Аналитические решения уравнений Навье-Стокса в трехмерной геометрии

АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА В ТРЕХМЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ.

(Часть II).

Российский научный центр “Курчатовский институт”, Институт ядерного синтеза, Отдел термоядерных реакторов.

Россия, г. Москва, пл. академика Курчатова,.

e-mail: *****@***ru

АННОТАЦИЯ

Во второй части работы представлено построение и решение нелинейного уравнения неразрывности системы уравнений Навье-Стокса. Использование данного уравнения наряду с уравнением движения позволяет в полной мере описать движение вязкой несжимаемой жидкости. Рассмотрена связь нелинейного уравнения с обычным классическим уравнением неразрывности системы Навье-Стокса. Применение полученных решений рассмотрено на конкретном примере.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.Введение……………………………………………………………………………………………....2

2. Нелинейное уравнение неразрывности………………..…………………………..…….…………2

3. Решение нелинейного уравнения неразрывности в первом приближении.………….…........….4

4. Решение уравнения неразрывности во втором приближении.……………………………..….....6

5. Нелинейное уравнение неразрывности для последующего применения………………………..9

6. Пример применения решения нелинейного уравнения неразрывности……………………......15

7. Формула для давления второго вида.……………………….…………..………………………...18

8. Заключение………..…….……………………………...…………..………………………………18

Литература…………………………………………………………………………………………….19

1. Введение

В первой части работы показано, что система уравнений Навье-Стокса должна состоять из двух нелинейных уравнений. Нелинейным должно быть не только уравнение движения, но и уравнение неразрывности. В этом случае решения системы становятся полноценными для описания движения вязкой несжимаемой жидкости. В данной части работы построено нелинейное уравнение неразрывности, соответствующее такому описанию. Применение данного уравнения рассмотрено на конкретном примере, в котором представлена эволюция несжимаемого пограничного ламинарного слоя в турбулентный слой. Решение получено методом последовательных приближений, который применялся для решения задачи в первой части работы. Рассмотрено также решение обычного классического уравнения неразрывности, которое представлено как приближение нелинейного уравнения неразрывности. Показано, что решение классического уравнения для скорости сохраняет слагаемые, соответствующие решению нелинейного уравнения. Рассматриваются особенности построения решения классического и нелинейного уравнения неразрывности для давления.

2. Нелинейное уравнение неразрывности.

Предположим, что уравнение неразрывности имеет вид [1]

, (2.1)

где – коэффициенты, описывающие неупругие столкновения молекул в жидкости,

– абсолютное значение вектора скорости жидкости. Функции принимают комплексные значения, так как включают в себя описание электромагнитного взаимодействия молекул жидкости.

Формула (2.1) не содержит составляющей скорости , так как эта составляющая формируется в результате упругих столкновений. Скорость является решением второго уравнения Ньютона и для нее .

Решим уравнение (2.1) в виде

, (2.2)

(2.3)

где , , , – постоянные вещественные коэффициенты.

Предположим, что данное уравнение описывает движение жидкости в пограничном слое. Поэтому дополним данное уравнение граничными условиями

, (2.4)

, (2.5)

где – радиус вектор, описывающий положение точек поверхности, к которой прилипают молекулы жидкости, – радиус вектор, описывающий положение точек внешней границы пограничного слоя жидкости. Мы предположили, что на этой границе скорость жидкости принимает постоянное значение . Со скоростью жидкость движется во всем пространстве, за исключением пограничного слоя.

Будем искать решение в виде

. (2.6)

Подставим данное выражение в формулу (2.2). Отбросим слагаемые высшего порядка малости. Получим систему уравнений

(2.7)

Предположим, что функции и имеют вид интегралов

, (2.8)

, (2.9)

где , , , – комплексные переменные величины,

, (2.10)

. (2.11)

Подставим выражения (2.8) и (2.9) в систему (2.7). Получим выражение

(2.12)

Введем упрощенные обозначения:

, (2.13)

, (2.14)

. (2.15)

Используем формулы (2.3), а также выражения

, (2.16)

, (2.17)

, (2.18)

, (2.19)

. (2.20)

Получим систему уравнений

(2.21)

Первое и второе уравнение сведем к решению системы, состоящей из четырех уравнений:

(2.22)

3. Решение нелинейного уравнения неразрывности в первом приближении.

Рассмотрим уравнение

. (3.1)

Введем упрощенное обозначение

. (3.2)

Уравнение (3.1) примет вид

. (3.3)

В работе [1] показано, что для скорости система уравнений Навье-Стокса имеет два вида решения. Для решения первого вида вектор скорости совпадает или противоположен по направлению с вектором .

. (3.4)

Тогда

. (3.5)

Для решения второго вида вектор скорости имеет произвольное направление.

Направим ось по направлению вектора :

. (3.6)

Пусть вектор имеет координаты

. (3.7)

Тогда

. (3.8)

Представим функцию в виде разложения в ряд по сферическим функциям:

, (3.9)

где . (3.10)

При этом сферические функции имеют вид

, , (3.11)

, , (3.12)

где – произвольный вектор.

Нормировка сферических функций имеет вид

, (3.13)

Введем также функцию

, (3.14)

. (3.15)

Умножим уравнение (3.8) на функцию и проинтегрируем его по всем возможным значениям и . При этом воспользуемся выражением

. (3.16)

Получим

, (3.17)

где .

Допустим, что

(3.18)

где – произвольная постоянная величина.

Тогда можно представить в виде

, (3.19)

где , , , – произвольная угловая переменная.

Собственные значения имеют непрерывный спектр. Его можно заменить дискретным спектром, значения которого являются решениями уравнений

, , (3.20)

где – порядок аппроксимации решения задачи.

На основании формул (3.8) и (3.14) получим выражение

, (3.21)

Воспользуемся теоремой сложения для полиномов Лежандра:

, (3.22)

где . (3.23)

В результате получим

. (3.24)

Введем обозначение

. (3.25)

Тогда

. (3.26)

Вектор скорости будет иметь вид

, (3.27)

где – произвольная векторная функция скалярного аргумента .

Замечание. Предположим, что функция имеет вид интеграла

. (3.28)

Тогда уравнение (3.8) запишется как

. (3.29)

Его решение имеет вид

, (3.30)

где , , , – произвольная угловая переменная.

Напомним, что функция также зависит от переменной :

. (3.31)

Зависимость данной функции от переменной определяется третьим уравнением системы (2.22), которое решается точно таким же методом, как и первое уравнение.

Итак, мы получили решение первого уравнения системы (2.22). Оставшиеся три уравнения решаются аналогичным образом. Обобщая все решения, мы можем записать формулы

, (3.32)

, (3.33)

, (3.34)

где и – произвольные векторные функции скалярных аргументов и ,

, (3.35)

, (3.36)

, (3.37)

, (3.38)

, , , – произвольная угловая переменная,

, , , – произвольная угловая переменная.

В функциях и переменные могут быть разделены.

С учетом зависимости скорости от времени можно записать выражение

(3.39)

где и – произвольные векторные функции скалярных вещественных аргументов и , а также комплексного аргумента .

Данное выражение описывает решение для скорости, как первого, так и второго вида. Для решения первого вида необходимо учесть формулу (3.5) и то, что вектор скорости параллелен вектору . Также необходимо помнить, что зависимость от времени в двух видах решений различна.

4. Решение уравнения неразрывности во втором приближении.

Рассмотрим два оставшиеся уравнения системы (2.21):

(4.1)

Решение данной системы будем искать в виде

, (4.2)

, (4.3)

, (4.4)

, (4.5)

, (4.6)

, (4.7)

где , , , ,

, ,, , и – произвольные векторные функции скалярных аргументов , , и ,

, (4.8)

, (4.9)

, (4.10)

, (4.11)

, (4.12)

, (4.13)

, (4.14)

, (4.15)

, , , – произвольная угловая переменная,

, , , – произвольная угловая переменная,

, , , – произвольная угловая переменная,

, , , – произвольная угловая переменная.

В функциях , ,, , и переменные могут быть разделены.

Подставим искомый вид решения в рассматриваемую систему. Выполним уже знакомые нам операции. В результате получим систему уравнений, которая связывает функции , с функциями , , и :

(4.16)

Из этих уравнений находим выражения для функций , :

(4.17)

(4.18)

Таким образом, система (2.7) имеет решение в виде

(4.19)

(4.20)

где и – произвольные векторные функции скалярных вещественных аргументов и , а также комплексного аргумента ; и – векторные функции скалярных вещественных аргументов , , и , а также комплексных аргументов и . Направление векторов и произвольно, а их абсолютные значения определяется формулами (4.17) и (4.18).

Данные выражения описывает решение для скорости не только второго, но и первого вида. Для решения первого вида необходимо учесть формулы

, , , . (4.21)

Вектор скорости параллелен вектору , а вектор – вектору .

Необходимо также учесть, что зависимость от времени в двух видах решений различна.

Исследуем поведение решения

(4.22)

при условии что

, , , . (4.23)

Допустим также, что при этом выполнены соотношения

(4.24)

где и – некоторые постоянные величины.

Справедливо соотношение

, при ,

где – постоянная величина.

Таким образом, при условиях (4.23)-(4.24) скорость имеет составляющие и , не равные нулю. При этом выполнено соотношение

. (4.25)

Заметим, что в силу справедливости данного соотношения вклад в давление от скорости второго вида будет равен нулю [1].

5.  Нелинейное уравнение неразрывности для последующего применения.

При условии

, (5.1)

уравнение (2.2) принимает вид

. (5.2)

Решение данного уравнения представляется формулой

, (5.3)

где

, (5.4)

(5.5)

где , – комплексные переменные величины; , – вещественные векторные переменные величины.

Именно такое представление решения для скорости взято за основу в работе [1].

Рассмотрим выражения (4.4)-(4.7). Допустим, что

(5.6)

Тогда из выражений (3.17) и (3.18) следует, что

(5.7)

Рассмотрим декартову систему координат (x, y, z) с центром в точке О (рис. 1). Будем считать, что векторы скорости и всегда параллельны оси x, а векторы и параллельны оси z. Таким образом, векторы и перпендикулярны векторам и . Это означает, что жидкость движется в плоскостях, перпендикулярных оси z, а величина скорости жидкости изменяется в пространстве только с изменением координаты z.

Замечание. В общем случае, вектор может иметь произвольное направление по отношению к вектору . Вектор является переменной интегрирования в формуле (5.4) и не требует согласования по направлению с переменными интегрирования и в формуле (5.5). Но векторы и в сумме должны быть взаимно перпендикулярны [1].

Компонента скорости, параллельная векторам и , отсутствует. Поэтому для описания скорости мы можем использовать решение только второго вида [1]. При этом вклад в давление от этой скорости равен нулю [1], то есть давление носит только гидростатический характер.

Для решения второго вида справедливы формулы [1]

, (5.8)

, (5.9)

где – коэффициент динамической вязкости, – плотность жидкости, – скорость движения материальной точки с массой под действием массовых сил по траектории, определяемой законами Ньютона [1]. В общем случае, скорость может быть функцией комплексной переменной величины. В нашей задаче мы будем полагать, что выполнено

. (5.10)

В этом случае

, (5.11)

. (5.12)

Рис. 1. Расположение в пространстве собственных векторов задачи.

Будем считать, что вектор в формуле (5.4) имеет единственное фиксированное абсолютное значение и направлен по оси z. Вектор в формуле (5.5) направлен против оси z. Вектор в сумме имеет единственное направление в пространстве под углом 135 градусов к оси z. Вектор также направлен под углом 135 градусов к оси z. При этом векторы и находятся в плоскости Oxy (рис.1). Из формулы (5.7) следует, что каждый из векторов и в сумме имеет абсолютное значение, равное абсолютному значению вектора в формуле (5.4), а абсолютное значение самой суммы равно .

Таким образом, в формуле (5.4) вектор имеет координаты

. (5.13)

В формуле (5.5) векторы , и имеют координаты

(5.14)

При рассмотренных предположениях решение уравнения (5.2) записывается как

, (5.15)

где

(5.16)

(5.17)

, (5.18)

(5.19)

(5.20)

При выводе формулы (5.18) мы использовали формулу (5.13), а при выводе формул (5.19) и (5.20) – формулу (5.14). Мы также положили . Направления векторов и будем считать параллельными оси x.

Рассмотрим выражение

. (5.21)

Используем конечное число членов в данной сумме: .

Перейдем к дискретному спектру значений в предположении, что . В этом приближении величина имеет единственное, положительное значение, которое получается из формулы

. (5.22)

. (5.23)

В дальнейшем мы также определим и значение величины , исходя из граничных условий.

Замечание. При известном значении величины использование формулы (5.22) не является необходимым. Мы использовали эту формулу, чтобы определить значение условно.

При условии получим

, , (5.24)

, (5.25)

, (5.26)

. (5.27)

Усредним выражения (5.15)-(5.17) по времени. Для этого проинтегрируем эти выражения по времени в пределах от 0 до . Получим выражения

, (5.28)

где

, (5.29)

. (5.30)

Введем обозначения:

– коэффициент кинематической вязкости,

– произвольная постоянная величина интегрирования, принимающая положительные и отрицательные значения,

,

.

Тогда

. (5.31)

Данное решение должно удовлетворять граничным условиям для пограничного слоя жидкости

, (5.32)

, (5.33)

где – координата точки внешней границы пограничного слоя жидкости: . На этой границе скорость жидкости принимает постоянное значение . Координата меняется с изменением числа Рейнольдса [2]. В нашем примере мы считаем ее постоянной величиной

. (5.34)

Решение удовлетворяет первому граничному условию. Второе граничное условие дает квадратное уравнение для определения постоянной величины :

. (5.35)

Его решения и имеют вид

(5.36)

Мы полагаем, что в данном выражении величина является фиксированной, а величина скорости – переменной.

Величину определим из условия отрыва жидкости от поверхности, по которой жидкость течет:

в точке . (5.37)

Используя это условие, мы полагаем, что величина является фиксированной, а число Рейнольдса Re изменяется только при изменении скорости :

. (5.38)

Из условия отрыва следует выражение

, (5.39)

где – скорость жидкости в момент отрыва.

Из данного выражения получаем соотношение

(5.40)

Знак “+” или “–” перед квадратным корнем выбирается из условия

. (5.41)

Этот знак следует использовать и в выражении (5.36).

Тогда

(5.42)

Заметим, что при любых значениях выполнено условие .

Подставим выражение для соотношения в формулу (5.36). Получим

(5.43)

В этом выражении должно быть выполнено условие

. (5.44)

Знак перед квадратным корнем определяется выражением (5.41).

В дальнейшем мы будем полагать, что

. (5.45)

Полученное выражение для величины замечательно тем, что оно не зависит явно от параметров и . В нем присутствуют величины , , ,, определяющие число Рейнольдса задачи и число Рейнольдса в точке отрыва жидкости от поверхности. Также в него входит величина , которую мы определим из формы эпюры скорости для ламинарного слоя жидкости. Заметим, что при любых значениях указанных величин

.

Представим формулу (5.31) в виде

, (5.46)

Коэффициенты и выражаются формулами:

(5.47)

(5.48)

Знак “+” перед квадратным корнем в и выбирается, если выполнено условие

. (5.49)

Знак “–” перед квадратным корнем в и выбирается, если выполнено условие

. (5.50)

Следует обратить внимание на то, что условия (5.49) и (5.50) получены из условия (5.41), но отличны от него. Это связано с тем, что в выражениях и знак “” перед корнем изменился на знак “”.

Получим выражение для скорости при условии

, , . (5.51)

При условии из формул (5.18)-(5.20), (5.25)-(5.27) получим

, , (5.52)

, , . (5.53)

, (5.54)

. (5.55)

При данных обозначениях из формул (5.28)-(5.30) получим выражение, которое по форме ничем не отличается от выражения (5.31):

, (5.56)

где имеет произвольное значение в пределах: .

При расчете коэффициентов и постоянные величины и сокращаются, поэтому выражения для и тождественны формулам (5.47) и (5.48).

6. Пример применения решения нелинейного уравнения неразрывности.

Рассмотрим конкретный пример. Предположим, по плоской поверхности движется вода при температуре . Тогда [3]

,

,

.

Толщина ламинарного слоя воды равна

м.

Скорость жидкости в точке отрыва определим по формуле

,

где – число Рейнольдса в точке отрыва.

Предположим, что

.

Следовательно,

м.

Скорость ламинарного слоя в точке, далекой от точки отрыва и находящейся на большом расстоянии от нее, представляется решением вида :

,

где – амплитуда скорости, .

Предположим, что на внешней границе ламинарного слоя

.

Отсюда

1/м.

Также

Выберем знак перед квадратным корнем в выражениях (4.48) и (4.49), исходя из условий (5.49) и (5.50).

.

Следовательно, в выражениях для коэффициентов и выбираем знак “– ”.

По формуле (5.47) получим

(6.1)

По формуле (5.48) получим

(6.2)

. (6.3)

Построим распределение скорости в зависимости от аргумента :

, (6.4)

где

,

.

Выберем скорость равную:

1.

;

2.;

3.

.

Соответствующие графики функций скорости показаны на рис. 2.

Рис. 2. Распределение скорости до точки отрыва (1), в точке отрыва (2) и после точки отрыва (3).

7. Формула для давления второго вида.

Вклад в давление от скорости второго вида представляется формулой

, (7.1)

где (см. формулы (4.16), (4.17), (11.63), (11.66) в [1])

, (7.2)

, ,

(7.3)

,, , .

Замечание. В формуле (11.63) учтено только одно слагаемое, так как жидкость несжимаема.

На основании данных формул можно сделать вывод о том, что для решения второго вида давление представляется выражением

, (7.4)

где , – коэффициент динамической вязкости, – коэффициент второй вязкости,

Из данного выражения следует, что при условии

(7.5)

вклад в давление от скорости второго вида также равен нулю. Формула (6.5) справедлива в случае плоского движения жидкости. Поэтому для плоского движения мы должны использовать приближение (5.51).

Плоское движение не является строго турбулентным, поэтому описание турбулентности в этом случае весьма ограничено. Но из плоской турбулентности происходит турбулентность трехмерного движения. Поэтому построение решения задачи для плоского случая является основополагающим.

Замечание. Из выражения (2.1) следуют формулы

. (7.6)

(7.7)

В частности,

, (7.8)

(7.9)

8.  Заключение.

Приближение (5.51) можно использовать и при неплоском, трехмерном движении жидкости, если вклад турбулентного движения в давление пренебрежительно мал. Для более точного расчета давления следует использовать нелинейное уравнение неразрывности с дополнительным слагаемым, учитывающим неупругие столкновения молекул. Данное слагаемое будет малой поправкой к дивергенции только при сравнительно малом выделении энергии в неупругих процессах. При росте температуры вязкость жидкости изменится, и исходная система уравнений Навье-Стокса станет несправедливой, так как она получена при условии постоянства вязкости. Это условие должно определять величину и число слагаемых в рассматриваемой поправке.

Даже при соблюдении уравнения (7.5) решение для скорости включает в себя слагаемые, описывающие нелинейное движение. Поэтому уравнение (7.5) следует рассматривать как приближение нелинейного уравнения неразрывности, определяемое условием (5.51). Решение системы двух нелинейных уравнений Навье-Стокса приводит к формуле, в которой учитывается зависимость давления от квадрата скорости жидкости. Это обстоятельство весьма важно для описания сопротивления давления.

ЛИТЕРАТУРА

1.  Жиркин решения уравнений Навье-Стокса в трехмерной геометрии.

2.  Флетчер методы в динамике жидкостей: В 2-ух томах: Пер. с англ. – М.: Мир, 1991 г.

3.  , Ширкевич по элементарной физике. – 7-ое издание, стереотипное, М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1976 г.