Можно ли изучать фрактальную геометрию в школе?
, ,
Уральский государственный педагогический университет
г. Екатеринбург
Сейчас уже трудно найти старшеклассника, который бы не имел первоначального представления о фрактальных множествах: множествах Мандельброта и Жюлиа, снежинке Коха, пыли Кантора. Как отзвук этого явления в некоторых школах образуются кружки, читаются элективные курсы, проводятся семинары, разрабатываются проекты по изучению фракталов.
На математическом факультете в 2007 году при кафедре геометрии был организован семинар для студентов 1-2 курсов «Фрактальная геометрия». В программу семинара входили вопросы, связанные с детерминированными фракталами: самоподобие, размерность, системы итерированных функций, L-системы. Многие студенты занимались и случайными фракталами, необходимыми для моделирования «естественных фракталов»: береговой линии, кроны деревьев, облаков, кровеносной системы и др. Свои работы по созданию фракталов студенты выполняли на языках программирования Pascal, C++, в программе Fractal Explorer, Ultra Fractal, в системах Matlab и Matematica.
По окончанию семинарских занятий каждый студент разрабатывал программу по изучению фракталов для старшеклассников. В 2008 году эти программы были реализованы на занятиях с группой десятиклассников школы № 000, г. Екатеринбурга. Знакомство с элементами этой прикладной науки началось с изучения истории появления первых фрактальных множеств и приложений фрактальной геометрии в современном мире: в метеорологии и экономике (долгосрочные прогнозы), физиологии (электрокардиограммы), киноиндустрии (ландшафт поверхности планеты в фильме «Звездное переселение II: гнев хана»). Также было усовершенствовано представление о различных классификациях фракталов, помимо стандартного разделения фракталов на природные (созданные природой – физические) и рукотворные (созданные учёными – абстрактные), была рассмотрена классификация фракталов, включающая в себя алгебраические, геометрические, стохастические [3].
У учащихся было сформировано понятие фрактальной (дробной) размерности или, как её еще называют, размерности подобия. Были подсчитаны размерности простейших классических фракталов: Кривая Коха, губка Менгера, ковер Серпинского, пыль Кантора. Также рассматривались задачи на вычисления площадей и объема некоторых фракталов: площадь ковра Серпинского и объем губки Менгера.
В конце занятий проводились игры с использованием теории фракталов, такие как ««Детерминированный хаос» и салфетка Серпинского», ««Детерминированный хаос» и ковер Серпинского», ««Странные аттракторы» и салфетка Серпинского» [2]. В ходе этих игр учащиеся должны были заметить, что выигрыш зависит от расположения первоначальной точки. Анализ показал взаимосвязь стратегии игры с ковром или салфеткой Серпинского (в зависимости от поля игры).
Кроме того, осваивались компьютерные программы, а именно «Logo» и «Fractal Explorer», в которых возможно реализовать построение фрактальных множеств на компьютере [1]. На занятиях школьники проявляли живой интерес к полученной информации, выполняли домашние задания, закрепляющие изученный материал, интерес к теме не угасал на протяжении всех уроков. По окончании курса учащиеся, изъявили желание продолжить знакомство с теорией фракталов и представить на городском конкурсе рефератов свои работы. В частности были определены такие темы, как «Создание трехмерных фрактальных объектов в 3dsmax», «Использование «Fractal Explorer» в компьютерной графике», «Различные способы создания фракталов в системе «Logo». За защиту реферата «Использование «Fractal Explorer» в компьютерной графике» десятикласснику было присуждено первое место на городском фестивале рефератов.
Выполняя, свои исследовательские работы, учащиеся обращались за консультациями к студентам, преподавателю, пользовались ресурсами Интернета и материалами, из различных печатных изданий. При работе с десятиклассниками нами использовалась кроме специальной литературы по фракталам и методическая литература.
В данном исследовании, мы для себя ответили на вопрос, поставленный в заголовке: можно ли изучать фрактальную геометрию в школе? Да, можно. Те знания, которые позволяют успешно усвоить элементы теории фракталов могут быть сформированы у десятиклассников. Но мы основываемся на результатах работы с учащимися одной школы, одного колледжа (нам известен удачный эксперимент в Вологодском педколледже), а будет ли успешен такой эксперимент при массовом внедрение в учебные заведения? По каким пособиям можно обучать этому интегрированному курсу школьников? И главный вопрос: действительно ли так важны элементы фрактальной геометрия в школьном курсе? На все эти вопросы нам предстоит найти ответы в дальнейшем.
Литература
1. Диков, на Logo конструируют фракталы. [Текст] /Математика в школе. – 2005, №4. - с.78-80.
2. «Живая математика» - Пермский научно-популярный журнал,№1,2008.
3. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы. [Текст] - М. : Институт компьютерных исследований, 2002.-
4. Кроновер, Р. «Фракталы и хаос в динамических системах», [Текст] 2-е дополненное изд., Москва : Техносфера, 2006.
