Теоретическая механика (стр. 6 )

3. Изобразим скорость vА= 4 м/сек вектором, перпендикулярным к ОА. Разложим ее на составляющие и как показано на рис. 76, б. Вектор изображает искомую скорость кулисы.

4. (как углы с взаимно перпендику­лярными сторонами) и, следовательно,

Таким образом, в данный момент кулиса перемещается вниз со скоростью 2 м/с.

Чтобы лучше проанализировать движение кулисы, необходимо знать, когда кулиса двигается ускоренно, когда замедленно, при каких положениях кривошипа кулиса имеет максимальную скорость и чему равна эта скорость, при каких положениях кривошипа скорость кулисы равна нулю?

Глава 6. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 22. Плоскопараллельное движение тела

Подобно сложному движению точки движение тела относи­тельно неподвижной системы отсчета удобно в некоторых случаях считать сложным, т. е. состоящим из относительного и переносного движений. Обычно составляющие части сложного движения – это простейшие движения тела: поступательное и вращательное.

Рис. 81

Рассмотрим один из случаев сложного движения тела, широко встречающийся в технике – это так называемое плоскопа­раллельное движение. Оно получается в том случае, когда все точки движущегося твердого тела перемещаются в плоскостях, параллельных данной неподвижной плоскости. Таково, например, движение шатуна в кривошипно-шатунном механизме, движение сателлитов в планетарном механизме, ка­чение колеса по прямолинейному рельсу и т. д.

Пусть твердое тело А (рис. 81) движется параллельно непод­вижной плоскости I. Пересечем тело плоскостью II, параллельной плоскости I. Получим в сечении фигуру S, которая, перемещаясь вместе с телом, остается все время в плоскости II.

Отрезок MN, проведенный перпендикулярно к плоскости сечения S, во время движения остается все время перпендикуляр­ным к плоскостям II и I, т. е. перемещается параллельно своему первоначальному положению – значит, движется поступательно. Все точки прямой MN, а следовательно, и точка К, лежащая в плоскости фигуры S, имеют одинаковые траектории скорости и ускорения.

Аналогичные рассуждения можно привести в отношении пря­мой EF и любой другой прямой тела А.

Так как движение точки К такое же, как и всех точек, лежащих на прямой MN, а движение точки D – всех точек прямой EF, то, очевидно, можно утверждать, что движение фигуры S в пло­скости II определяет движение всего тела А. Поэтому для изу­чения плоскопараллельного движения тела достаточно изучить движение плоской фигуры в ее плоскости.

Рассмотрим движение фигуры S (рис. 82) в плоскости II от­носительно неподвижно связанных с этой плоскостью осей хОу. Пусть оси x1O1y1 будут связаны с движущейся фигурой S – это подвижные оси.

Рис. 82

Положение фигуры S в ее плоскости будет определяться поло­жением подвижной системы осей относительно неподвижной, т. е. координатами центра 01 и углом поворота j. Иначе, положение фигуры S в данный момент времени можно определить, если будут известны функции

(39)

которые называют уравнениями плоскопарал­лельного движения. Если при движении будет оста­ваться постоянным угол j (j = const), то тело движется поступа­тельно и уравнениями его движения будут функции Если при движении не будут изменяться координаты центра О, т. е. и то тело совершает вращательное движение, которое описывается уравнением j = f(t).

Приведенные рассуждения позволяют сделать вывод, что по­ступательное и вращательное движения можно рассматривать как частные случаи плоскопараллельного движения тела.

§ 23. Определение скорости точки тела
при плоскопараллельном движении

Рассмотрим движение плоской фигуры в своей плоскости (рис. 83). Пусть полюсом служит точка А. Сложное движение фи­гуры состоит из поступательного вместе с полюсом со скоростью VA и вращательного вокруг этого полюса с угловой скоростью w. Поступательное движение является переносным, вращательное – относительным. Теперь мы можем найти абсолютную скорость любой другой точки тела В как геометрическую сумму двух ско­ростей: переносной скорости поступательного движения, равной скорости полюса: VBпер = VA, и относительной скорости враща­тельного движения вокруг полюса:

. (40)

Рис. 83

Причем вектор перпендикулярен радиусу вращения АВ и направлен в сторону вращения. Модуль его где w – угловая скорость тела. При решении таких задач обычно в качестве полюса принимают точку, скорость которой в данный момент времени известна.

Задача 54. В четырехзвенном механизме (рис. 84) кривошип ОА вращается равномерно с частотой п = 300 об/мин. Для заданного положения механизма, при котором кривошип ОА перпендикулярен шатуну АВ и < ABC = 45°, опре­делить угловую скорость звена (коромысла) ВС, если ОА = 0,12 м, АВ = 0,3 м и ВС = 0,14 м.

Рис. 84

Решение.

1. Шатун механизма АВ совершает плоскопараллельное движение. Выберем в качестве полюса точку А, скорость которой VA направлена перпендикулярно радиусу кривошипа ОА в сторону вращения, модуль последней легко определить из выражения:

м/с.

2. Абсолютную скорость точки В шатуна найдем как геометрическую сумму двух составляющих скоростей: поступательного движения, равной VА, и окруж­ной относительно полюса – VВА, направленной перпендикулярно АВ. Точка В принадлежит коромыслу ВС, которое совершает вращение относительно центра С, следовательно, ее абсолютная скорость VВ направлена перпендикулярно ВС и также направлена в сторону его вращения. Учитывая это, построим параллело­грамм, диагональю которого будет вектор VВ, а сторонами векторы VВА и VA.

Угол между VВ и VA равен 45°, поэтому

м/с.

3. Искомую угловую скорость коромысла найдем из выражения

рад/с.

§ 24. Мгновенный центр скоростей

Определим в данный момент времени абсолютную скорость некоторой точки С плоской фигуры, которая лежит на прямой, перпендикулярной вектору скорости полюса V0. Причем, пусть расстояние где w – угловая скорость фигуры (рис. 85). Нетрудно убедиться, что абсолютная скорость этой точки будет равна нулю, так как направления векторов относительной скорости Vco и переносной V0 противоположны, а их модули равны.

Рис. 85

Действительно,

Очевидно, если скорость некоторой точки С движущейся фигуры равна нулю, то фигура в данный момент времени совершает вращательное движение вокруг рассматриваемой точки (либо твердое тело вращается вокруг оси, проходящей через точку С перпендикулярно плоскости чертежа). Эту точку называют мгновенным центром скоростей (МЦС), или мгно­венным центром вращения.

Положение мгновенного центра скоростей непрерывно изме­няется с течением времени.

Таким образом, сложное плоскопараллельное движение тела можно упростить, представив его в виде последовательного ряда мгновенных вращений вокруг центров (осей), занимающих раз­личные положения.

Если, например, в данный момент времени МЦС находится в точке С (рис. 86), то скорости любых других точек А и В будут перпендикулярны к прямым, соединяющим эти точки с точкой С, и направлены в сторону вращения, а их модули и

Рис. 86

Зная положение мгновенного центра скоростей и угловую скорость вращения плоской фигуры, можно найти ско­рость любой точки тела.

Если известны скорости двух произвольных точек фигуры (например vА и vВ), то мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных к этим векторам. Иногда мгновенный центр скоростей С может распо­лагаться и вне фигуры, но в ее плоскости (рис. 87).

Рис. 87

Модули мгновенных скоростей различных точек фигуры про­порциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центра скоростей.

Действительно, ; отсюда

Если же векторы скоростей двух точек фигуры в данный момент времени параллельны другу к другу, то возможны следующие случаи.

1. Векторы скоростей двух точек не перпендикулярны пря­мой АВ, соединяющей эти точки (рис. 88, а). Перпендикуляры к векторам VA и VB параллельны. Это значит, что МЦС находится в бесконечности, т. е. нет вращения – фигура движется поступа­тельно и VA = VB.

Рис. 88

2. Векторы скоростей точек А и В перпендикулярны к пря­мой АВ, соединяющей эти точки. Для определения положения МЦС нужно соединить прямой линией концы векторов и найти точку С пересечения этой линии с прямой АВ (рис. 88, б и в). Очевидно, что в этих случаях также справедливо равенство от­ношений VA/VB = AC/ВС.

3. В случае, изображённом на рис. 88, г (VA = VB), находится в бесконечности – фигура движется поступательно.

Если плоская фигура движется так, что ограничивающий её контур катится без скольжения по некоторой неподвижной кривой, то мгновенный центр скоростей С находится в точке касания кон­тура и неподвижной кривой (рис. 89).

Рис. 89

Задача 55. В четырехзвенном механизме ОАВС (рис. 90) точка А движется по круговой траектории радиусом ОА = 0,15 м, а точка В – по дуге радиусом BС = 0,3 м, ОС = 0,5 м. Определить для данного положения механизма скорость точки В, если vA = 4,55 м/с.

Рис. 90

Решение.

Скорость точки А шатуна, общей с кривошипом ОА, направлена перпендикулярно к радиусу вращения АО, в то время как скорость точки В ша­туна, общей со звеном ВС, направлена перпендикулярно радиусу вращения ВС.

Таким образом, направления скоростей двух точек шатуна АВ, совершающего плоское движение, известны. На пересечении перпендикуляров к векторам VA и VB находится МЦС, который совпадает с точкой С.

Так как модули скоростей различных точек фигуры пропорциональны рас­стояниям, то можно написать

откуда vB = vA - 0,462 = 4,55 - 0,462 = 2,1 м/с.

Задача 56. Кривошип ОА = r = 40 см кривошипно-шатунного механизма (рис. 91, а) вращается с угловой скоростью w = 25 рад/с. Длина шатуна, приводящего ползун В в возвратно-поступательное движение вдоль горизонтальных направляющих, равна АВ = l = 100 см. Определить скорость ползуна В в тот момент, когда кривошип ОА образует с горизонталью угол a = 30°.

Решение 1 – при помощи мгновенного центра скоростей (реше­ние путем сложения переносной и относительной скоростей рекомен­дуется выполнить самостоятельно).

1.Изобразим на рис. 91, б расчетную схему. Схематично пока­жем кривошип ОА и шатун АВ в заданном положении. Ползун В, двигающийся поступательно, можно отождествить с точкой В.

Рис. 91

2. Замечаем, что кривошип совершает вращательное движение, ползун В движется поступательно, а шатун АВ совершает плоско­параллельное движение.

3. Скорость точки А направлена перпендикулярно к кривошипу ОА (по касательной к окружно­сти, которую описывает точка А). Ее числовое значение

Скорость точки В направлена вдоль прямой ВО.

Проведем из точек А и В пря­мые, перпендикулярные к направле­ниям скоростей и Найдем в точке их пересечения С мгновенный центр скоростей шатуна.

4. Найдя положение мгновенного центра скоростей, получим

Отсюда

но предварительно нужно узнать значение отношения которое, как легко заметить, равно отношению синусов противолежащих углов (теорема синусов):

.

5. Чтобы определить величину этого отношения, необходимо определить углы j1 и j2.

Замечая, что (см. рис. 87, б) j2 = 90° - b, найдем угол b, при­менив теорему синусов к D OBA:

откуда

Следовательно,

Из того же рис. 91, б видно, что угол j1 является одним из внешних углов D ОBА, поэтому

6. Теперь можно определить числовое значение скорости пол­зуна В:

Решение 2 – графическим методом.

1. Построим в масштабе m1 = 2,22 см/мм схему кривошипно-шатунного механизма в заданном положении (рис. 92).

Рис. 92

2. Скорость VA = 10 м/сек точки А изобразим отрезком АК = 18 мм. Значит, масштаб скоростей

3. Из точки В построим вектор (вектор Вb равен век­тору и параллелен отрезку AK). Из точки b построим до пере­сечения с линией ВО (направлением скорости ) отрезок bа, перпендикулярный к ВА. Получившийся на линии ВО вектор изо­бражает искомую скорость

4. Измерив длину отрезка Ва, найдем, что Ва = 12 мм. Следо­вательно, числовое значение скоростей точки В

5. Как видно, между результатом, вычисленным при помощи мгновенного центра скоростей (6,75), и результатом, найденным при графическом решении (6,66), имеется расхождение, равное 0,09 (абсолютная ошибка). Следовательно, относительная ошибка, допу­щенная в графическом решении, составляет

Задача 57. Колесо катится без скольжения по горизонталь­ной плоскости, причем ось колеса перемещается равномерно со ско­ростью V0 = 5 м/с. Определить абсолютную скорость точки А на ободе колеса и точки В, находящейся на том же радиусе, в момент, когда радиус колеса, равный ОА = r = 40 см, образует с вертикалью угол a = 60° (рис. 93). Расстояние OB = 15 см.

Решение 1 – при помощи мгновенного центра скоростей.

1. Колесо катится без скольжения, следовательно, точка С сопри­косновения колеса с горизонтальной плоскостью является мгновен­ным центром скоростей, так как абсолютная скорость этой точки VC = 0. Если принять точку С за полюс, то можно считать, что в данный момент колесо совершает вращение вокруг так называемой мгновенной оси, перпендикулярной к плоскости колеса и проходя­щей через точку С (мгновенный центр скоростей).

2. Определяем угловую скорость колеса:

Рис. 93

3. Определяем абсолютную скорость точки А. Скорость направ­лена перпендикулярно к прямой АС, соединяющей точку А с мгно­венным центром скоростей С,

но

Следовательно,

4. Определяем абсолютную скорость точки В. Скорость на­правлена перпендикулярно к прямой СВ и численно равна

но

и, следовательно, = 12,5×0,493 = 6,17 м/с.

Решение 2 – при помощи сложения переносной и относительной скоростей.

1. Катящееся колесо совершает сложное движение, складываю­щееся из поступательного движения колеса вместе с осью О (пере­носного движения) и вращения колеса вокруг оси О (относительного движения).

2. Абсолютная скорость точки А при таком рассмотрении движения колеса равна диагонали параллелограмма ACDE, построенного на переносной и относительной скоростях точки А (рис. 94).

3. Переносная скорость точки А равна скорости оси колеса.

Найдем относительную скорость VАО точки А; VAO = w × AO. Но угловая скорость относи­тельного вращательного движения, как известно, не зависит от выбора полюса, поэтому, приняв за полюс точку С, найдем, что Следовательно,

(так как СО = АО – радиус колеса).

Рис. 94

Таким образом, для точки, расположенной на ободе катящегося без скольжения колеса,

Следовательно, параллелограмм ACDE есть ромб с углом САЕ = a = 60°, поэтому

4. Абсолютная скорость точки В равна диагонали параллело­грамма BFGH, построенного на переносной скорости и на относительной скорости , и ее числовое значение можно опреде­лить по формуле

Но предварительно необходимо найти скорость VBO, которая опре­деляется из соотношения

Окончательно

Задача 58. Две параллельные рейки (рис. 95, а) движутся в противоположные стороны с постоянными скоростями V1 = 8 м/с и V2 = 2 м/с. Между рейками зажат диск радиусом r = 0,5 м, катящийся по рейкам без скольжения.

Найти угловую скорость диска и скорость его центра.

Решение 1 – при помощи мгновенного центра скоростей.

1. В данном случае известны скорости реек. Но так как диск катится между ними без скольжения, точки А и В в местах сопри­косновения диска с рейками имеют те же скорости. Следовательно, и (рис 95, б). Как видно, точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной к направлениям этих скоростей.

Соеди­нив концы D и Е векторов AD и BE, изображающих скорости и найдем на прямой АВ точку С – мгновенный центр скоростей диска.

2. Скорость иа центра диска определяется по формуле

где w – угловая скорость диска.

Рис. 95

3. Величины угловой скорости w и расстояния ОС находим из равенств

Так как левые части обоих равенств равны между собой, то

отсюда

и

4. Находим скорость V0:

Решение 2 – методом последовательной остановки реек.

1. Плоское движение диска образуется вследствие независимого друг от друга перемещения реек. Поэтому скорость центра диска можно получить как результат геометрического сложения скоростей, получаемых точкой О от перемещения каждой рейки.

2. Мысленно остановим нижнюю рейку (рис. 95, в). Тогда бла­годаря передвижению верхней рейки диск будет катиться по нижней без скольжения и в точке В образуется мгновенный центр ско­ростей.

Соединим точку В с точкой D (концом вектора ) и получим треугольник BAD, в котором вектор изображает скорость центра диска при неподвижной нижней рейке.

Так как ОК – средняя линия треугольника BAD,

Угловая скорость диска в этом движении

3. Теперь мысленно остановим верхнюю рейку (рис. 95, г). Диск будет катиться без скольжения по верхней рейке, имея мгно­венный центр скоростей в точке А.

Соединив точку А с концом Е вектора получим треуголь­ник ABE, определяющий скорость центра диска при не­подвижной верхней рейке.

И здесь OL – средняя линия треугольника ABE, поэтому

Угловая скорость диска в этом движении

4. При одновременном движении обеих реек скорость центра диска

так как обе скорости и направлены вдоль одной прямой, но в противоположные стороны.

5. Угловая скорость диска определяется как сумма угловых ско­ростей w1 и w2, найденных выше:

СОДЕРЖАНИЕ

Глава 1. ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ.. 3

§ 1. Сложение двух сходящихся сил. 3

§ 2. Разложение силы на две сходящиеся составляющие. 6

§ 3. Сложение плоской системы сходящихся сил. Силовой многоугольник 11

§ 4. Проекция силы на ось. Проекция силы на две взаимно-перпендикулярные оси координат 20

§ 5. Условия равновесия плоской системы сходящихся сил. 24

Глава 2. ПЛОСКАЯ СИСТЕМА ПРОИЗВОЛЬНО
РАСПОЛОЖЕННЫХ СИЛ.. 26

§ 6. Момент силы относительно точки. 26

§ 7. Приведение системы сил к данной точке. 32

§ 8. Равнодействующая плоской системы сил. Теорема Вариньона
о моменте равнодействующей. 35

§ 9. Уравнения равновесия произвольной плоской системы сил. 40

§ 10. Виды опор балочных систем. 49

Определение опорных реакций. 49

Глава 3. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ.. 55

§ 11. Пространственная система сходящихся сил. 55

§ 12. Момент силы относительно оси. 60

§ 13. Условия равновесия произвольной пространственной
системы сил. 64

Глава 4. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ.. 74

§ 14. Основные положения кинематики. 74

§ 15. Способы задания движения точки. 75

§ 16. Скорость точки. 77

§ 17. Ускорение точки. 85

§ 18. Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси. 89

§ 19. Частные случаи вращательного движения. 91

Глава 5. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ.. 99

§ 20. Абсолютное движение и его составляющие. 99

§ 21. Сложение скоростей и ускорений точки в сложном
движении. 99

Глава 6. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА.. 110

§ 22. Плоскопараллельное движение тела. 110

§ 23. Определение скорости точки тела при плоскопараллельном движении 112

§ 24. Мгновенный центр скоростей. 114

Учебное издание

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Часть 1

Учебное пособие

редактор

Корректор

Компьютерная верстка

Лицензия на издательскую деятельность ИД № 000 от 01.01.2001

Подписано в печать 14.10.2003. Формат 60´84/16.

Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 7,44. Уч.-изд. л. 7,2.

Тираж экз. Заказ

_____________________________________________________________

Издательство Владивостокского государственного университета
экономики и сервиса

Владивосток, ул. Гоголя, 41

Отпечатано в типографии ВГУЭС

Владивосток, ул. Державина, 57