МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Саратовский государственный университет имени
Факультет компьютерных наук и информационных технологий
УТВЕРЖДАЮ
___________________________
"__" __________________20__ г.
Рабочая программа дисциплины
Геометрия и топология
Направление подготовки
010500 Математическое обеспечение и администрирование
Профиль подготовки
Параллельное программирование
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная
Саратов 2011
1. Цели освоения дисциплины
Дисциплина «Геометрия и топология» предназначена для студентов факультета компьютерных наук и информационных технологий, обучающихся по направлению 010500 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем. Дисциплина «Геометрия и топология» читается в 1-ом, 2-ом и 3-ем семестрах и является одной из основ изучения математических и ряда прикладных дисциплин. Её целью является дать основы аналитической геометрии, дифференциальной геометрии, топологии и вычислительной геометрии, научить решать стандартные задачи по данной дисциплине, указать на ее связи с приложениями.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Данная учебная дисциплина входит в раздел «Математический и естественнонаучный цикл. Базовая часть». ФГОС-3.
Дисциплина «Геометрия и топология» имеет тесные логические и содержательно-методические взаимосвязи с другими дисциплинами цикла. Так, например, при проектировании дисциплины «Математический анализ» учитывается, что студенты в результате изучения геометрии и топологии знают стандартные системы координат и их преобразования, основные формулы аналитической геометрии, основные теоремы об уравнениях фигур, теорию прямых на плоскости и в пространстве и т. д. С другой стороны, для нахождения уравнений асимптот гиперболы, для исследования форм геометрических фигур и для решения некоторых других задач требуются знания, приобретенные студентами при изучении математического анализа. Многие из разделов дисциплины «Геометрия и топология» используются и уточняются при изучении таких дисциплин как математическая логика, дифференциальные уравнения, теория вероятностей и математическая статистика и др.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:
должен демонстрировать:
способность применять знания на практике (0К-5);
исследовательские навыки (ОК-6);
способность учиться (ОК-7);
умение находить, анализировать и контекстно обрабатывать научно-исследовательскую информацию (ОК-9);
фундаментальную подготовку по основам профессиональных знаний (ОК-10);
базовые знания в различных областях (ОК-13);
способность к анализу и синтезу (ОК-14).
должен демонстрировать:
определение общих форм, закономерностей, инструментальных средств для данной дисциплины (ПК-1);
умение понять поставленную задачу (ПК-2);
умение формулировать результат (ПК-3);
умение строго доказывать математическое утверждение (ПК-4);
умение на основе анализа увидеть и корректно сформулировать математически точный результат ( ПК-5);
умение самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата (ПК-6);
умение грамотно пользоваться языком предметной области (ПК-7);
умение ориентироваться в постановках задач (ПК-8);
знание корректных постановок классических задач (ПК-9);
понимание корректности постановок задач (ПК-10);
глубокое понимание сути точности фундаментальных знаний (ПК-13);
контекстную обработку информации (ПК-14);
выделение главных смысловых аспектов в доказательствах (ПК-16).
(наименование в соответствии с ФГОС ВПО).
В результате изучения дисциплины «Геометрия и топология» студент должен знать:
1. Векторную алгебру. Методы применения векторной алгебры на практике.
2. Стандартные системы координат и их преобразования.
3. Основные формулы аналитической геометрии.
4. Основные теоремы об уравнениях фигур.
5. Теорию прямых на плоскости и в пространстве.
6. Теорию плоскостей в пространстве.
7. Элементарную теорию фигур 2-го порядка на плоскости и в пространстве.
8. Основные понятия топологии: топологическое пространство, открытые и замкнутые множества, окрестности точек и их свойств.
9. Топологию метрического пространства и ее основных свойств.
10. Определения и основные свойств непрерывных отображений.
11. Определение дифференцируемого многообразия, примеры дифференцируемых многообразий.
12. Определение кривой в евклидовом пространстве, ее трехгранник Френе, кривизну и кручение, формулу Френе.
13. Определение поверхности в евклидовом пространстве, ее первую и вторую квадратичную форму и их основные свойства.
В результате изучения дисциплины «Геометрия и топология» студент должен уметь:
1. Осуществлять переход от одних координат к другим.
2. Применять основные формулы аналитической геометрии при решении задач, понять поставленную задачу в предметной области и решить её с привлечением формул аналитической геометрии.
3. Классифицировать фигуры по их уравнениям, используя глубокое понимание сути точности фундаментальных знаний.
4. Аналитическим способом решать задачи на прямые и плоскости.
5. Приводить уравнения второго порядка к каноническому виду.
6. На основе анализа уравнений уметь распознавать конусы, цилиндры и поверхности вращения.
7. Использовать основные понятия топологии для решения простых задач и задач средней трудности по топологии.
8. Доказывать основные теоремы топологии, выделять главные смысловые аспекты в доказательствах.
9. Использовать понятие многообразия в теории кривых и поверхностей.
10. Использовать основные формулы для вычисления кривизны и кручения и использовать их для решения задач.
11. Вычислять первую и вторую квадратичную форму поверхности и использовать их для решения задач.
В результате изучения дисциплины «Геометрия и топология» студент должен владеть геометрическими методами построения математической модели профессиональных задач и содержательной интерпретации полученных результатов.
4. Структура и содержание дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины «Геометрия и топология» составляет 12 зачетных единиц (432 часа).
№п/п | Раздел дисциплины | есеместр | Ннеде-ля ссеместра | Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах) | Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра) Формы промежуточной аттестации (по семестрам) | |||
лекции | Пактиекие занятия | Лабора-ные занятия | Самостояте-льная работа | |||||
1 | Раздел 1 Векторная алгебра | 1 | 1-3 | 6 | 6 | 3 | Опрос, проверка домашнего задания | |
2 | Раздел 2. Метод координат | 1 | 4-7 | 8 | 6 | 3 | Опрос, проверка домашнего задания | |
3 | Раздел 3. Фигуры 1-го порядка на плоскости и в пространстве | 1 | 8-11 | 8 | 10 | 6 | Контрольная работа по разделам 1-3 | |
4 | Раздел 4. Линии 2-го порядка на плоскости | 1 | 12-15 | 8 | 8 | 4 | Опрос, проверка домашнего задания | |
5 | Раздел 5. Поверхности и линии в пространстве | 1 | 16-18 | 6 | 6 | 6 | Контрольная работа по разделам 4-5 | |
Промежуточная аттестация | 1 | зачет, экзамен | ||||||
Итого за 1 семестр | 1 | 36 | 36 | 22 | Экзамен (54ч.) | |||
6 | Раздел 6. Движения и аффинные преобразования | 2 | 1-6 | 12 | 10 | 12 | Контрольная работа по разделу 6 | |
7 | Раздел 7. Элементы топологии | 2 | 7-16 | 120 | 122 | 10 | Контрольная работа по разделу 7 | |
Промежуточная аттестация | 2 | Зачет, экзамен | ||||||
Итого за 2 семестр | 2 | 32 | 32 | 22 | Экзамен (36ч.) | |||
8 | Раздел 8. Введение в дифференциальную геометрию | 3 | 1-11 | 22 | 22 | 22 | Контрольная работа по разделу 8 | |
9 | Раздел 9. Многомерная евклидова геометрия | 3 | 12-16 | 10 | 8 | 6 | Опрос, проверка домашнего задания | |
10 | Раздел 10. Элементы вычислительной геометрии | 3 | 17-18 | 4 | 6 | 8 | Контрольная работа по разделам 9-10 | |
Промежуточная аттестация | 3 | экзамен | ||||||
Итого за 3 семестр | 3 | 36 | 36 | 36 | Экзамен (54ч.) | |||
Всего | 104 | 104 | 80 |
Темы и краткое содержание лекций
Первый семестр
Раздел 1. Векторная алгебра
Тема 1.1. Свободные и связные векторы. Линейные операции над векторами. Основные свойства операции сложения векторов и операции умножения вектора на число. Разность векторов. Модуль (длина) вектора, основные свойства модуля. Деление коллинеарных векторов. Признак коллинеарности вектора ненулевому вектору.
Тема 1.2. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Основные свойства линейной зависимости и линейной независимости. Линейная независимость системы, состоящей из одного, двух и из трех векторов. Базис на плоскости и в пространстве. Теорема о разложении вектора по базису на плоскости и в пространстве. Единственность разложения вектора по базису.
Тема 1.3. Координаты вектора в данном базисе. Теорема о координатах линейной комбинации векторов и ее следствия. Признак коллинеарности векторов в координатах. Второе определение координат вектора. Ортонормированный базис. Нахождение ортонормированных координат вектора.
Тема 1.4. Скалярное произведение векторов, его элементарные свойства. Выражение скалярного произведения в произвольных и ортонормированных координатах. Применение скалярного произведения в геометрии и в механике.
Тема 1.5. Понятие об ориентации плоскости и пространства и его формализация. Векторное произведение векторов, его основные свойства. Смешанное произведение векторов, основные свойства смешанного произведения. Выражение смешанного произведения в произвольных и ортонормированных координатах. Признак компланарности векторов в координатах.
Тема 1.6. Координаты векторного произведения в ортонормированном базисе. Двойное векторное произведение; формула для нахождения двойного векторного произведения векторов.
Раздел 2. Метод координат
Тема 2.1. Общее понятие системы координат на плоскости и в пространстве. Аффинная и декартова система координат. Криволинейные системы координат: полярная система координат на плоскости, цилиндрическая и сферическая системы координат в пространстве.
Тема 2.2. Основные формулы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве в декартовой системе координат: расстояние между двумя точками, угол между двумя векторами, площадь треугольника, объем тетраэдра.
Тема 2.3. Формулы преобразования аффинных и декартовых координат на плоскости и в пространстве. Алгебраические фигуры. Теорема о сохранении порядка уравнения алгебраической фигуры при преобразовании аффинной системы координат. Порядок алгебраической фигуры.
Раздел 3. Фигуры 1-го порядка на плоскости
и в пространстве
Тема 3.1. Основная теорема о прямой на плоскости (в аффинной системе координат). Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости в аффинной системе координат (общее, каноническое, параметрическое, через две заданные точки, в отрезках, через точку с известным угловым коэффициентом).
Тема 3.2. Геометрический смысл коэффициентов уравнения прямой в декартовой системе координат. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой (в декартовой системе координат).
Тема 3.3. Основная теорема о плоскости в пространстве (в аффинной системе координат). Виды уравнений плоскости в аффинной системе координат (общее, каноническое, параметрическое, через три заданные точки, в отрезках). Взаимное расположение двух плоскостей.
Тема 3.4. Геометрический смысл коэффициентов уравнения плоскости в декартовой системе координат. Задачи на плоскость: угол между двумя плоскостями, расстояние от точки до плоскости (в декартовой системе координат).
Тема 3.5. Основная теорема о прямой в пространстве (в аффинной системе координат). Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости (в аффинной системе координат).
Тема 3.6. Задачи на прямую (в декартовой системе координат): угол между двумя прямыми, угол между прямой и плоскостью, расстояние от точки до прямой, расстояние между скрещивающимися прямыми.
Раздел 4. Линии 2-го порядка на плоскости
Тема 4.1. Эллипс, его определение и вывод канонического уравнения. Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению.
Тема 4.2. Гипербола, ее определение и вывод канонического уравнения. Форма гиперболы. Асимптоты гиперболы.
Тема 4.3. Парабола, ее определение и каноническое уравнение. Форма параболы.
Тема 4.4. Общее директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы. Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы.
Тема 4.5. Общее уравнение кривой 2-го порядка на плоскости. Пересечение кривой 2-го порядка с прямой. Асимптотические и неасимптотические направления для кривой 2-го порядка. Центры и диаметры кривых 2-го порядка. Сопряженные диаметры. Главные направления и главные диаметры.
Тема 4.6. Преобразование коэффициентов общего уравнения кривой 2-го порядка при переходе к новой декартовой системе координат. Инварианты. Стандартные упрощения общего уравнения кривой 2-го порядка. Приведение общего уравнения кривой 2-го порядка к каноническому виду. Классификация кривых 2-го порядка.
Раздел 5. Поверхности и линии в пространстве
Тема 5.1. Общее уравнение поверхности. Явное уравнение поверхности. Общее уравнение линии в пространстве. Параметрическое уравнение поверхности. Параметрическое уравнение линии. Примеры уравнений поверхностей и линий, составляемых по их геометрическим и механическим свойствам.
Тема 5.2. Теорема о цилиндрической поверхности. Достаточный признак цилиндрической поверхности. Цилиндры 2-го порядка.
Тема 5.3. Теорема о поверхности вращения. Достаточный признак поверхности вращения. Примеры.
Тема 5.4. Конические поверхности. Достаточный признак конической поверхности. Примеры.
Тема 5.5. Методы исследования формы поверхности, заданной общим уравнением. Поверхности 2-го порядка, заданные своими каноническими уравнениями (трехосный эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды).
Тема 5.6. Общее уравнение поверхности 2-го порядка. Пересечение поверхности 2-го порядка с прямой. Асимптотические направления. Прямолинейные образующие поверхности 2-го порядка. Центр поверхности 2-го порядка, центральные поверхности. Теорема о приведении общего уравнения поверхности 2-го порядка к каноническому виду (без доказательства).
Второй семестр
Раздел 6. Движения и аффинные преобразования
Тема 6.1. Преобразования множества. Суперпозиция преобразований, обратимость преобразований (теоретико-множественный и алгебраический подходы). Линейные преобразования множества векторов плоскости. Простейшие свойства линейных преобразований. Линейное преобразование, переводящее заданный базис в заданную пару векторов; критерий обратимости такого преобразования.
Тема 6.2. Аффинные преобразования плоскости. Линейное преобразование, ассоциированное с аффинным. Теорема о существовании и единственности аффинного преобразования, переводящего одну аффинную систему координат в другую. Движения плоскости. Теорема о совпадении движений с изометриями плоскости. Классификация движений плоскости.
Тема 6.3. Формулы аффинного преобразования плоскости в координатах. Характеризация матрицы аффинного преобразования. Матричная форма записи аффинного преобразования. Геометрический смысл определителя аффинного преобразования. Координатная форма записи движения плоскости. Движения, сохраняющие и движения, меняющие ориентацию.
Тема 6.4. Теорема о группе аффинных преобразований и группе движений плоскости. Основные свойства аффинных преобразований плоскости. Аффинная эквивалентность фигур. Аффинная классификация кривых 2-го порядка. Понятие об аффинной геометрии плоскости, групповая точка зрения на геометрию (Эрлангенская программа Клейна).
Раздел 7. Элементы топологии
Тема 7.1. Основные понятия топологии
Определение топологического пространства с помощью открытых множеств. Топология, порожденная множеством подмножеств. База топологии. Необходимое и достаточное условие базы. Топология метрического пространства. Топология пространства 
. Замкнутые множества и их свойства. Окрестности точки и их свойства. Необходимое и достаточное условие открытого множества. Внутренние точки множества, внутренность и ее свойства. Точки прикосновения множества, замыкание и его свойства. Хаусдорфовы топологические пространства. Хаусдорфовость метрического пространства.
Тема 7.2. Непрерывность. Непрерывность отображения в точке. Критерий непрерывности в точке. Непрерывность отображения метрических пространств. Необходимое и достаточное условие непрерывности отображения с помощью открытых и замкнутых множеств. Гомеоморфизм.
Тема 7.3. Подпространство, произведение и факторпространство
Подпространство топологического пространства, его открытые и замкнутые множества. Хаусдорфовость подпространства хаусдорфова пространства. Произведение топологических пространств. База топологии произведения топологических пространств. Непрерывность отображения в произведение топологических пространств. Сечения произведения топологических пространств. Хаусдорфовость произведения топологических пространств.
Факторпространство топологического пространства, его открытые и замкнутые множества. Непрерывность отображения факторпространства. Хаусдорфовость факторпространства.
Тема 7.4. Компактность и связность
Компактные топологические пространства. Две аксиомы компактности и их эквивалентность. Компактные множества. Необходимое и достаточное условие компактности множества. Свойства компактных множеств. Компактные множества пространства . Локально компактные топологические пространства. Теорема Александрова (без доказательства).
Связные топологические пространства. Компактность и связность произведения топологических пространств и факторпространства топологического пространства.
Третий семестр
Раздел 8. Введение в дифференциальную геометрию
Тема 8.1. Дифференцируемые отображения пространства и их свойства. Диффеоморфизмы пространства и их свойства. 
-мерная карта и -мерный атлас. -мерный атлас класса 
. Эквивалентность атласов. Максимальный атлас. Определение дифференцируемого многообразия. Примеры дифференцируемых многообразий. Дифференцируемые отображения дифференцируемых многообразия. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости отображения. Открытые подмногообразия.
Тема 8.2. Трехмерное евклидово пространство. Точечно-векторная аксиоматика евклидова пространства. Декартовы системы координат. Движения (изометрии) евклидова пространства.
Тема 8.3. Векторные функции скалярных переменных. Определение векторной функции скалярного переменного, ее производная и ее формальные свойства. Векторное уравнение кривой. Геометрический смысл производной. Натуральный параметр. Векторная функция двух скалярных переменных. Векторное уравнение поверхности. Касательная плоскость к поверхности.
Тема 8.4. Кривая в пространстве. Кривая в пространстве как одномерное многообразие. Локальное уравнение кривой. Касательная в точке кривой. Вектор кривизны и его выражение с помощью произвольного параметра. Кривизна кривой и ее выражение с помощью произвольного параметра. Необходимое и достаточное условие плоской кривой. Соприкасающаяся плоскость бирегулярной кривой. Трехгранник Френе. Ориентация кривой. Формулы Френе. Кручение и ее выражение с помощью произвольного параметра. Инвариантность кривизны и кручения ориентированной кривой относительно движений.
Тема 8.5. Поверхность в пространстве. Поверхность в пространстве как двухмерное многообразие. Локальное уравнение поверхности. Касательная плоскость в точке поверхности. Ориентация поверхности. Первый основной тензор и первая квадратичная форма поверхности. Основные задачи, решаемые с помощью первой квадратичной формы: Вычисление длины дуги кривой и угла между кривыми, лежащими на поверхности, и площади области на поверхности.
Тема 8.6. Второй основной тензор поверхности. Основной линейный оператор ориентированной поверхности и его матрица. Второй основной тензор поверхности, его свойства. Вторая квадратичная форма поверхности и ее выражение в координатах. Нормальная кривизна кривой на поверхности. Теорема Менье. Главные направления и главные кривизны. Теорема Эйлера. Гауссова (полная) и средняя кривизна.
Раздел 9. Многомерная евклидова геометрия
Тема 9.1. Евклидово пространство. Аксиомы евклидова пространства. Модели евклидова пространства. Расстояние между точками. Неравенство треугольника. Ортогонализация. Прямоугольные координаты.
Тема 9.2. Евклидовы тензоры. Метрический тензор. Поднятие и опускание индексов. Взаимный базис. Ковариантные координаты векторов.
Тема 9.3. Евклидовы операторы. Вычисление элементов матриц операторов. Симметрические и кососимметрические операторы. Евклидовы прямоугольные операторы.
Раздел 10. Элементы вычислительной геометрии
Основные определения. Проверка пересечения отрезков. Движение прямой. Задача о ближайших точках. Задача о наиболее удаленных точках. Работа с многоугольниками.
5. Образовательные технологии
В учебном процессе при реализации компетентностного подхода используются активные и интерактивные формы проведения занятий: деловые и ролевые игры, разбор конкретных исторических ситуаций.
Активные и интерактивные формы: модельный метод обучения – моделирование в процессе обучения тех или иных ситуаций; кейс-стади – имитация в учебном процессе реального события для демонстрации того или иного изучаемого явления, студентам предлагается рассмотреть случай; метод проектов – распределение заданий между учащимися, предполагающий сбор и анализ информации, а также представление полученных результатов; портфолио – метод анализа собственных достижений; метод развивающей кооперации – метод формирования взаимодействия между студентами в процессе обучения; деловая игра – метод моделирования деловых ситуаций в ходе учебного процесса; метод Делфи – метод поиска быстрых решений в группе.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение
Дисциплины
Основная литература:
1. Беклемишев, Д. В.. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры - 11-е изд., испр. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 20с.
Экз-ры: ОХФ(2), ОУОЕН(25)
2. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: учеб. пособие / под ред. . - 2-е изд., перераб. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 494 с. Экз-ры: ОХФ(1), ОХФ-ЧЗ-4(1), ОУОЕН(50).
3. Лосик задач по топологии: Учеб.-метод. пособие. – Саратов: . центр «Наука», 2008. – 20с. Экз-ры: – (10). – Библ. мехмата СГУ.
Дополнительная литература:
1. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. Моск. гос. ун-т им. . - М. : ФИЗМАТЛИТ, 20с. Экз-ры: ОХФ(1), ОХФ-ЧЗ-4(2)
2. Подран топологии : учеб. пособие; - 2-е изд., испр. и доп. - СПб.; М.: Краснодар: Лань, 20с. Экз-ры: ОХФ(2), ОХФ-ЧЗ-4(1)
3. Аршинов алгебры. – М.: Факториал Пресс, 2008.
4. Пензов геометрия. - Саратов: Изд-во СГУ, 1972.
5. Рыжков по аналитической геометрии. - М.: Факториал Пресс, 2000.
6. , Пархоменко задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1976.
7. Сборник задач по векторной алгебре. / Под ред. , - Саратов: Изд. СГУ, 1974.
8. , Троицкий по аналитической геометрии. - М., 2002.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Лекционные занятия проводятся в аудиториях на 30 посадочных мест, практические занятия – 30 посадочных мест. В отведенных для занятий аудиториях имеются учебные доски для требуемых визуализаций излагаемой информации.
В ходе лекционных и практических занятий используются учебно-демонстрационные мультимедийные презентации, которые обеспечиваются следующим техническим оснащением:
1. Компьютеры (в комплекте с колонками).
2. Мультимедийный проектор
3. Экран.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и Примерной ООП ВПО по направлению «010500 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» и профилю подготовки «Параллельное программирование».
Автор:
доцент кафедры геометрии СГУ
Программа одобрена на заседании кафедры геометрии
от 15 февраля 2011года, протокол № 9.
Подписи:
Зав. кафедрой геометрии
профессор
Декан
механико-математического факультета
Декан факультета компьютерных наук
и информационных технологий
