МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ |
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение |
«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» Озерский технологический институт – филиал НИЯУ МИФИ |
Кафедра высшей математики
КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН
занятий по дисциплине
“Аналитическая геометрия ”
на осенний семестр 2013/2014учебного года
для группы 1ПС-13Д
Лекции - 36 час.
Практические занятия - 36 час.
Форма отчетности - экзамен
Коневских
Зав. кафедрой
2013 г
1. Лекции.
1. Матрицы. Действия над матрицами. Свойства этих операций.
2. Определитель квадратной матрицы n-го порядка. Его свойства. Алгебраические дополнения и миноры элементов матрицы.
3. Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы. Методы нахождения обратной матрицы.
4. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Правило Крамера. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
5. Теорема о базисном миноре. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса решения СЛАУ. Общая схема исследования систем линейных алгебраических уравнений. Примеры.
6. Однородные системы уравнений, ФСР. Собственные числа и собственные векторы матрицы.
7. Понятие геометрического вектора. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость геометрических векторов. Геометрический смысл линейной зависимости.
8. Базис на плоскости и в пространстве. Разложение вектора по базису. Ортогональная проекция вектора на ось и ее свойства. Направляющие косинусы вектора.
9. Скалярное произведение векторов, его свойства. Векторное произведение, его свойства.
10. Смешанное произведения векторов, его свойства. Двойное векторное произведение.
11. Декартова система координат на плоскости и в пространстве. Переход от одной системы координат к другой. Полярные, цилиндрические и сферические системы координат.
12. Уравнения линии на плоскости и в пространстве. Алгебраические линии. Прямая на плоскости. Различные виды уравнений прямой. Типовые задачи.
13. Уравнения поверхности. Алгебраические поверхности. Плоскость в пространстве. Различные виды уравнения плоскости.
14. Уравнение прямой в пространстве. Типовые задачи.
15. Каноническое уравнение эллипса. Исследование формы по каноническому уравнению. Геометрические свойства.
16. Канонические уравнения гиперболы, параболы. Исследование их формы по каноническим уравнениям. Геометрические свойства.
17. Общее уравнение кривой второго порядка, приведение к каноническому виду. Классификация кривых второго порядка. Примеры.
18. Канонические уравнения поверхностей второго порядка. Метод сечений. Поверхности вращения. Цилиндрические и конические поверхности.
2. Практические занятия.
1. Матрицы, действия над матрицами.
2. Определители, их свойства. Методы вычислений.
3. Обратная матрица.
4. Ранг матрицы. Правило Крамера.
5. Решение СЛАУ методом Гаусса.
6. Однородные СЛАУ. Нахождение ФСР. Контрольная работа.
7. Линейные операции над векторами.
8. Скалярное произведение векторов.
9. Векторное произведение векторов.
10. Смешанное произведение векторов. Контрольная работа.
11. Полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат.
12. Прямая на плоскости.
13. Различные виды уравнения плоскости.
14. Прямая в пространстве. Задачи на прямую и плоскость.
15. Эллипс и его свойства.
16. Гипербола и его свойства. Парабола и ее свойства. Контрольная работа.
17. Приведение кривой 2-го порядка к каноническому виду.
18. Поверхности 2-го порядка. Метод сечений.
3. Список литературы.
3.1. Основная литература.
Шипачев математика. М., Высшая школа, 2001. Шипачев по высшей математике. М., Высшая школа, 2001. Беклемишев аналитической геометрии и линейной алгебры. М., Наука, 1984, 2003. Клетеник задач по аналитической геометрии. М., Наука, 2005. Кузнецов заданий по высшей математике (типовые расчеты), СПб., «Лань»3.2. Дополнительная литература.
, Никольский линейной алгебры и аналитической геометрии. Москва: Наука, 1988.2. , «Линейная алгебра», М.: Наука, 2003.
3. , «Аналитическая геометрия», М.: Наука.
4. «Высшая математика. Часть 1», Озерск: ОТИ МИФИ, 2004.
5. , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах, т.1, Москва, Высшая школа, 1986.
4. Индивидуальные домашние задания.
Выдаются на первом занятии.
№ | Название задания | Номера заданий | Срок сдачи |
1. | Элементы линейной алгебры | Михайлова заданий по линейной алгебре. Задачи 1-7. | 7 неделя |
2. | Векторная алгебра | Михайлова заданий по аналитической геометрии. Задание 1. | 10 неделя |
3. | Прямая на плоскости и в пространстве | Михайлова заданий по аналитической геометрии. Задание 2. | 16 неделя |
5. Коллоквиум.
Коллоквиум по теме «Элементы линейной алгебры» проводится по теоретическому материалу лекций №1-6 на 7 неделе.
6. Вопросы к экзамену.
Векторная алгебра.
Основные определения: геометрический вектор, нулевой и противоположный вектор, длина вектора, равные векторы, орт вектора, угол между векторами, коллинеарные, ортогональные и компланарные векторы; сумма векторов (правило треугольника и параллелограмма), разность векторов, умножение вектора на число; линейно зависимые и независимые векторы; базис векторов на плоскости и в пространстве, ортонормированный базис, координаты вектора относительно базиса; проекция вектора на ось; правая тройка векторов, скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.
1. Линейные операции над векторами. Их свойства.
2. Коллинеарные векторы. Признаки коллинеарности ненулевых векторов.
3. Линейно зависимые и независимые геометрические векторы, теоремы о линейно зависимых векторах.
4. Критерий линейной зависимости 2-х векторов.
5. Критерий линейной зависимости 3-х векторов.
6. Линейная зависимость 4-х векторов.
7. Угол между векторами. Ортогональные векторы. Признак ортогональности векторов.
8. Базис на плоскости и в пространстве. Разложение вектора по базису, координаты вектора относительно базиса. Теорема о единственности разложения вектора по базису.
9. Теоремы о координатах вектора в базисе.
10. Ортогональная проекция вектора на ось, ее свойства.
11. Декартова прямоугольная система координат. Координаты точки. Теорема о проекциях вектора на координатные оси в д. с.к. Направляющие косинусы.
12. Скалярное произведение векторов и его свойства.
13. Векторное произведение векторов и его свойства.
14. Смешанное произведение векторов и его свойства.
15. Преобразование систем координат (в общем виде, сдвиг, поворот).
16. Полярная, сферическая, цилиндрическая системы координат.
Элементы высшей алгебры.
Основные определения: матрица (квадратная, нулевая, единичная, симметричная, диагональная, треугольная), равные матрицы; сумма, произведение матриц, произведение матрицы на число, транспонирование матрицы, алгебраические дополнения и миноры матрицы, обратная матрица; перестановка, инверсия, транспозиция, определитель квадратной матрицы; ранг матрицы; СЛАУ, решение системы, совместная СЛАУ, система Крамера; базисный минор, фундаментальная система решений, собственные числа и собственные векторы матрицы
Матрицы. Операции над матрицами и их свойства. Определитель квадратной матрицы. Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы. Единственность обратной матрицы. Крамеровская СЛАУ. Формулы Крамера. Линейная зависимость строк матрицы. Теорема о базисном миноре. Ранг матрицы. Совместные СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли. Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений. Теорема о количестве решений в ФСР. Аналитическая геометрия.
Основные определения: уравнение линии и поверхности, алгебраические линии и поверхности, парабола, эллипс, гипербола, эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоид, эллиптический и гиперболический параболоид, конические и цилиндрические поверхности.
Алгебраические линии 1-го порядка. Теорема об уравнении прямой на плоскости. Различные виды уравнения прямой на плоскости. Нормированное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой (на плоскости). Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Алгебраические поверхности 1-го порядка. Теорема об уравнении плоскости. Различные виды уравнения плоскости. Нормированное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. Различные виды уравнения прямой в пространстве. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Их свойства. Поверхности второго порядка: эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоид, эллиптический и гиперболический параболоид. Конические и цилиндрические поверхности.