Алгебра, IX класс
Определение арифметической и геометрической прогрессий
Цель урока: усвоение учащимися понятий арифметической и геометрической прогрессий.
Оборудование: кодоскоп. диапозитивы, содержащие дидактический материал (количество заданий четное, поровну для 1 и II команд), указка.
На доске написано:
I команда | II команда |
Ниже ведется запись полученных очков.
Правила игры.
1) Класс разбивается на две команды:
I команда—ученики первого ряда и половины второго ряда;
II команда—ученики третьего ряда и половины второго ряда.
2) Выбираются капитаны команд.
3) Капитаны команд назначают консультантов. Они должны помогать школьникам из другой команды отвечать на вопросы, предложенные учителем в ходе урока. Их работа приносит дополнительные очки своей команде. Плохо проведенная консультация или отказ от проведения консультации наказывается очками в пользу команды противника.
4) После слов «Консультация окончена» школьники занимают свои места. В противном случае команда наказывается штрафными очками.
5) Для участия во всех видах работы ученики вызываются к доске капитанами команд.
Ход урока
I этап — консультация. Актуализируются знания учащихся по таким вопросам: определение последовательности, возрастающие и убывающие последовательности, способы задания числовых последовательностей, рекуррентный способ задания последовательности, построение графика последовательности, среднее арифметическое и среднее геометрическое двух чисел.
На консультацию отводится 10—12 минут. Консультируют учеников представители других команд. Разрешаются и взаимоконсультации. При необходимости консультирует учитель. За консультации команды получают очки.
II этап — учебно-познавательная работа учащихся по самостоятельному приобретению новых знании.
Предлагается разделить страницу тетради на две части и слева написать «Арифметическая прогрессия», а справа — «Геометрическая прогрессия». На доску (слева) проецируется задача, приводящая к арифметической, а справа—к геометрической прогрессии, К ним проецируются вопросы и задания, которые необходимо выполнить.
Задача 1. Вертикальные стержни фермы имеют такую длину: наименьший а=5 дм, а каждый следующий на 2 дм длиннее. Записать длину семи стержней.
| Задача 2. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Записать колонию, рожденную одной бактерией за 7 мин. |
1) Записать последовательность в соответствии с условием задачи.
2) Записать эту же последовательность с помощью таблицы.
3) Найти разность d между последующим и предыдущим членами последовательности в первой задаче и частное q от деления последующего члена на предыдущий во второй задаче.
4) Задать эти последовательности рекуррентным способом.
5) Дать определение арифметической (геометрической) прогрессии.
6) Найти среднее арифметическое (геометрическое) чисел 2 и 8. Записать найденное число с данными в порядке возрастания. Образуют ли эти числа арифметическую (геометрическую) прогрессию?
7) Справедлива ли такая зависимость для трех последовательных членов рассматриваемых последовательностей?
8) Доказать, что для членов арифметической прогрессии справедлива закономерность 
, а для членов геометрической прогрессии—закономерность 
.
Сначала школьники проделывают всю работу на доске и в тетрадях для арифметической прогрессии, а потом — для геометрической или для обеих сразу.
Записи ответов учащихся, которые поочередно вызываются к доске от каждой команды:
1. 1. 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17 2. 2.
3. 3. 4. 4. 5. 5. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией. 6. 6. 7. 7. 8. 8. | 1. 1. 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64 2. 2.
3. 3. 4. 4. 5. 5. Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же, не равное нулю число, называется геометрической прогрессией. 6. 6. 7. 7. 8. 8. |
В процессе игры учащиеся следят за ответами товарищей, записывают все в тетради и готовятся ответить на предложенный вопрос. Учитель предлагает вопрос, а капитаны команд вызывают для ответов учащихся из других команд. Подводятся итоги первых двух этапов игры.
III этап—работа школьников по решению упражнений и самостоятельному составлению задач, приводящих к записи арифметической и геометрической прогрессией. За образец взять задачи № 380, 401*.
Решить упражнения:
I команда № 000(а), 446(а) | II команда № 000(а), 446(а) |
1Vэтап - подведение итогов работы. Выигравшая команда объявляется победительницей, а многие учащиеся получают оценку.
Задание на дом.
Упражнения даны из учебника: Алгебра: Учебник для 9 класса средней школы /под ред. .—М.: Просвещение, 1990.
Автор урока: «Дидактические игры на уроках математики»
Геометрия, IX класс
Цель урока: выработка у учащихся навыков решения задач на доказательство.
Оборудование: чертежные и измерительные инструменты. 
Известно, что индуктивные рассуждения во многих случаях предшествуют дедуктивному доказательству. Индуктивными методами следует пользоваться для наведения учащихся на ту или иную догадку. Поэтому при выявлении некоторых закономерностей в геометрии первым этапом должен быть эксперимент, проведенный непосредственно на уроке или дома. Он помогает установить связь между элементами фигур путем рассмотрения отдельных случаев, измерений, сравнений.
рис 1 |
Класс разбивается на 3 команды, и им предлагается задание. На клетчатой бумаге (странице тетради) в пересечении линеек выбрать произвольно две точки и принять их за вершины треугольника (рис. 1).Построить равносторонний треугольник так, чтобы его третья вершина тоже находилась в пересечении линеек тетрадной страницы.
Первые попытки построить равносторонний треугольник указанным образом с помощью чертежных инструментов не приводят к успеху.
Создается проблемная ситуация. В результате эксперимента учащиеся выдвигают гипотезу о невозможности такого построения. Формулируется задача: доказать, что, соединяя вершины квадратов тетрадного листа отрезками, невозможно построить равносторонний треугольник.
Доказательство. I cnocoб. Предлагается сравнить площади треугольника
, вычисленные различными способами.
Способ от противного. Пусть нам удалось построить такой равносторонний треугольник АВС (рис.1). Найдем его площадь как разность между площадью некоторого прямоугольника и суммой площадей прямоугольных треугольников.
Каждая из команд выполняет рисунки. Через вершины треугольника проводим прямые, которые совпадают с прямыми клетчатого листка. Пересекаясь, они образуют прямоугольник KLCM. внутри которого находится искомый треугольник АВС. Дальше учащиеся устанавливают, что все стороны прямоугольника выражаются целыми числами, если за единицу длины принять сторону квадрата. Площади прямоугольных треугольников АМС, BLC, КАВ выражаются рациональными числами, так как длины их катетов — целые числа. Тогда площадь треугольника АВС, равная разности площадей прямоугольника KLCM и суммы площадей трех прямоугольных треугольников, должна выражаться рациональным числом.
Все это последовательно объясняют члены команд. Чем больше правильных ответов дают члены команды, тем больше очков идет на ее счет.
Кроме того, площадь треугольника АВС можно найти по известной формуле 
, где, а а2—число рациональное, потому что равно сумме длин квадратов катетов, которые выражены целыми числами. Тогда площадь треугольника АВС, вычисленная по этой формуле будет числом иррациональным.
Таким образом получили, что площадь одного и того же треугольника выражается рациональным и иррациональным числом. Это противоречие доказывает утверждение задачи. На доске подводятся итоги соревнований команд.
II cпособ. По условию задачи 
Представим его в виде суммы двух углов, тогда 
. Из треугольников
и AЕС имеем
и
. Отрезки BD,AD, ЕС и АЕ содержат целое число единиц, поэтому 
и
—рациональные числа. Отсюда 
тоже число рациональное. С другой стороны,
—иррациональное число. Полученное противоречие доказывает, что наше допущение оказалось неправильным.
Учитель предлагает только идею решения. Дальше команды воплощают его в жизнь, получая за правильныe ответы - очки.
На этом же уроке можно предложигь еще такую задачу: внутри данного треугольника найдите точку О, такую, что площади треугольников BOL, СОМ и AON равны (точки 
лежат на сторонах АВ, ВС, СА. причем OL\\BC. OM\\AC, ON\\AB).
Подводятся итоги игры. Многие учащиеся получают зачетные баллы и в счет оценки в журнал, и в счет своей команды. На дом учитель может предложить такую задачу. Треугольник описан около окружности. Найти площадь треугольника, если сторона АС делится точкой касания па отрезки т и п, а противолежащий стороне АС угол равен 
.
