьте в соответствие формулу n - го члена.

А) Б) 8;13;18;… В) 5;17;65;…

1) an = 2n – 12n 2) аn = 5n + 3

3) аn = 1 – 2-n 4) an = 22n+ 1

А

Б

В

Ответ:

Вариант 2.

1. Чему равна разность арифметической прогрессии, если её первый член равен 3, а пятый - 27?

1) 6

2. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии 3;6;12;...

1) 1

3. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая прогрессия. Укажите её.

1) 2;3;5;6;; -4; -8; -12;...

3) 4;1;-2;-5;;2;4;8; ...

4. Выписано несколько последовательных членов арифметической про­грессии: ...; 15; х; 1; - 6;... . Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.

1 10

5. Геометрическая профессия задана условиями b1 = 2, bn+1= 2bn. Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

14) 24

6. В геометрической прогрессии b5 • b20 = 13. Найдите b3 •b22.

7. Числа 2а, 3b, 4с образуют в указанном порядке арифметическую про­грессию. Найдите число b, если a = 4, с = 7.

8. В искусственный водоём внесли 10 кг одноклеточных водорослей. Определите, через сколько дней масса этих водорослей в водоёме за­ведомо превысит 1 тонну, если количество водорослей в водоёме удваи­вается через каждые 3 дня.