Теоретическая механика (стр. 5 )

Криволинейное равномерное движение. В этом случае модуль скорости V = const, значит, at = dV/dt = 0. Полное ускорение точки При рав­номерном движении по кривой точка всегда обладает лишь нор­мальным ускорением.

Прямолинейное равномерное движе­ние. В этом случае r = ¥, V = const, значит,

и

и полное ускорение a = 0.

Задача 39. Точка движется равномерно замедленно по дуге окружности радиусом 80 м в течение 20 с. Определить полное ускорение точки в начале и конце движения, если начальная скорость V0 = 15 м/с, а конечная скорость V = 10 м/с.

Решение

1. Определим постоянное касательное ускорение точки

м/с2,

где знак «минус» указывает, что направление ускорения противоположно направ­лению скорости, т. е. движение является замедленным.

2. Определим нормальное ускорение точки в начальный момент времени:

м/с2.

3. Определим нормальное ускорение в конце движения:

м/с2.

4. Определим полное ускорение точки в начале и конце движения:

м/с2;

м/с2.

Задача 40. Тело свободно падает на Землю без начальной скорости с высоты Н = 100 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить модуль скорости тела в момент падения на Землю.

Решение.

Так как движение тела прямолинейное и равномерно ускорен­ное, то a = at = g = 9,81 м/с2. Учитывая, что V0 = 0 и s = H, найдем

и ,

откуда

.

Подставив значения g и H, имеем = 44,3 м/с.

§ 18. Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси

Движение тела, при котором не менее двух каких-либо его точек остаются неподвижными, называется вращательным. Пря­мая, проходящая через две неподвижные точки, называется осью вращения. Каждая точка тела, не лежащая на оси вращения, опи­сывает окружность, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения, а центр лежит на этой оси.

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Оz (рис. 69). Проведем через ось вращения неподвижную плоскость Q и плоскость Р, жестко связанную с телом. При вращении тела угол j между плоскостями будет непре­рывно меняться с течением времени. Его называют углом поворота тела и измеряют в радианах.

Зависимость угла поворота от времени описывается уравнением

, (30)

которое называют законом вращательного дви­жения.

Быстроту и направление враще­ния можно охарактеризовать с по­мощью угловой скорости w. Мо­дуль угловой скорости определяют как быстроту изменения функции т. е. как первую производную от угла поворота по времени:

. (31)

Рис. 65

Угловую скорость измеряют в рад/с. В общем случае при неравномерном вращении угловая скорость изменяется с течением времени, т. е.

Характеристикой быстроты изменения угловой скорости является угловое ускорение, равное первой производной от угловой скорости по времени:

, (32)

которое измеряют в рад/c2.

Если знаки w и e одинаковы, то имеет место ускоренное вращение, если знаки w и e различны – замедленное вращение.

§ 19. Частные случаи вращательного движения

Если модуль угловой скорости при вращении тела постоянен (w = const), то имеет место равномерное вращение. Угловую скорость равномерного вращения находят как отношение угла поворота за некоторый промежуток времени к этому промежутку, т. е.

, (33)

откуда

(34)

Последнее уравнение называют законом равно­мерного вращения.

Иногда удобно угловую скорость равномерного вращения вы­ражать через число п оборотов, совершаемых в одну минуту. Число оборотов в минуту называют частотой враще­ния. За один оборот тело поворачивается на 2p радиан, а за п оборотов на радиан. В одной минуте 60 с, поэтому

, (35)

откуда частота вращения

Если при вращении угловое ускорение остается без изменения (e = const), то имеет место равномерно-переменное вращение.

Формулы для определения угла поворота и угловой скорости при равномерно-переменном вращательном движении аналогичны формулам для равномерно-переменного движения точки, только вместо величины s, V, V0, at нужно подставить величины j, w, w0 и e. В результате получим:

(36)

Причем, если w0 > 0 и e > 0 – движение равномерно уско­ренное, а если w0 > 0 и e < 0 – движение равномерно замед­ленное.

Задача 41. В период разгона маховик вращается вокруг своей оси по закону Определить угловую скорость и угловое ускорение маховика в момент, когда он сделает 27 оборотов.

Решение:

1. Найдем угол поворота маховика за время разгона: j = 27 оборотов =p = 54p рад.

2. Определим время разгона: 54p = p / 4 × t3, откуда

с.

3. Определим угловую скорость в момент t = 6 с:

рад/с.

4. Определим угловое ускорение в момент t = 6 с:

рад/с2.

Задача 42. Вал, диаметр которого 0,06 м, вращается равно­мерно с частотой 1200 об/мин. Определить скорость и ускорение точек вала на его поверхности (рис. 70).

Рис. 70

Решение.

1. Скорость точки вращающегося тела можно найти по формуле

2. Но известно, что

.

3. Подставим сюда

Вал вращается равномерно, следовательно скорость точек остается численно неизменной. По этой же причине у точек отсутствует касательное ускорение.

5. Нормальное ускорение найдем из формулы

которое также в данном случае остается по модулю неизменным.

Задача 43. Дисковая пила 1 имеет диаметр 600 мм. На валу пилы насажен шкив 2 диаметром 300 мм, а шкив соединен бесконечным ремнем со шкивом двигарис. 71) диаметром 120 мм. С какой угловой скоростью должен вращаться шкив двигателя, чтобы скорость зубьев пилы не превышала 15 м/с?

Рис. 71

Решение.

1. Так как пила 1 и шкив 2 насажены на одном валу, то они имеют одну и ту же угловую скорость wп и скорость зубьев пилы V3 = 15 м/с зависит от wп:

потому что

2. Находим угловую скорость шкива 2, который обеспечивает необходимую рабочую скорость зубьев пилы:

(dп = 600 мм = 0,6 м).

3. Теперь найдем угловую скорость wд шкива двигателя. Шкивы 2 и 3 соединены бесконечным ремнем. Полагая, что ремень не растягивается и не проскальзывает на шкивах, можно считать, что все его точки движутся с одной и той же скоростью Vр. Это означает, что скорости точек, расположенных на поверхностях обоих шкивов, одинаковы и равны Vр.

Поэтому применим зависимость

Отсюда

4. Если перевести эту угловую скорость в об/мин, то

Таким образом, для того чтобы зубья пилы имели скорость 15 м/с, шкив двигателя должен вращаться с угловой скоростью 125 рад/с (или 1200 об/мин).

Задача 44. Маховик, вращающийся с частотой n0 = 90 об/мин, с не­которого момента начинает вращаться равноускоренно и через 1,5 мин достигает скорости вращения пк = 150 об/мин. Опреде­лить угловое ускорение маховика. Сколько всего оборотов делает маховик за 1,5 мин? Какую скорость имеют точки на цилиндри­ческой поверхности маховика через 45 с после начала равноуско­ренного движения, если диаметр маховика 1,2 м?

Решение.

Все угловые величины выражаем в радианном измерении.

1. Если n0 = 90 об/мин, то

если пк = 150 об/мин, то

2. Находим угловое ускорение, учитывая, что изменение угловой скорости от w0 до wк происходит за t = 1,5 мин = 90 с:

3. Определяем угол поворота тела за t= 1,5 мин =90 с, принимая j0 = 0:

4. Находим, какому числу оборотов соответствует этот угол поворота:

Следовательно, за время равноускоренного вращения маховик успеет совершить 180 оборотов.

5. Прежде чем найти по формуле V] = w1r скорость точек на ободе маховика в момент времени t = 45 с после начала равноускоренного вращения, необходимо найти угловую скорость маховика w1 в этот момент:

Зная, что получаем

Решение 2 – угловые величины выражаются в оборотах, а время – в сек (t = 1,5 мин = 90 сек).

1. Выражаем данные скорости вращения в об/с.

n0 = 90 об/мин = 1,5 об/сек и nк = 150 об/мин = 2,5 об/с.

2.Определим угол поворота в ином виде, приняв j0 = 0:

.

Тогда

3. Обозначив e' – угловое ускорение, выраженное через обороты, число оборотов можно представить в виде nк = n0 + e't и тогда

4. Найдем п1 – скорость вращения маховика через t1 = 45 с после начала равноускоренного вращения:

что соответствует

n1 = 2 × 60 = 120 об/мин.

Теперь находим при этой скорости вращения маховика скорость точек на его ободе:

Если же n1 выражено в об/с, то

Задача 45. Вал, вращающийся равноускоренно из состояния покоя, в первые 12 с совершает 95,5 оборота. С каким угловым ускорением вращается вал и какую угловую скорость он приоб­ретает?

Решение.

1. Угловое перемещение за время t=12 с равноускоренного движения составляет

2. Находим угловое ускорение вала:

3. К концу 12-й секунды вал приобретает угловую скорость:

что соответствует

Задача 46. Колесо, вращающееся с частотой 1500 об/мин, при торможении начинает вращаться равнозамедленно и через 30 с останавливается. Определить угловое ускорение и число оборотов колеса с момента начала торможения до остановки.

Решение.

1. Выразим начальную угловую скорость в рад/с:

Найдем угловое ускорение:

2. Определим число оборотов в виде

Тогда число оборотов вала за t = 30 с = 0,5 мин

Задача 47. Вращение вала в течение первых 20с проис­ходит согласно уравнению j = 0,8t3.

Определить угловую скорость вала в конце 20-й секунды; угло­вое ускорение в начале движения, в конце 10-й и 20-й секунд; сколько всего оборотов делает вал за 20 с.

Решение.

1. Определим число оборотов вала за 20с. Для этого пред­варительно найдем угол поворота за t = 20 с:

И теперь

2. Определим уравнение угловой скорости вала:

3. Найдем угловую скорость вала в конце 20-й секунды (t = 20 с):

Если выразить эту угловую скорость в об/мин, то

4. Определим уравнение углового ускорения:

5. Найдем угловое ускорение в начале движения (t0=0), в конце 10- й (t1= 10 с) и 20-й секунд (t2 = 20 с):

Глава 5. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

§ 20. Абсолютное движение и его составляющие

В предыдущих главах мы рассматривали движение точки и тела относительно системы отсчета, связанной с Землей, которую условно считали неподвижной. Движение относительно этой «неподвижной» системы координат принято называть абсо­лютным. Но иногда приходится рассматривать движение точки относительно системы, связанной с телом, которое само движется относительно Земли или тел, неподвижно скрепленных с ней (стены здания, рельсы, машины и т. п.). В этом случае абсолютное движение точки удобно представить себе как сложное движение, состоящее из двух (или более) независимых движений.

Движение точки относительно подвижной системы отсчета называют относительным, а движение точки вместе с подвижной системой отсчета относительно неподвижной системы отсчета называют переносным.

Для примера рассмотрим движение поднимаемого при помощи крана груза в условиях, когда стрела крана одновременно пово­рачивается вокруг своей оси. Движущейся системой отсчета в этом случае является стрела крана. Относительно нее груз движется прямолинейно вверх – это относительное движение. Одновремен­но вместе со стрелой груз совершает движение по дуге окружно­сти относительно «неподвижной» Земли – это переносное движе­ние груза.

Наблюдатель, стоящий на Земле, видит абсолютное движение груза, складывающееся из двух происходящих одновременно дви­жений.

Сложным также является движение человека по движущейся лестнице эскалатора: движение человека по отношению к ступеням является относительным, а перемещение его вместе со ступенями относительно неподвижных стен тоннеля является переносным. Абсолютным будет движение человека относительно неподвижных стен.

Таким образом, абсолютное движение точки – совокупность двух движений: относительного и переносного. При этом разли­чают абсолютную, относительную и переносную траектории и соответственно такие же скорости и ускорения точки.

§21. Сложение скоростей и ускорений точки
в сложном движении

В ряде случаев по заданным относительному и переносному движениям определяют абсолютное движение точки. Иногда зада­ны абсолютное и одно из составляющих движений, а необходимо определить другое составляющее движение.

Рассмотрим, как определяют абсолютное движение точки (т. е. абсолютные перемещения, скорость и ускорение), если ее отно­сительное и переносное движения прямолинейны и направлены под углом друг к другу. Пусть груз М движется вниз по наклонной плоскости и за промежуток времени D t перемещается относительно нее на D Sотн (рис. 72).

Рис. 72

Наклонная плоскость за этот же промежу­ток времени D t движется прямолинейно относительно Земли, и груз вместе с ней совершает переносное перемещение D Sпер. Изобразим эти перемещения в виде вектора D Sотн и D Sпер, на­правление которых совпадает с направлениями соответствующих движений. Диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах (рис. 73), будет абсолютным перемещением груза из точки М в точку M1. При этом, если переносное и относительное перемещения прямолинейны, абсолютное перемещение

. (37)

Рис. 73

Поделим каждый член уравнения (37) на время D t, в течение которого происходило движение, и устремляя D t ® 0, получим выражение:

где каждый член представляет собой в пределе соответствующую мгновенную скорость груза, т. е.

. (38)

Следовательно, в случае, если относительное и переносное движения прямолинейны, абсолютная скорость точки в каждый момент времени определяется как геометрическая сумма относи­тельной и переносной скоростей. Графически абсолютная скорость точки может быть определена по правилу параллелограмма или треугольника (рис. 74, а и б).

Рис. 74

Для определения модуля абсолютной скорости можно исполь­зовать теорему косинусов:

Учитывая, что имеем

где a – угол между направлениями относительной и переносной скоростей.

Из последнего выражения следует, что: 1) при a = 0°, когда направления относительной и переносной скоростей совпадают,

и

2) при a = 180°, когда относительное и переносное движения прямо противоположны, cos 180° = – 1 и

3) при a = 90°, cos 90° = 0 и

Аналогичные рассуждения позволяют написать выражение для ускорений:

которое, однако, справедливо лишь для случая, когда переносное движение является поступательным.

Следует заметить, что выражения (37) и (38) справедливы и в общем случае, когда переносное и относительное движения криволинейны, так как криволинейное движение можно рас­смотреть как совокупность бесконечно малых прямолинейных перемещений, направленных вдоль соответствующих скоростей.

Задача 48. В кулисном механизме (рис. 75, а) кулиса ОС качается вокруг оси 0, перпендикулярной плоскости чертежа. Ползун А перемещается вдоль кривошипа и приводит в возвратно-поступательное движение стержень АВ, который перемещается в вертикальных направляющих К. Определить скорость движения ползуна относительно кулисы ОС, если ОК = l, а угловая скорость кривошипа w.

Рис. 75

Решение.

1. Движение точки А вместе со стержнем АВ относительно неподвижных направляющих К можно считать сложным, складывающимся из двух движений:

относительного поступательного вдоль кулисы ОС; вектор относительной скорости voth направлен вдоль кулисы (рис. 75, б);

переносного вращательного вместе с кулисой ОС; вектор Vпep направлен пер­пендикулярно кулисе ОС и его модуль

2. Скорость абсолютного движения точки А направлена по вертикали.

3. Из параллелограмма скоростей (рис. 75, б) очевидно, что модуль относи­тельной скорости точки А:

Задача 49. Вниз по течению реки равномерно плывет лодка, приводимая в движение гребным винтом от мотора. Скорость течения реки 4 км/ч, скорость лодки, сообщаемая ей гребным винтом по отношению к воде, составляет 8 км/ч. Определить скорость лодки относительно берегов и расстояние, которое проходит лодка вдоль берегов за 20 мин.

Решение иллюстрировать рисунком, считая берега реки на данном участке прямолинейными и параллельными.

Решение.

1. Лодку принимаем за материальную точку, а водную массу реки – за материальную среду.

Движение лодки относительно берегов или, иначе говоря, дви­жение лодки, наблюдаемое с берега, – это абсолютное движение. Переносное движение лодки – ее перемещение вместе с рекой; скорость VP = 4 км/ч, кото­рую сообщает лодке река, – ее переносная скорость.

Относительное движе­ние – перемещение лодки по поверхности воды, со­здаваемое гребным винтом; скорость относительного движения Vл=8 км/ч.

2. Так как в данном случае переносное и относительное движения направлены в одну и ту же сторону, то ско­рость лодки относительно берегов (абсолютная скорость):

3. За время лодка вдоль берегов проходит рас­стояние:

4. Иллюстрируем решение задачи следующим образом (рис. 76).

Изобразим на рисунке тот участок водного пространства, который проходит лодка независимо от того, перемещается этот участок воды или нет. За лодка успевает пройти по этому пространству из положения L0 в положение L1 расстояние

Рис. 76

За эти же 20 мин, или , показанное водное пространство переместится на расстояние

Таким образом, лодка, находившаяся в начале рассматриваемого движения относительно берегов в точке L0, через 20 мин оказывается в точке т. е. проходит расстояние

Следовательно, скорость абсолютного движения

Задача 50. Два автомобиля 1 и 2 движутся параллельно друг другу в одну и ту же сторону со скоростями V1 = 80 км/ч и V2 = 60 км/ч (рис. 77, а). С какой скоростью второй автомобиль двигается относительно пер­вого?

Решение.

1. Ответ «по соображению» получается мгно­венно: V2-1 = 60 – 80 = 
= – 20 км/ч, т. е. относитель­но первого второй автомобиль двигается со скоро­стью 20 км/ч, но в обратную сторону.

2. Объясним это решение с точки зрения теории сложного движения точки. Условно остановим первый автомобиль. Но тогда, чтобы не изменились условия движения, необходимо мысленно пред­ставить, что полотно дороги под вторым автомобилем и вместе с ним получает движение в обратную сторону со скоростью (рис. 77, б).

Рис. 77

Находясь в условном переносном движении со скоростью Vпер, второй автомобиль относительно дороги движется со скоростью V2.

Поэтому результирующая обеих скоростей численно равна их разности:

Как видно на рис. 77, в, результирующая направлена в сто­рону, противоположную скорости .

Задача 51. Расстояние S = 90 км между двумя пристанями, расположенными на реке (рис. 78), теплоход проходит без остановки в одном направлении (по течению) за t1 = 3 ч и в обратном направлении (против течения) за t2 = 5 ч. Определить скорость течения реки и собственную скорость теплохода.

Решение.

1. Теплоход, который принимаем за материальную точку, дви­гаясь по течению, имеет абсолютную скорость (скорость относительно берегов): , где Vтх – искомая собственная скорость тепло­хода (относительная скорость); Vр – скорость течения реки (перенос­ная скорость).

При движении против течения абсолютная скорость теплохода

Рис. 78

2. Движение теплохода по течению описывается уравнением (рис. 78, а)

Движение теплохода против течения происходит по уравнению (рис. 78, б)

3. Решаем полученную систему уравнений:

Сложим правые и левые части этих уравнений:

и

Вычитаем из верхнего равенства нижнее:

Таким образом, собственная скорость теплохода составляет 24 км/ч и скорость течения реки равна 6 км/ч.

Задача 52. От одного берега реки к другому плывет лодка, держа курс перпендикулярно к берегам (рис.79). Ширина реки 800 м. Лодка достигает противоположного берега через 12 мин после начала пе­реправы. За это время лодку сносит вниз по течению на расстояние 600 м. Определить скорость течения реки; собственную скорость лодки:
скорость лодки относительно берегов. Скорость течения у берегов и на середине реки считать одинаковой.

Рис. 79

Решение.

1. Изобразим на рисунке движение лодки (рис. 79). Предста­вим, что лодка отплывает из точки А на правом берегу. Если бы не было течения, она достигла бы противоположного берега в точке В; известно, что ширина реки АВ = lр = 800 м = 0,8 км. Но лодку сносит вниз по течению (переносное движение) на расстояние ВС = lпер = 600 м = 0,6 км и поэтому движение лодки относительно берегов (абсолютное движение) происходит по прямой АС.

Обозначим точкой L положение лодки через некоторое время после начала движения. Скорость лодки относительно берегов – абсолютная скорость – направлена вдоль прямой АС и склады­вается из собственной скорости , сообщаемой гребным винтом или веслами, и из переносной скорости течения реки

2. Допустим, что нет течения реки, тогда лодка будет перемещаться относительно бе­регов так же, как и относительно воды, по прямой АВ, и ее движение опишется уравне­нием

где t – время переправы (t = 12 мин = 0,2 ч). Отсюда находим собственную скорость лодки (скорость лодки относительно воды – относительную скорость):

3. Если лодка будет плыть, подчиняясь только течению реки, ее движение опишется уравнением

Из этого уравнения найдем скорость течения реки:

4. Теперь из прямоугольного треугольника скоростей (см. рис. 79) легко найти скорость лодки относительно берегов – абсолютную скорость:

Задача 53. В кривошипно-кулисном механизме с поступа­тельно движущейся кулисой ВС кривошип ОА (расположенный позади кулисы) длиной l = 400 мм вращается с постоянной угловой скоростью w = 10 рад/с. Концом А, соединенным шарнирно с камнем, скользящим в прорези кулисы, кривошип сообщает кулисе ВС возвратно-поступательное движение. Определить скорость кулисы в момент, когда кривошип образует с осью кулисы угол х ОА = 30° (рис. 80, а).

Решение.

1. В данном случае движение точки А вместе с кривошипом можно считать сложным, т. е. получающимся в результате сложения:

а) движения точки А вместе с кулисой в ее возвратно-поступа­тельном (переносном) движении вдоль оси х;

б) относительного движения точки А вместе с камнем, движу­щимся возвратно-поступательно в прорези кулисы в направлении, перпендикулярном к оси х.

Рис. 80

2. Абсолютная скорость точки А, модуль которой легко опреде­ляется по формуле направлена перпен­дикулярно к кривошипу ОА. Переносная скорость точки А, равная поступательной скорости кулисы направлена по прямой АВ (рис. 80 , б). Относительная скорость точки А, равная скорости камня в прорези кулисы, направлена по прямой АС.