Лекции по высшей математике аналитическая геометрия (стр. 1 )

ЛЕКЦИИ

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ

ГЕОМЕТРИЯ

Новосибирск 2005

СОДЕРЖАНИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ	3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ	5
§ 1	ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА	5
	1.	Прямоугольная система координат	5
	2.	Векторы на плоскости и в пространстве	5
	3.	Операции над векторами	6
	4.	Разложение вектора по ортам	6
	5.	Скалярное произведение векторов	7
	6.	Векторное произведение векторов	8
	7.	Смешанное произведение векторов	9
§ 2	ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ	10
§ 3	ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ	11
	1.	Линии на плоскости	11
	2.	Каноническое уравнение прямой на плоскости	11
	3.	Общее уравнение прямой	12
	4.	Уравнение прямой « в отрезках »	13
	5.	Уравнение прямой с угловым коэффициентом	14
	6.	Угол между прямыми	14
§ 4	ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ	15
	1.	Общее уравнение плоскости	15
	2.	Уравнение плоскости по точке и двум векторам, параллельным плоскости	16
	3.	Уравнение плоскости «в отрезках»	16
	4.	Угол между плоскостями	16
§ 5	ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ	17
	1.	Канонические уравнения прямой	17
	2.	Общие уравнения прямой в пространстве	18
	3.	Прямая и плоскость	19
§ 6	ПОЛУПРОСТРАНСТВА И ПОЛУПЛОСКОСТИ	20
	1.	Полупространства	20
	2.	Расстояние от точки до плоскости	21
	3.	Полуплоскости. Расстояние от точки до прямой	21

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

В математике первичными понятиями являются понятия множества, элемента и принадлежности элемента множеству. Множество — это совокупность элементов, объединенных общим (характеристическим) свойством.

Обозначения:

A, B, C,¼, X, Y, Z — множества; a, b, c,¼, x, y, z — элементы множеств;

xÎA обозначает принадлежность элемента х множеству А;

xÏ A — x не принадлежит множеству А;

Þ — следовательно, если ¼ то;

Û — тогда и только тогда, необходимо и достаточно;

"— любой, каждый;

$ — существует.

Способы задания множеств.

— Перечислением элементов. Например, Х = {1, 2} — множество Х состоит из двух элементов: 1 и 2.

—  Указанием характеристического свойства.

Например, X ={x: (x-1)(x+3) = 0} — это множество содержит два элемента — корни уравнения (x-1)(x+3) = 0, то есть числа 1 и -3.

А={(l1, … , ln) : l12 + l22 + … + ln2 = 0} — такое множество содержит единственный набор чисел, состоящий из n нулей, т. е. А={(0, 0, … , 0)}.

Введем понятия пустого множества Æ и универсального множества U.

Пустое множество – это множество, не содержащее ни одного элемента:

"х х Ï Æ.

Универсальное множество – это множество, содержащее все элементы: "х х Î U.

Например {x Î R : x2 < 0} = Æ. {x Î R : x2 ³ 0} = R = U.

Во втором примере множество вещественных чисел R играет роль универсального множества.

Рассмотрим понятия подмножества и равенства множеств.

Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В:

А Ì В Û (х Î А Þ х Î В)

Очевидно, что Æ Ì А, А Ì А, А Ì U для любого множества А.

Множества А и В называются равными, если каждый элемент множества А является элементом множества В и, наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А:

А = В Û А Ì В и В Ì А.

2. Операции над множествами.

Объединением АÈВ двух множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, содержащихся либо в А, либо в В.

3

xÎAÈB Û xÎA или xÎB; xÏAÈB Û xÏA и xÏB.

Пересечением АÇВ двух множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, содержащихся и в А, и в В.

xÎAÇB Û xÎA и xÎB; xÏAÇB Û xÏA или xÏB.

Разностью А \ В множеств А и В называется множество, состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.

xÎA\B Û xÎA и xÏB; xÏA\B Û xÏA или xÎB.

Разность U\A называется дополнением множества А и обозначается .

xÎ Û xÏА; xÏ Û xÎA.

Свойства операций.

1. AÈB=BÈA 8.

2. AÇB=BÇA 9. A\B=AÇ

3. AÈ(BÈC)=(AÈB)ÈC 10. AÈA=AÇA=A

4. AÇ (BÇC)=(AÇB)ÇC 11. AÈÆ=A; AÇÆ=Æ

5. AÈ(BÇC)=(AÈB)Ç(AÈC) 12. AÈU=U; AÇU=A

6. AÇ (BÈC)=(AÇB)È(AÇC) 13. AÈ=U; AÇ=Æ

7. 14. =A

Доказательство свойства 6. AÇ (BÈC)=(AÇB)È(AÇC).

Возьмем xÎAÇ(BÈC)ÞxÎA и xÎ BÈCÞ xÎA и (xÎB или xÎC) Þ (xÎA и xÎB) или (xÎA и xÎC) Þ xÎAÇB или xÎAÇC)Þ xÎ(AÇB)È(AÇC).

Доказано, что. AÇ (BÈC) Ì (AÇB)È(AÇC).

Возьмем xÎ(AÇB)È(AÇC) Þ xÎAÇB или xÎAÇCÞ (xÎA и xÎB) или (xÎA и xÎC) Þ xÎA и (xÎB или xÎC) Þ xÎA и xÎ BÈCÞ xÎAÇ(BÈC).

Доказано, что AÇ (BÈC) É (AÇB)È(AÇC). Тождество доказано.

Доказательство свойства 13. AÈ=U; AÇ=Æ.

AÈ=U.

AÈ Ì U — очевидно, так как U — универсальное множество.

Докажем, что AÈ É U.

Возьмем хÎUÞ xÎA или хÏАÞ xÎA или хÎ Þ хÎ AÈ Þ U Ì AÈ. Тождество доказано.

AÇ=Æ.

Доказательство.

Предположим противное, что AǹÆ. Тогда существует хÎ AÇ Þ xÎA и хÎÞ xÎA и хÏА. Получили противоречие. Следовательно, предположение AÇ¹Æ неверно и AÇ=Æ.

Остальные свойства предлагается доказать самостоятельно в качестве упражнений.

4

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

§ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ.

Определения.

—  Прямая, на которой определено направление, называется осью.

—  Отрезок на оси, ограниченный точками А и В, называется направленным, если определено, какая из этих точек считается его началом, какая концом.

—  Направление отрезка — направление от его начала к его концу. Обозначается направленный отрезок .

—  Величиной АВ направленного отрезка называется его длина, взятая со знаком « + », если отрезок и ось одинаково направлены, и со знаком « - » в противном случае. Таким образом, АВ = - ВА.

—  Если на оси задана точка О (начало координат) и выбран положительно направленный отрезок в качестве масштабной единицы, то координата произвольной точки М на оси равна величине отрезка ОМ. В силу определения величины отрезка координата точки может быть как положительной, так и отрицательной.

—  Величина произвольного отрезка на оси равна х2 - х1, где х1 — координата точки М1, х2 — координата точки М2.

—  Две взаимно перпендикулярные оси, имеющие общее начало О и одинаковую масштабную единицу, образуют прямоугольную систему координат на плоскости.

—  Три взаимно перпендикулярные оси, имеющие общее начало О и одинаковую масштабную единицу, образуют прямоугольную систему координат в пространстве.

Каждая точка плоскости имеет в данной системе координат 2 координаты:

M(x, y).

Каждая точка пространства имеет в данной системе координат 3 координаты: M(x, y, z). Координаты x, y, z равны соответственно величинам отрезков , и , где точки А, В, С являются прямоугольными проекциями точки М на оси координат.

2. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ.

Любая упорядоченная пара точек А и В плоскости или пространства определяет направленный отрезок, или вектор. А — начало вектора, В — конец. Если А совпадает с В, то = — нулевому вектору. Длина вектора равна расстоянию между его началом и концом. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы называются ортогональными, если они лежат на взаимно перпендикулярных прямых. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.

5

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны. В силу последнего определения вектор не меняется, если его перенести параллельно самому себе. Поэтому вектор можно обозначать , не указывая точек начала и конца вектора.

Проекцией вектора на ось называется величина направленного отрезка , где точки А и В являются прямоугольными проекциями начала и конца вектора на эту ось. Если обозначить через a, b и g углы, которые образует вектор с осями координат OX, OY и OZ соответственно, то проекции вектора на эти оси будут равны произведению длины вектора на косинус соответствующего угла: , , . Косинусы углов a, b и g называются направляющими косинусами вектора . Проекции вектора на оси координат называют координатами вектора в данной системе координат. Допустимо обозначение = ().

3. ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.

Векторы на плоскости и в пространстве можно складывать и умножать на числа. Сложение векторов производится по правилу параллелограмма: если привести векторы к общему началу, то их суммой будет вектор, имеющий то же начало и являющийся диагональю параллелограмма, построенного на данных векторах. Произведением вектора на число l называется вектор l, коллинеарный вектору , направленный так же, как , если l > 0, и направленный в противоположную сторону, если l< 0, длина вектора l равна длине вектора , умноженной на .

Операции над векторами удовлетворяют следующим свойствам:

+= +

+ ( + ) = ( + ) +

l (m ) = ( l m )

( l + m ) = l + m

l ( + ) = l + l

Если векторы и заданы своими координатами = () и

= (), то += (), l = ().

4. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ОРТАМ.

Рассмотрим векторы , и единичной длины, направленные по осям координат. Эти три вектора (на плоскости два: и ) обладают тем свойством, что про-

6

извольный вектор может быть представлен в виде = ( на плоскости =). Эти равенства легко проверяются геометрическими построениями, поскольку на плоскости любой вектор является диагональю прямоугольника со сторонами, образованными векторами и , а в пространстве — диагональю прямоугольного параллелепипеда со сторонами , и .

5. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число ·, равное произведению длин векторов и на косинус угла между ними. ·=. Если хотя бы один из векторов равен , то их скалярное произведение считается равным 0.

Следствие.

=.

Свойства скалярного произведения:

1) ·=·;

2) l ·= ·l=l ( ·);

3) · (+) = · + ·;