Элементы абстрактной и компьютерной алгебры (стр. 2 )

(включая мультимедиа и электронные ресурсы)

«ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ»

для студентов образовательной профессиональной программы

специальности 050202.65 «Информатика»

(наименование, шифр)

по очной форме обучения

№ п/п	Наименование	Наличие / место	Количество экз.	Обеспеченность
	Обязательная литература
	Модуль №1 «Элементы абстрактной алгебры»
1	, Поднебесова абстрактной и компьютерной алгебры.- М.: Академия, 2010.	Библиотека () / ч/з	40	1
2	Прикладная криптография. Использование и синтез криптографических интерфейсов.- М.: Русская редакция, 2008.	Библиотека () ч/з	40	1
	Модуль №2 «Элементы компьютерной алгебры»
1	, Поднебесова абстрактной и компьютерной алгебры.- М.: Академия, 2010.	Библиотека () / ч/з	40	1
2	Нечаев криптографии. Основы теории защиты информации. - М.: Высшая школа, 2009.	Библиотека () / ч/з	45	1,1
	Дополнительная литература
	Модуль №1 «Элементы абстрактной алгебры»
1	Ларин абстрактной и компьютерной алгебры. Учебно-методическое пособие. – Филиал ФГБОУ ВПО «КГПУ им. в г. Канске». Канск, 2011.	Библиотека () / ч/з	40	1
2	Нечаев криптографии. Основы теории защиты информации. - М.: Высшая школа, 2000.	Библиотека () / ч/з	40	1
	Модуль №2 «Элементы компьютерной алгебры»
1	Ларин абстрактной и компьютерной алгебры. Учебно-методическое пособие. – Филиал ФГБОУ ВПО «КГПУ им. в г. Канске». Канск, 2011.	Библиотека () / ч/з	40	1
2	Нечаев криптографии. Основы теории защиты информации. - М.: Высшая школа, 2000.	Библиотека () / ч/з	40	1

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА РЕЙТИНГА

Наименование дисциплины/курса	Уровень/ступень образования	Название цикла дисциплины в учебном плане	Количество зачетных единиц/кредитов
Элементы абстрактной и компьютерной алгебры	Специалист	ДПП
Смежные дисциплины по учебному плану
Предшествующие: -  Математика. -  Вводный курс информатики. -  Программирование.
Последующие: -  Теоретические основы информатики. -  Теория алгоритмов. -  Численные методы. -  Теория вероятностей и математическая статистика. -  Исследование операций.

ВХОДНОЙ МОДУЛЬ (проверка «остаточных» знаний по ранее изученным смежным дисциплинам)
	Форма работы	Количество баллов
min	max
	Контрольная работа	0	3
Итого	0	3

БАЗОВЫЙ МОДУЛЬ № 1 Элементы абстрактной алгебры
	Форма работы	Количество баллов
min	max
Текущая работа	Посещаемость занятий (1 занятие – 0,5 балла)	18	18
Решение задач (1 задача (работа) – 1 балл)	3	5
Доклад	0	2
Реферат	0	2
Активность	0	1
Промежуточный рейтинг-контроль	Контрольное задание №1	3	7
Контрольное задание №2	3	7
Контрольное задание №3	3	7
Итого	30	49

БАЗОВЫЙ МОДУЛЬ № 2 Элементы компьютерной алгебры
	Форма работы	Количество баллов
min	max
Текущая работа	Посещаемость (1 занятие – 0,5 балла)	14	14
Решение задач (1 задача (работа) – 1 балл)	3	5
Доклад	0	2
Реферат	0	2
Активность	0	1
Промежуточный рейтинг-контроль	Контрольное задание №4	3	7
Контрольное задание №5	3	7
Итого	23	38

ИТОГОВЫЙ МОДУЛЬ
Содержание	Форма работы	Количество баллов
min	max
	Экзамен	7	10
Итого	7	10
Общее количество баллов по дисциплине (по итогам изучения всех модулей, без учета дополнительного модуля)	min	max
60	100

Критерии перевода баллов в отметки:

0-59 баллов – незачтено, 60-100 баллов – зачтено.

ФИО преподавателя: __________________

МетодическиЕ рекомендациИ для студентов

Дисциплина «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры» изучается в течение одного семестра. Основными видами учебной деятельности при изучении данной дисциплины являются: лекции, практические занятия, самостоятельная работа студента.

Таблица 1 дает представление о распределении общей трудоемкости дисциплины по видам учебной деятельности.

Таблица 1.

Дисциплина	Общая трудоемкость	Аудиторные занятия	Самостоятельная работа
Всего	Лекции	Практические
Элементы абстрактной и компьютерной алгебры	130 часов	64 часа	32 часа	32 часа	66 часов

Лекции являются одним из основных видов учебной деятельности в вузе, на которых преподавателем излагается содержание теоретического курса дисциплины. Рекомендуется конспектировать материал лекций. Кроме того, на лекционных занятиях заслушиваются доклады студентов по темам теоретического курса, вынесенных для самостоятельного изучения.

На практических занятиях происходит закрепление изученного теоретического материала и формирование профессиональных умений и навыков. Под руководством преподавателя студенты должны решить ряд задач.

Посещение студентами лекционных и практических занятий является обязательным.

С содержанием лекционных и практических занятий можно познакомиться в Рабочей модульной программе дисциплины.

Как видно из Таблицы 1, большую часть времени (50,8%) при изучении дисциплины занимает внеаудиторная самостоятельная работа студента: самостоятельное изучение рекомендованной литературы, подготовка докладов, рефератов, решение задач для самостоятельной работы.

Список основной и дополнительной литературы, рекомендованной для самостоятельного изучения по дисциплине, приведен в Карте литературного обеспечения дисциплины.

Темы теоретического курса, вынесенные для самостоятельного изучения, и которые могут использоваться для подготовки докладов, приведены в Перечне вопросов для самостоятельной работы по дисциплине «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры».

Примерные темы для написания рефератов приведены в Тематике рефератов по дисциплине «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры».

В качестве дополнительных учебных материалов к УМКД прилагается два СD-диска, которые можно использовать для самостоятельной подготовки. Мультимедиа ресурсы содержат:

1.  Электронный вариант лекций к основным темам курса.

2.  Теоретические материалы.

3.  Дидактический материал.

4.  Тесты.

Образовательный процесс по дисциплине организован в соответствии с модульно-рейтинговой системой подготовки студентов.

Модульно-рейтинговая система (МРС) – система организации процесса освоения дисциплин, основанная на модульном построении учебного процесса. При этом осуществляется структурирование содержания каждой учебной дисциплины на дисциплинарные модули и проводится регулярная оценка знаний и умений студентов с помощью контроля результатов обучения по каждому дисциплинарному модулю и дисциплине в целом.

Данная дисциплина состоит из четырех дисциплинарных модулей: входного, двух базовых и одного итогового.

Входной модуль - это часть учебной дисциплины, отводимая на проверку «остаточных» знаний по ранее изученным смежным дисциплинам

Базовый модуль – это часть учебной дисциплины, содержащая ряд основных тем или разделов дисциплины. Содержание данной дисциплины разбито на 2 базовых модуля: «Элементы абстрактной алгебры», «Элементы компьютерной алгебры».

Итоговый модуль – это часть учебной дисциплины, отводимая на аттестацию в целом по дисциплине.

Результаты всех видов учебной деятельности студентов оцениваются рейтинговыми баллами. Формы текущей работы и рейтинг-контроля в каждом дисциплинарном модуле, количество баллов как по дисциплине в целом, так и по отдельным формам работы и рейтинг-контроля указаны в Технологической карте рейтинга. В каждом модуле определено минимальное и максимальное количество баллов. Сумма максимальных баллов по всем модулям равняется 100%-ному усвоению материала. Минимальное количество баллов в каждом модуле является обязательным и не может быть заменено набором баллов в других модулях, за исключением ситуации, когда минимальное количество баллов по модулю определено как нулевое. В этом случае модуль является необязательным для изучения и общее количество баллов может быть набрано за счет других модулей. Дисциплинарный модуль считается изученным, если студент набрал количество баллов в рамках установленного диапазона. Для получения оценки «зачтено» необходимо набрать не менее 60 баллов, предусмотренных по дисциплине (при условии набора всех обязательных минимальных баллов по каждому дисциплинарному модулю).

Рейтинг по дисциплине – это интегральная оценка результатов всех видов учебной деятельности студента по дисциплине, включающей:

- рейтинг-контроль текущей работы;

- промежуточный рейтинг-контроль;

- итоговый рейтинг-контроль.

Рейтинг-контроль текущей работы выполняется в ходе аудиторных занятий по текущему базовому модулю в следующих формах: сдача задач для аудиторной и самостоятельной работы, практических работ, рефератов, выступление с докладами по темам, изучаемым самостоятельно.

Промежуточный рейтинг-контроль – это проверка полноты знаний по освоенному материалу текущего базового модуля. Он проводится в конце изучения каждого базового модуля в форме контрольных заданий без прерывания учебного процесса по другим дисциплинам.

Итоговый рейтинг-контроль является итоговой аттестацией по дисциплине, которая проводится в рамках итогового модуля в форме экзамена. Для подготовки к экзамену используйте Вопросы к экзамену, которые также приведены в Рабочей модульной программе дисциплины.

Преподаватель имеет право по своему усмотрению добавлять студенту определенное количество баллов (но не более 5 % от общего количества), в каждом дисциплинарном модуле:

- за активность на занятиях;

- за выступление с докладом на научной конференции;

- за научную публикацию;

- за иные учебные или научные достижения.

Студент, не набравший минимального количества баллов по текущей и промежуточной аттестациям в пределах первого базового модуля, допускается к изучению следующего базового модуля. Ему предоставляется возможность добора баллов в течение двух последующих недель (следующих за промежуточным рейтинг-контролем) на ликвидацию задолженностей.

Студентам, которые не смогли набрать промежуточный рейтинг или рейтинг по дисциплине в общеустановленные сроки по болезни или по другим уважительным причинам (документально подтвержденным соответствующим учреждением), декан факультета устанавливает индивидуальные сроки сдачи.

Если после этого срока задолженность по неуважительным причинам сохраняется, то назначается комиссия по приему академических задолженностей с обязательным участием заведующего кафедрой и декана (его заместителя). По решению комиссии неуспевающие студенты по представлению декана отчисляются приказом ректора из университета за невыполнение учебного графика.

В особых случаях декан имеет право установить другие сроки ликвидации студентами академических задолженностей.

Неявка студента на итоговый или промежуточный рейтинг-контроль отмечается в рейтинг-листе записью «не явился». Если неявка произошла по уважительной причине (подтверждена документально), деканат имеет право разрешить прохождение рейтинг-контроля в другие сроки. При неуважительной причине неявки в статистических данных деканата проставляется «0» баллов, и студент считается задолжником по данной дисциплине.

Студентам предлагается использовать рекомендованную литературу для более прочного усвоения учебного материала, изложенного в лекциях, а также для изучения материала, запланированного для самостоятельной работы. Студентам необходимо выполнить индивидуальные задания по основным темам курса, оценки за которые учитываются при выставлении оценок на экзамене. Выполнение заданий, вынесенных на самостоятельную работу, проверяются преподавателем в течение семестра, по ним выставляются оценки, которые учитываются при выставлении оценок на экзаменах.

Банк контрольных заданий по дисципЛине «элементы абстрактной и компьютерной алгебры»

Типовые задания по базовому модулю №1 «Элементы
абстрактной алгебры»

Тема 1. «Введение. Группы, кольца, идеалы, фактор кольца»

1. Доказать равенство множеств: A Ç (B \ C) = (A Ç B) \ (A Ç C)

2. Для множества А= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} дано разбиение S={A1={1,3,5}, A2={4,6}, A3 ={2,7}}. На множестве A задано отношение a={(a, b)/ $Ai ÎS (a, b ÎAi )}.

а) Задать x таблицей.

б) Проверить, что x является отношением эквивалентности на множестве A.

в) Проверить, что совокупность A/a всех различных смежных классов по эквивалентности a совпадает с S.

3. Построить таблицу умножения всех подстановок 4 степени, оставляющих на месте 1 и доказать, что они образуют группу относительно умножения подстановок.

4. Найти порядок подстановки a =.

Тема 2. «Кольцо целых чисел. Теория делимости в кольце
целых чисел»

1. Построить кольцо классов вычетов по модулю 5. Если это кольцо является полем, найти порядки всех элементов мультипликативной группы поля, в противном случае найти все делители нуля.

2. Используя компьютер, разложить на простые множители число 749329.

3. Не разлагая на простые множители числа, найти наименьшее общее кратное чисел 420, 1225 и 490.

4. Изоморфны ли кольцо чисел вида a + b и кольцо матриц вида где a, b – рациональные числа.

5. Найти целые решения уравнения: 30∙X + 21∙Y = 3.

Тема 3. «Кольцо многочленов от одной переменной.
Теория делимости»

1. Решить уравнение .

2. Определить кратность корня -2 для полинома и разложить его на множители:

.

3. Найти наибольший общий делитель многочленов f1 = и f2 =.

4. Разложить многочлен f(x) = на неприводимые множители над полями Q, R, C.

5. Выразить симметрический многочлен через элементарные многочлены.

Типовые задания по базовому модулю №2 «Элементы
компьютерной алгебры»

Тема 4. «Алгебраические методы в теории кодирования и
защиты информации»

1. Определить вес и кодовое расстояние для двоичных слов:

-  а = ; в= ;

-  а= ; в = .

2. Провести проверку правильности кода по методу четности двоичных слов:

1001110 1010101 0101101 1000110 1101011

0 0 0 0 1

3. Пусть было принято следующее сообщение , для передачи которого использовался (1, 3)-код с тройным повторением. Определить, какое сообщение было передано.

Тема 5. «Поля. Расширения полей. Алгебраические и
конечные расширения»

1. Поле R – расширение поля рациональных чисел Q. Доказать, что степень расширения бесконечна.

2. Доказать, что поле Q() содержит множество X всех вещественных чисел, которые можно записать в виде a+b, где a, bÎQ.

3. Доказать, что всякое конечное расширение поля характеристики 0 является простым алгебраическим расширением.

Вопросы для самостоятельной работы

1.  В чем отличие формальной и содержательной аксиоматических теорий?

2.  В чем отличие упорядоченной пары от множества, состоящего из этих двух элементов?

3.  Какова связь между отношениями эквивалентности и разбиениями?

4.  Что из себя представляет полный порядок?

5.  Какие две алгебраические системы называются однотипными?

6.  Чем отличается гомоморфизм двух алгебраических систем от изоморфизма?

7.  Гомоморфизм и изоморфизм тел (что из себя представляют)?

8.  Что из себя представляет свободный модуль?

9.  Является ли линейно-упорядоченное множество структурой?

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

по дисципЛине «элементы абстрактной и компьютерной алгебры»

1.  Алгебраические операции, их свойства.

2.  Нейтральный элемент. Теорема о единственности нейтрального элемента.

3.  Симметричный элемент. Теорема о единственности симметричного элемента.

4.  Бинарные отношения. Виды бинарных отношений. Отношение эквивалентности.

5.  Алгебра. Гомоморфизм. Теорема о гомоморфизме.

6.  Алгебра. Изоморфизм. Теоремы об изоморфизме.

7.  Подалгебра. Замыкание, его свойства. Система образующих.

8.  Группа. Свойства группы. Доказательство одного из свойств (по указанию преподавателя).

9.  Подгруппа. Критерий подгруппы. Смежные классы.

10.  Группа классов вычетов. Теорема Лагранжа.

11.  Гомоморфизм групп. Свойства гомоморфизма.

12.  Ядро гомоморфизма. Нормальная подгруппа. Критерий нормальности подгруппы.

13.  Факторгруппа. Теорема о гомоморфизме.

14.  Кольцо. Свойства кольца. Доказательство одного из свойств (по указанию преподавателя).

15.  Области целостности. Подкольцо. Критерий подкольца.

16.  Идеал. Критерий идеала. Факторкольцо.

17.  Кольцо целых чисел. Отношение делимости, его простейшие свойства. Теорема о делении с остатком.

18.  НОД и НОК. Линейное представление НОД. Связь НОК и НОД.

19.  Линейные диофантовы уравнения.

20.  Алгоритм Евклида.

21.  Расширенный алгоритм Евклида.

22.  Простые числа. Основная теорема арифметики.

23.  Целые числа по модулю m. Кольцо целых чисел по модулю m. Полная система остатков, её виды.

24.  Линейные уравнения по модулю m. Китайская теорема об остатках.

25.  Списочное представление чисел. Короткие и длинные числа. Классические алгоритмы целочисленной арифметики.

26.  Кольцо многочленов от одной переменной.

27.  Теорема о делении многочленов с остатком. Теорема о кольце главных идеалов.

28.  НОД и НОК многочленов. Теоремы существования и единственности НОД и НОК.

29.  Алгоритм Евклида для многочленов.

30.  Приводимые и неприводимые многочлены. Теорема об однозначном разложении на множители.

31.  Корни многочленов. Теорема Безу и её следствие.

32.  Схема Горнера.

33.  Производная многочлена. Вычисление значения многочлена и его производных.

34.  Поле. Свойства поля. Доказательство одного из свойств (по указанию преподавателя).

35.  Поле комплексных чисел. Изоморфизм полей комплексных и действительных чисел.

36.  Подполе. Критерий подполя. Алгебраическое расширение поля.

37.  Конечные расширения полей.

38.  Алфавитное кодирование. Разделимые и префиксные схемы. Кодовое дерево. Неравенство Макмиллана.

39.  Кодирование с минимальной избыточностью. Алгоритм Фано.

40.  Коды с обнаружением и исправлением ошибок. Кодовое расстояние. Расстояние Хэмминга.

41.  Код Хэмминга для исправления одного замещения.

ТематикА рефератов по дисциплине «ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ»

1.  Алгоритмы символьных преобразований.

2.  Алгоритмы возведения полиномов в степень

3.  Алгоритм сравнения мономов

4.  Отделение и аппроксимация вещественных корней полиномиальных уравнений.

5.  Параллельные полиномиальные алгоритмы в компьютерной алгебре

6.  Стандартный нерекурсивный алгоритм умножения полиномов

7.  Системы криптографии с открытым ключом.

8.  Алгоритм Евклида и цепные дроби.

9.  Булевы алгебры. Примеры.

10.  Элементы теории сравнений

11.  Симметрические многочлены. Основная теорема.

12.  Операции с многочленами в Maple. Вычисление корней полиномов.

13.  Использование пакета Maple для решения задач по теории графов.

14.  Программирование в Maple. Типы данных, организация ветвлений и циклов.

15.  Программирование в среде Maple. Организация процедур. Отладка.

16.  Использование пакета Maple для решения задач по теории групп.