Рабочая программа учебной дисциплины "Математика" для профессии 260807.01 «Повар, кондитер» (стр. 5 )

на 2 курсе

РАЗДЕЛ IX. Функции, их свойства и графики (12 ч.).

Тема 9.1-9.2 Элементарные функции. Область определения и область значений функции (2 ч.).

Понятие «функция». Область определения и область значения функции. Способы задания функции.

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  основные понятия: «функция», «аргумент», «значение функции», «область определения функции», «область значений функции»;

·  способы задания функции: аналитический (формулой), графический, словесный;

·  алгоритм нахождения значения функции по известному значению аргумента по формуле функции;

·  области определения основных элементарных функций.

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  находить значение функции по известному значению аргумента функции, заданной аналитически;

ü  находить область определения функции, заданной аналитически;

ü  находить значение функции, заданной словесно.

Тема 9.3 График функции. Построение графиков функций, заданных различными способами (1 ч.).

Понятие «график функции». Нахождение области определения и области значений функции по ее графику. Графики основных элементарных функций. Геометрические преобразования при построении графиков функций.

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  основные понятия: «координатная плоскость», «график функции», «абсцисса точки», «ордината точки», «прямая», «парабола», «гипербола»;

·  алгоритм нахождения области определения и области значений функции по ее графику;

·  способы построения графиков элементарных функций: по точкам, с применением геометрических преобразований (параллельный перенос, симметрия относительно координатных осей и начала координат, сжатие-растяжение), заданных «кусочно».

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  находить область определения и область значений функции по ее графику;

ü  строить графики элементарных функций: по точкам, с применением геометрических преобразований (параллельный перенос, симметрия относительно координатных осей и начала координат, сжатие-растяжение), заданных «кусочно»;

ü  решать графически уравнения.

Тема 9.4-9.5 Четность, нечетность, ограниченность, периодичность функции (2 ч.).

Повторение основных понятий: четность, нечетность, ограниченность, периодичность функции. Аналитическое исследование функции. Графическое отображение данных свойств функции.

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  основные понятия: «симметричное множество», «четная функция», «нечетная функция», «ограниченная снизу функция», «ограниченная сверху функция», «ограниченная функция», «период функции», «периодическая функция»;

·  алгоритм исследования функции на четность;

·  графическое отображение данных свойств и использование их геометрического смысла при построении графиков функций.

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  определять симметричность множества, исследовать на четность функцию;

ü  применять определения «ограниченная снизу функция», «ограниченная сверху функция», «ограниченная функция» при решении упражнений и чтении графиков функций;

ü  определять период тригонометрической функции, по графику исследовать периодичность функции и использовать это понятие для построения графика.

Тема 9.6 Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции (1 ч.).

Повторение определений возрастающей и убывающей функций. Исследование функций на монотонность по определению. Понятие о точках экстремума. Определение вида экстремума по графику функции.

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  основные понятия: «возрастающая функция», «убывающая функция», «точка минимума», «точка максимума», «точка экстремума», «минимум функции», «максимум функции», «экстремум функции»;

·  алгоритм исследования функции на монотонность по определению;

·  вид графика при возрастании и убывании функции на промежутке;

·  графическое изображение точек экстремума.

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  исследовать функцию на монотонность по определению;

ü  строить эскиз графика по виду монотонности.

Тема 9.7 Наибольшее и наименьшее значения функции. Выпуклость функции (1 ч.).

Повторение понятий: «наименьшее значение функции на множестве», «наибольшее значение функции на множестве», «функция выпукла вниз», «функция выпукла вверх». Отображение этих свойств на графике. Чтение графиков функций.

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  основные понятия: «наименьшее значение функции на множестве», «наибольшее значение функции на множестве», «функция выпукла вниз», «функция выпукла вверх»;

·  алгоритм определения по графику функции наибольших и наименьших ее значений, вида выпуклости (при наличии);

·  схему описания свойств функции по ее графику.

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  определять по графику функции наибольшие и наименьшие значения функции на указанном промежутке, вид выпуклости (при наличии);

ü  «читать» график функции;

ü  Строить графики функций элементарными методами.

Тема 9.8 Сложная функция (композиция функций). Обратная функция. График обратной функции (1 ч.).

Понятие о сложной функции (композиции функций). Примеры сложных функций. Основные понятия: обратимая функция, обратная функция. Область определения и область значений обратной функции. Свойства обратной функции. График обратной функции.

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  основные понятия: «элементарная функция», «сложная функция», «обрати-

мая функция», «обратная функция»;

·  формализованную запись сложной функции;

·  теоремы, позволяющие для данной функции получить обратную ей функцию;

·  алгоритм получения аналитического выражения обратной функции;

·  вид преобразования плоскости для получения графика функции, обратной данной функции.

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  выделять элементарные функции, с помощью которых записана сложная функция;

ü  составлять сложную функцию из элементарных функций;

ü  доказывать существование обратной функции;

ü  находить аналитическое выражение обратной функции;

ü  строить график обратной функции.

Тема 9.9-9.10 Основные способы преобразования графиков функций (2 ч.).

Симметрия относительно осей координат. Сдвиг вдоль осей координат (параллельный перенос). Растяжение и сжатие графика вдоль осей координат. Алгоритм построения графика по графику функции . Симметрия относительно прямой .

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  основные понятия: «осевая симметрия», «центральная симметрия», «параллельный перенос», «растяжение», «сжатие»;

·  основные алгоритмы построений графиков с использованием рассмотренных преобразований.

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  строить графики функций с использованием преобразований графиков элементарных функций.

Тема 9.11 Графики функций, содержащих модули. Графики сложных функций (1 ч.).

Повторение понятия «модуль числа». Алгоритм построения графиков функций, содержащих модуль: , , если дан график функции . Примеры построения графика сложной функции , если дан график функции и известны свойства функции . График суммы функций. График произведения функций. График кусочно-заданной функции.

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  основные понятия: «модуль числа», «осевая симметрия»;

·  основные свойства и графики элементарных функций;

·  обоснование алгоритма построения графиков функций, содержащих модуль;

·  способы построения графиков сложных функций.

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  строить графики элементарных функций;

ü  строить графики функций, содержащих модуль: , , если дан график функции ;

ü  строить графики сложных функций.

Тема 9.12 Контрольная работа № 9 «Функции, их свойства и графики» (1 ч.).

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  строить и читать графики функций;

ü  исследовать функции элементарными способами.

РАЗДЕЛ X. Производная (18 ч.).

Тема 10.1 Числовая последовательность (1 ч.).

Повторение основных понятий курса алгебры 9 класса: функция натурального аргумента (числовая последовательность), ограниченная последовательность, верхняя и нижняя границы последовательности, возрастающая и убывающая последовательности, стационарная последовательность. Обозначение числовой последовательности. Способы задания числовых последовательностей: словесный, аналитический.

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  основные понятия: «функция натурального аргумента (числовая последовательность)», «ограниченная сверху последовательность», «ограниченная снизу последовательность», «ограниченная последовательность», «постоянная (стационарная) последовательность» «верхняя граница последовательности», «нижняя граница последовательности», «возрастающая последовательность», «убывающая последовательность»;

·  обозначение числовой последовательности;

·  способы задания числовых последовательностей: словесный, аналитический.

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  записывать члены числовой последовательности в зависимости от вида задания числовой последовательности;

ü  составлять формулу n-го члена последовательности по нескольким ее членам;

ü  определять номер члена последовательности, заданной аналитически;

ü  выяснять принадлежность числа числовой последовательности, заданной формулой n-го члена;

ü  определять вид ограниченности числовой последовательности, ее верхнюю и нижнюю границы;

ü  определять вид монотонности числовой последовательности;

ü  приводить примеры последовательностей, обладающих конкретным свойством.

Тема 10.2 Предел числовой последовательности (1 ч.).

Окрестность точки, радиус окрестности точки. Определение предела последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Теорема Вейерштрасса. Основные соотношения пределов числовых последовательностей. Теорема для вычисления пределов суммы, произведения и частного числовых последовательностей.

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  основные понятия: «окрестность точки», «радиус окрестности точки», «предел последовательности», «сходящаяся последовательность», «расходящаяся последовательность»;

·  свойства сходящихся последовательностей;

·  теорему Вейерштрасса и примеры ее применения в геометрии для получения формул длины окружности и площади круга;

·  основные соотношения пределов числовых последовательностей (формулы):

(1)

(2)

, если (3)

(4);

·  теорему (без доказательства) для вычисления пределов суммы, произведения и частного числовых последовательностей:

Если , , то

1)  ;

2)  ;

3)  ;

4)  .

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  находить пределы числовых последовательностей;

Тема 10.3 Вычисление пределов последовательностей (1 ч.).

Применение формул и теоремы для вычисления пределов числовых последовательностей.

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  основные соотношения пределов числовых последовательностей (формулы):

(1)

(2)

, если (3)

(4);

·  теорему (без доказательства) для вычисления пределов суммы, произведения и частного числовых последовательностей:

Если , , то

5)  ;

6)  ;

7)  ;

8)  .

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  применять формулы при решении упражнений.

Тема 10.4 Сумма бесконечной геометрической прогрессии (1 ч.).

Понятие бесконечной геометрической прогрессии, знаменателя геометрической прогрессии. Сумма геометрической прогрессии. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  основные понятия: «бесконечная геометрическая прогрессия», «знаменатель

геометрической прогрессии», «сумма геометрической прогрессии»;

·  вывод формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

;

·  алгоритм применения формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии для представления бесконечной периодической десятичной дроби в виде обыкновенной дроби.

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  применять формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии для нахождения всех неизвестных ее элементов;

ü  применять формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии для представления бесконечной периодической десятичной дроби в виде обыкновенной дроби.

Тема 10.5 Предел функции в точке. Односторонние пределы. Понятие о непрерывности функции (1 ч.).

Поведение функции в окрестности выбранной точки. Понятие предела функции в точке. Правая и левая окрестности точки. Правый и левый пределы функции в точке. Определение функции непрерывной в точке, непрерывной на промежутке. Теорема о непрерывности в любой точке функций, составленных из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений. Использование теоремы об арифметических операциях над пределами для нахождения предела функции в точке, заданной аналитически. Раскрытие при нахождении предела функции в точке неопределенности вида .

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  основные понятия: «предел функции в точке», «правая и левая окрестности точки», «правый и левый пределы функции в точке», «функция непрерывная в точке», «функция непрерывная на промежутке»;

·  примеры графических изображений пределов функций в точке;

·  теорему о непрерывности в любой точке функций, составленных из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений;

·  алгоритм вычисления предела функции в точке, прием раскрытия неопределенности вида .

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  изображать эскиз графика функции, имеющей предел в указанной точке;

ü  находить по графику пределы функций в точке;

ü  раскрывать неопределенность вида при нахождении предела функции в точке.

Тема 10.6 Предел функции на бесконечности. Асимптоты (1 ч.).

Горизонтальная асимптота графика функции. Аналитическое выражение существования горизонтальной асимптоты. Утверждения, применяемые для нахождения предела функции на бесконечности. Раскрытие неопределенности вида . Вертикальные асимптоты графика функции. Определение их существования по формуле функции. Алгоритм нахождения наклонных (горизонтальных) асимптот при помощи пределов.

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  основные понятия: «асимптота», «предел функции на бесконечности»;

·  алгоритмы определения асимптот различного вида.

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  определять по графику функции существование предела, его значение, наличие и вид асимптот;

ü  строить эскиз графика функции, обладающей указанными свойствами;

ü  вычислять пределы функции на бесконечности, используя основные соотношения и теорему об арифметических действиях над пределами;

ü  раскрывать при вычислении предела неопределенность вида .

Тема 10.7 Вычисление пределов функций (1 ч.).

Практическое применение основных приемов вычисления пределов функций.

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  основные формулы и соотношения для нахождения пределов.

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  находить пределы функции в точке и на бесконечности.

Тема 10.8 Первый и второй замечательные пределы (1 ч.).

Первый и второй замечательные пределы. Применение новых формул при решении упражнений.

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  формулы, выражающие первый и второй замечательные пределы:

(1)

(2);

·  алгоритм применения новых формул при решении упражнений.

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  применять первый и второй замечательные пределы при решении упражнений.

Тема 10.9 Приращение аргумента, приращение функции (1 ч.).

Определение приращения аргумента и приращения функции. Обозначение новых понятий. Формула для нахождения приращения функции. Определение непрерывной в точке функции с точки зрения приращений аргумента и функции.

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  основные понятия: «приращение аргумента», «приращение функции»;

·  формализованное обозначение понятий «приращение аргумента», «приращение функции»;

·  формулу для нахождения приращения функции;

·  взаимосвязь определения непрерывной в точке функции и понятий приращение аргумента и функции.

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  находить приращение аргумента и приращение функции по формуле функции;

ü  находить приращение аргумента и приращение функции по графику функции.

Тема 10.10 Определение производной функции. Геометрический и физический смыслы производной (1 ч.).

Задача о скорости движения. Задача о касательной к графику функции. Определение производной функции в точке . Формулы производных функций: , . Физический смысл производной. Геометрический смысл производной.

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  основные понятия: «средняя скорость движения», «мгновенная скорость движения», «секущая», «касательная к кривой в точке», «угловой коэффициент секущей (касательной)», определение производной функции в точке и любой произвольной точке;

·  формулы нахождения мгновенной скорости движения и углового коэффициента касательной:

(1)

(2) ;

·  в чем состоит физический и геометрический смысл производной.

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  записывать определение производной функции в точке на формализованном языке;

ü  формулировать физический и геометрический смысл производной;

ü  решать упражнения на их применение.

Тема 10.11 Алгоритм отыскания производной. Формулы дифференцирования (1 ч.).

Алгоритм отыскания производной функции по определению. Связь между непрерывностью функции и ее дифференцируемостью в точке. Использование графика функции для определения ее дифференцируемости в данной точке. Формулы дифференцирования элементарных функций. Применение формул.

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  основные понятия: «приращение аргумента», «приращение функции», «предел функции в точке», «касательная к кривой в точке», «угловой коэффициент секущей (касательной)», «функция непрерывная в точке», «функция непрерывная на промежутке», «дифференцируемая в точке функция», «дифференцирование функции»;

·  определение производной функции и алгоритм отыскания производной функции по определению;

·  связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции;

·  основные формулы дифференцирования элементарных функций:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8);

·  как применять формулы дифференцирования основных элементарных функций для нахождения производных в указанной точке.

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  находить производную функции по определению;

ü  определять по графику функции ее непрерывность и дифференцируемость в указанной точке или на рассматриваемом промежутке области определения;

ü  записывать формулы дифференцирования;

ü  применять формулы дифференцирования основных элементарных функций для нахождения производных в указанной точке;

ü  находить скорость изменения функции в точке ;

ü  находить угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

Тема 10.12 Дифференцирование суммы и произведения (1 ч.).

Формулировки и доказательства теорем о дифференцировании суммы и произведения функции и постоянного множителя. Теорема о дифференцировании произведения двух функций (без доказательства). Применение метода математической индукции для вывода правила дифференцирования степенной функции с любым натуральным показателем n. Применение изученных теорем для решения упражнений.

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  формулировки и доказательства теорем о дифференцировании суммы и произведения функции и постоянного множителя;

·  теорему о дифференцировании произведения двух функций (без доказательства);

·  о применении метода математической индукции для вывода правила дифференцирования степенной функции с любым натуральным показателем n (обзорно);

·  формулы рассмотренных правил дифференцирования:

(1)

(2)

(3)

(4).

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  формулировать и доказывать теорем о дифференцировании суммы и произведения функции и постоянного множителя;

ü  формулировку теоремы о дифференцировании произведения двух функций;

ü  записывать формулы дифференцирования: суммы функций, произведения функции и постоянного множителя, произведения двух функций, степенной функции с любым натуральным показателем;

ü  применять рассмотренные правила дифференцирования для нахождения производных функций.

Тема 10.13 Дифференцирование частного (1 ч.).

Теорема о дифференцировании частного двух функций. Вывод правил дифференцирования функций и . Применение новых формул при решении упражнений.

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  формулировку теоремы о дифференцировании частного двух функций;

·  вывод правил дифференцирования функций и ;

·  формулы рассмотренных правил дифференцирования:

(1)

(2)

(3).

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  записывать формулы дифференцирования: частного двух функций, функций и ;

ü  выводить формулы дифференцирования функций и ;

ü  применять новые формулы при решении упражнений.

Тема 10.14 Производные основных элементарных функций (1 ч.).

Решение упражнений на нахождение производных по формулам и правилам дифференцирования элементарных функций.

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  формулы и правила дифференцирования.

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  применять формулы и правила дифференцирования при решении упражнений.

Тема 10.15 Производная сложной функции (1 ч.).

Понятие о сложной функции. Дифференцирование сложной функции. Решение упражнений.

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  основное понятие: «сложная функция»;

·  правила дифференцирования сложной функции:

(1)

(2).

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  применять новые правила дифференцирования при решении упражнений.

Тема 10.16 Производная обратной функции (1 ч.).

Доказательство теоремы о возможности дифференцирования обратной функции.

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  теорему о существовании производной функции, обратной данной

, где – функция, обратная к непрерывной и возрастающей функции

·  вывод формул дифференцирования обратных тригонометрических функций:

(1)

(2)

(3)

(4).

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  дифференцировать обратные функции.

Тема 10.17 Подготовка к контрольной работе (1 ч.).

Решение упражнений на повторение по теме «Производная».

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  формулы и правила дифференцирования.

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  находить производные функций;

ü  использовать для решения упражнений физический и геометрический смысл производной.

Тема 10.18 Контрольная работа № 10 «Вычисление производных» (1 ч.).

Контроль знаний обучающихся по теме «Вычисление производных».

РАЗДЕЛ XI. Применение производной (12 ч.).

Тема 11.1 Уравнение касательной к графику функции (1 ч.).

Вывод уравнения касательной к графику функции в указанной точке. Алгоритм составления уравнения касательной. Использование уравнения касательной для приближенных вычислений.

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  вывод формулы уравнения касательной к графику функции при ;

·  алгоритм составления уравнения касательной

;

·  формулу для приближенных вычислений значений степенной функции и арифметического квадратного корня:

.

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  определять угол, который образует касательная к графику функции с положительным направлением оси абсцисс;

ü  составлять уравнений касательной к графику данной функции в указанной точке;

ü  находить приближенные значения степенной функции и арифметического квадратного корня.

Тема 11.2 Исследование функций на монотонность (1 ч.).

Взаимосвязь между характером монотонности функции и знаком ее производной. Достаточные признаки возрастания, убывания и постоянства функции. Графическая интерпретация теорем о монотонности функции. Алгоритм исследования функции на монотонность.

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  основные понятия: «возрастающая функция», «убывающая функция», «постоянная функция»;

·  определения возрастающей и убывающей функций;

·  формулировки достаточных признаков монотонности функции.

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  по графику функции определять знак ее производной на указанном промежутке области определения функции;

ü  находить промежутки возрастания и убывания функции по ее графику;

ü  находить промежутки монотонности функции по графику ее производной;

ü  изображать эскиз графика по знакам ее производной;

ü  исследовать на монотонность функцию, заданную аналитически.

Тема 11.3 Отыскание точек экстремума (1 ч.).

Точки максимума и минимума (точки экстремума) функции. Необходимое условие экстремума. Стационарные и критические точки функции. Достаточные условия экстремума функции. Алгоритм исследования функции на экстремумы.

Обучающиеся должны ЗНАТЬ:

·  основные понятия: «точка максимума», «точка минимума», «точка экстремума», «максимум функции», «минимум функции», «экстремум функции», «стационарная точка», «критическая точка»;

·  необходимое условие экстремума;

·  достаточные условия экстремума;

·  алгоритм исследования функции на экстремумы.

Обучающиеся должны УМЕТЬ:

ü  определять по графику функции точки, в которых производная равна 0 или не существует;

ü  определять по графику функции точки максимума и минимума;

ü  описывать свойства функции по свойствам ее производной;

ü  строить эскиз графика функции по ее описанию;

ü  исследовать на экстремумы функцию, заданную аналитически.

Тема 11.4 Вторая производная. Исследование функций на выпуклость (1 ч.).

Вторая производная. Зависимость монотонности первой производной функции от знака второй производной. Выпуклость графика функции вниз и вверх. Геометрический смысл второй производной функции. Условия локального максимума и локального минимума. Точки перегиба функции. Алгоритм исследования функции на выпуклость и перегиб.

Обучающиеся должны ЗНАТЬ: