Теоретическая механика (стр. 1 )

Министерство образования Российской Федерации

Владивостокский государственный университет

экономики и сервиса

___________________________________________

Е. Ф. ЧУБЕНКО

Г. Л. ОВСЯННИКОВА

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Часть 1

Учебное пособие

Владивосток

Издательство ВГУЭС

2003

ББК 22.21

Ч 81

Рецензент , канд. техн. наук, профессор каф. ФХ и ПМ ВГУЭС

,

Ч 81 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА: Учебное посо­бие. Ч. 1. – Вла­дивосток: Изд-во ВГУЭС, 2003 – 128с.

Учебное пособие представляет собой комплекс, содержа­щий основные сведения о теории, необходимые для самостоя­тельного решения задач. В каждом разделе даны рекомендации о последовательности решения различных типов задач и приведены подробные методические указания к решению подобных задач. Может использоваться как теоретическая часть при подготовке к сдаче экзамена или зачета, так и в качестве методических указа­ний к решению задач на практических занятиях, при выполнении контрольных работ заочниками и расчётно-графических заданий.

Для студентов всех форм обучения.

ББК 22.21

ã Издательство Владивостокского

государственного университета

экономики и сервиса, 2003

Глава 1. ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

§ 1. Сложение двух сходящихся сил

Если в одной точке к телу приложены две силы под углом друг к другу, то их сложение выполняется по правилу параллело­грамма.

Модуль равнодействующей R может быть определен аналитиче­ски из треугольника АВС с помощью теоремы косинусов (рис. 1):

так как .

Направление равнодействующей определяется углами и , которые можно рассчитать, применив теорему синусов. Для тре­угольника ABC

, (1)

откуда, учитывая, что , получим

, . (2)

Вместо параллелограмма сил можно строить силовой треугольник (рис. 2). Выбрав любую точку на плоскости рисунка, проводят из нее, сохраняя масштаб, вектор, равный и параллельный одной из заданных сил, например F1.

Рис. 1 Рис. 2

Из конца вектора F1 проводят вектор, равный и параллельный второй силе, F2. Начало первого вектора соединяют с концом второго, замыкая треугольник. Замыкающая сторона треуголь­ника в данном масштабе представляет собой искомую равнодей­ствующую. Модуль и направление равнодействующей определяют аналитически, как было показано выше.

При построении треугольника сил необходимо придерживаться правила: стрелки составляющих векторов направлены в одну сторону, а равнодействующей – им навстречу.

Частные случаи: 1) если , т. е. силы действуют по одной прямой в одну строну, то

;

2) если , т. е. силы действуют по одной прямой в разные стороны, то

;

3) если , то

Заметим, что определение равнодействующей двух сил по правилу параллелограмма или треугольника называется вектор­ным, или геометрическим, сложением.

Задача 1. Определить равнодействующую двух сил и , модули которых соответственно равны Р1 = 40 Н и Р2 = 80 Н; сила направлена горизонтально вправо, а образует с угол a = 120° (рис. 3, а).

Рис. 3

Задачу можно решить графоаналитическим методом, используя либо правило параллелограмма, либо правило треугольника.

Решение 1 – по правилу параллелограмма:

1. Используя условие задачи и приблизительно соблюдая мас­штаб, изображаем параллелограмм ABCD (рис. 3, б). Порядок построения такой: из точки А проводим отрезок , затем из той же точки А под углом 120° к отрезку АВ проводим отрезок , из точек В и С проводим прямые BD || АС и CD || AB и, наконец, проводим диагональ

2. Используя формулу (1), можем найти модуль равнодействующей:

Имея в виду, что cos120° = – sin 30° = – 0,5, получаем

Н.

3. Применяя к D ABD (или к D ACD) (см. рис. 3, б) теорему синусов, получаем

,

откуда

и ,

;

Таким образом, вектор равнодействующей перпендикулярен к силе ,

Угол j2 можно найти либо как разность

либо из теоремы синусов:

и j2 = 30°.

Один и тот же результат, полученный различными путями, под­тверждает правильность решения задачи.

Ответ. Равнодействующая данных сил равна 69,3 Н и линия ее действия образует с направлением силы прямой угол.

Решение 2 – по правилу треугольника.

1. Используя условие задачи, строим треугольник сил ABC (рис. 3, в). Порядок построения такой: из точки А проведем отре­зок . Затем из точки В под углом a = 120° к направлению проводим отрезок и, наконец, «замкнем» треугольник отрезком АС, который изобразит искомую равнодействующую

В получившемся треугольнике

2. Применяем к треугольнику ABC известную из тригонометрии теорему косинусов:

откуда модуль равнодействующей

Н.

3. Углы j1 и j2, определяющие направление равнодействующей относительно заданных сил, находим, как и в первом решении, по теореме синусов.

§ 2. Разложение силы на две сходящиеся составляющие

Любую силу можно рассмотреть как равнодействующую двух произвольных, сходящихся под углом сил. Модуль и направление составляющих сил зависят от угла между ними. Можно построить множество параллелограммов, для которых данная сила R будет служить диагональю (рис. 4). Чтобы задача стала определенной, нужно знать одно из дополнительных условий: модули обеих составляющих, модуль и направление одной из составляющих, направление обеих составляющих, модуль одной из составляющих и направление другой.

Рис. 4 Рис. 5

Каждую из задач можно решить двумя способами: графическим и графоаналитическим.

При графическом решении задачи заданную силу откладывают на чертеже в выбранном масштабе, а затем производят несложные геометрические построения в зависимости от заданных условий.

Для графоаналитического решения нет надобности соблюдать масштаб, но при построении нужно сохранять примерное напра­вление сил. Модули составляющих сил либо углы, определяющие их направление, вычисляют, пользуясь формулами (1) и (2).

Например, если заданы только направления составляющих сил, то из точки А вектора R (рис. 5) проводим линии действия со­ставляющих AM и AN под известными углами и Затем из точки В проводим прямые, параллельные этим линиям, т. е. строим параллелограмм, в котором стороны АС и AD предста­вляют собой искомые силы F1 и F2 в данном масштабе.

При графоаналитическом решении модули сил F1 и F2 определяют по формулам, полученным из выражения (1):

; .

Задача 2. Определить силы, растягивающие нити АВ и ВС, которые удер­живают груз весом G = 20 Н в равновесии (рис. 6, а).

Решение. Графическое (рис. 6, б): из точки О на плоскости рисунка строим в выбранном масштабе вектор силы G. Из точки О проводим прямые, параллельные нитям ОМ и ON. Затем из конца вектора G проводим прямые KL и КЕ, чтобы получился параллелограмм, у которого стороны OL и ОЕ соответ­ствуют в данном масштабе искомым силам.

Рис. 6

Графоаналитическое (рис. 6, б): Так как известны все углы в треугольнике ОЕК, а также модуль силы G, можно использовать теорему синусов для опреде­ления модулей сил F1 и F2:

,

где откуда

Задача 3. Фонарь весом 80 Н подвешен на кронштейне ABC, укрепленном на вертикальной стене (рис. 7). Определить усилия, возникшие в горизонтальном стержне СВ и наклонной тяге АВ после подвески фонаря, если СВ = 1 м и АВ = 1,2 м. Соединения в точках А, В и С кронштейна – шарнирные.

Решим задачу графоаналитическим методом по правилу парал­лелограмма.

1. Используя рис. 7, на котором изображен кронштейн, строим параллелограмм сил. Через произвольную точку а (рис. 29) проводим прямые A1A2 и С1С2, параллельные соответственно тяге АВ и стержню СВ (рис. 7).

Рис. 7

Из той же точки а откладываем вертикально вниз отрезок ab, который изображает силу Из точки b проводим прямые bd || С1С2 и bc || A1A2. В получившемся параллелограмме adbc стороны ad и ас изображают соответственно искомые усилия и .

2. Теперь имеются две геометрические фигуры – треугольник ABC (см. рис. 7), изображающий заданный кронштейн, и силовой параллелограмм (рис. 8).

Рис. 8

Геометрически D ABC (рис. 7) и D adb, или, что все равно, D abc

(рис. 8), подобны между собой.

Используя свойство подобных треугольников (замечаем, что db = ac = Nc), получаем

.

3. Решая получившиеся пропорции, находим

и .

Неизвестную в кронштейне длину АС найдем по теореме Пифа­гора (из условия задачи ясно, что угол АСВ – прямой)

м.

Подставляя в выражения для NА и Nc исходные данные, получаем

H; H.

Задача 4. При помощи двух нерастяжимых нитей АС и ВС удерживается груз, вес которого 12 Н. Положение нитей и груза показано на рис. 9. Определить натяжения нитей.

Решим задачу графоаналитическим методом по правилу тре­угольника с использованием тригонометрических соотношений.

1. Прежде всего необходимо силу G = =12 Н разложить на две составляющие, линии действия которых совпадают с направлениями линий АС и ВС.

Рис. 9

Рис. 10

2. Изобразим силу отрезком (рис. 10). Затем проведем из точки С прямую CN, продолжив АС, а из точки L – прямую LM параллельно положению нити ВС. Получим силовой треуголь­ник CKL, в котором стороны СK и KL изображают искомые силы натяжения нитей АС и ВС.

3. Если в треугольнике CKL известны углы a, b и g, то зада­чу легко решить по теореме синусов:

.

4. Из построения силового треугольника следует, что

(для наглядности положение нитей относительно вектора G пока­зано на рис. 10 штриховой линией). А так как треугольники D АСЕ и D BCD – прямоугольные, то из D ACE

Из D ВСD

Угол g легко найдем как дополнение к Ð 180°:

.

5. И теперь, зная углы a, b и g, из уравнения (1)

Н

и

Н.

Таким образом, нить CA растягивается усилием, равным 6,25 Н, а нить СВ – усилием 10,75 Н.

§ 3. Сложение плоской системы сходящихся сил.
Силовой многоугольник

Равнодействующую плоскость системы сходящихся сил можно найти графически с помощью построения силового многоугольника.

Пусть дана система сил F1, F2, F3, F4 (рис. 11, a). Выберем на плоскости чертежа произвольную точку O (рис. 11, б). Из нее проводим в выбранном масштабе вектор, равный по модулю и параллельный силе f1. Из конца этого вектора проводим век­тор, равный силе F2. Из конца вектора силы F2 строим вектор, равный и параллельный силе F3, и т. д. Соединив точку О с концом последнего вектора, получим замыкающую сторону многоуголь­ника ON, которая в данном масштабе представляет собой искомую равнодействующую системы – R. Действительно, диагональ си­лового многоугольника OL равна вектору R1, который является геометрической суммой векторов F1 и F2: R1= F1+ F2 . Вторая диагональ ОМ равна R2= R1+ F3= F1+ F2+ F3. Очевидно, что замыкающая сторона R = R2 + R4 = F1 + F2 + F3 + F4 есть равнодействующая системы, равная геометрической сумме всех заданных сил. Точка приложения равнодействующей совпадает с точкой А.

Рис. 11

Модуль и направление равнодействующей не изменятся, если изменить порядок, в котором откладываются векторы сил при построении силового многоугольника.

Следствие. Если система сил является уравновешенной, то равнодействующая системы равна нулю (R = 0). В этом случае си­ловой многоугольник замкнут, т. е. конец последнего вектора должен совпадать с началом первого.

Замкнутость силового много­угольника является геометрическим условием равновесия плоской си­стемы сходящихся сил. Это усло­вие используют при решении задач на равновесие.

Задача 5. Шар весом G = 20 Н (рис. 12, а) подвешен к вертикальной стене при помощи нити СВ. Определить натяжение нити и силу давления шара на стену, если угол между стеной и нитью a = 30°.

Решение.

1. Рассмотрим равновесие шара под действием трех сил: силы тяжести G, реакции нити RC и реакции стены RA. Линии действия всех сил пересекаются в центре шара 0.

Рис. 12

2. Строим замкнутый силовой треугольник, начиная с известного вектора G (рис. 12, б). Модули неизвестных сил RA и RC, равные соответственно давлению шара на стену и натяжению нити, определим из полученного треугольника:

,

откуда

.

Задача 6. Определить равнодействующую четырех сил: P1=18 Н, Р2 = 10 Н, Р3 = 6 Н и Р4 = 8 Н, приложенных к одной точке А и направленных, как показано на рис. 13.

Решение – методом проекций на координатные оси.

1. Изображаем на рисунке четыре данные силы и выбираем рас­положение осей проекций. В данном случае удобно начало осей поместить в точке А, а оси совместить с силами и (рис. 13, а).

Рис. 13

2. Находим проекции данных сил на ось х (рис. 13,б):

3. Находим проекции данных сил на ось у (рис. 13,в):

4. Находим проекции искомой равнодействующей на оси х и у:

Проекция на ось х получается отрицательной, а на ось у поло­жительной. Значит вектор заменяющий действие четырех данных сил и приложенный к точке А, должен быть направлен относительно оси у вверх, а относительно оси х – влево. Положение рав­нодействующей R показано отдельно на рис. 13, г.

5. Находим модуль равнодействующей:

Н.

6. Находим угол j, определяющий направление R относительно оси у (см. рис. 13, а):

и, следовательно, .

Для определения угла j использован D ABC (см. рис. 13, г), в котором Поэтому XR не имеет значения и в выра­жение tgj подставлена его абсолютная величина.

Угол j можно найти при помощи синуса:

Таким образом, равнодействующая четырех заданных сил равна 26,7 Н, направлена под углом 40°30' к положительному направле­нию оси у и под углом 90° + 40°30' = 130°30' к положительному направлению оси х.

Задача 7. К концу В веревки АВ прикреплено кольцо, на которое действуют четыре силы: Р1 = 40 H, Р2 = 25 H, P3 = 25 H и P4 = 20 H, направленные, как показано на рис. 14, а (сила Р2 гори­зонтальна). Определить усилие, возникшее в веревке, и ее направ­ление относительно горизонтали.

Решение – методом проекций.

1. Веревка будет натянута равнодействующей четырех заданных сил. Следовательно, определив модуль равнодействующей, получим усилие, возникшее в веревке, а определив направление равнодей­ствующей, найдем положение натянутой веревки.

2. Изобразим точку В с действующими на нее силами на от­дельном рисунке (рис. 14, б) и совместим оси проекций с силами и .

3. Найдем проекции заданных сил на ось х:

Рис. 14

4. Найдем проекции заданных сил на ось у:

5. Найдем проекции равнодействующей на оси х и у:

6. Найдем модуль равнодействующей:

H.

Как видно, в данном случае проекция равнодействующей на ось у очень мала по сравнению с проекцией на ось х. Поэтому равно­действующая практически численно равна проекции на ось х. Сле­довательно, можно принять, что вектор равнодействующей направлен вдоль оси х вправо (проекция на ось х положительна), т. е. гори­зонтально.

Таким образом, четыре заданные силы натягивают веревку рав­нодействующей силой R, приложенной к точке В (к кольцу на конце веревки) и направленной горизонтально.

Другой конец веревки (точка А, рис. 14, а) закреплен, поэтому на кольцо В со стороны веревки действует еще одна сила, численно равная равнодействующей, но направленная в противоположную сторону. Эта сила называется уравновешивающей системы четырех сил.

На рис. 14, в показаны равнодействующая R и уравновешивающая .

Задача 8. На конце В горизонтального стержня АВ необхо­димо прикрепить две нити с грузами Р1 = 4 кH и Р2 = 0,8 кH, как показано на рис. 15, а. Под каким углом к этому стержню следует присоединить второй стержень ВС, чтобы стержень АВ растягивался силой РА = 2 кН. Какое усилие при этом будет испытывать стер­жень ВС?

Соединения стержней между собой и с опорами шарнирные.

Решение – методом проекций.

1. На точку В действуют три силы: – вертикально вниз, – вдоль нити от точки В к блоку (под углом 30° к горизонтали) и противодействие (реакция) стержня тому растягивающему дей­ствию, которое испытывает стержень. Изобразим эти три силы на рис. 15, б и найдем их равнодействующую, вдоль направления которой необходимо установить стержень ВС.

2. Оси проекций совместим с силами и и определим про­екции искомой равнодействующей сначала на ось х, а потом на ось у, зная, что каждая из них равна алгебраической сумме про­екций данных сил на соответствующую ось:

3. Обе проекции получаются отрицательными. Значит, равнодейст­вующая расположится так, как показано штриховым на рис. 15, б, и положение стержня ВС определится углом .

Рис. 15

4. Определим значение угла a из треугольника, образуемого и его проекциями (рис. 15, в):

,

5. Стержень ВС необходимо установить под к стержню АВ, и тогда он будет сжиматься силой, равной

кН.

Описанное положение стержня показано на рис. 15, г.

Если же установить стержень, как показано на рисунке штри­ховой линией ВС, то стержень будет испытывать растяжение, равное той же силе R = 3,83 кН.

Задача 9. Определить равнодействующую пяти сил:

Р1 = 52 Н, Р2 = 70 Н, Р3 = 69 Н, Р4 = 77 Н, Р5 = 70 Н, действующих на точку А, как показано на рис. 16, а.

Рис. 16

Решение – методом проекций.

1. Так как силы и направлены друг к другу под прямым углом, то и совместим с этими силами ось проекций. Тогда векторы , и будут образовывать с осями проекций углы, показан­ные на рис. 16, б.

2. Найдем проекцию равнодействующей на ось х:

3. Найдем проекцию равнодействующей на ось у:

4. Обе проекции искомой равнодействующей равны нулю, значит и сама равнодействующая также равна нулю.

Таким образом, данная система сил уравновешена. Иными сло­вами, любую из пяти заданных сил можно рассматривать как урав­новешивающую четыре остальных.

§ 4. Проекция силы на ось.
Проекция силы на две взаимно-перпендикулярные оси координат

Кроме рассмотренных выше графического и графоаналитического методов решения задач, в статике широко распространен аналитический метод их решения, или метод проекций.

Проекцией силы на ось (рис. 17) является отрезок оси, заключенный между проек­циями на эту ось начала и конца вектора силы. Проекцию обычно обозначают той же буквой, что и силу, но с индексом. Напри­мер, Fx – проекция силы F на ось х.

Рис. 17

Проекция силы на ось есть величина скалярная. Она может быть положительной, отрицательной или равной нулю в зависимости от величины угла a между направлением силы и положи­тельным направлением оси. Из прямоугольного треугольника ABC следует, что Fx = F сos a, т. е. проекция силы на ось равна произ­ведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси.

Если угол a острый, то проекция положительна (рис. 17), если угол a – тупой, то проекция отрицательна (рис. 18, а):

Рис. 18

Нетрудно убедиться, что проекция силы на ось будет равна нулю, если a = 90° или 270° (рис. 18, б), и равна модулю силы, если a = 0 или a = 180° (рис. 18, в).

Модуль и направление силы можно определить по ее проек­циям на две взаимно перпендикулярные оси (рис. 18, в):

Из треугольника ABC, поскольку АС = Fx и ВС = Fy, сле­дует, что модуль силы F равен

(3)

Направление силы определяют косинусы углов (рис. 19):

; . (4)

Рис. 19

Задача 10. В точке В кронштейна ABC (рис. 20, а) подвешен груз М весом 8 кН. Определить реакции стержней кронштейна, если углы кронштейна a = 110°, b = 30° и крепления в точках А, В и С шарнирные.

Рис. 20

Решение – методом проекций при помощи уравнений равновесия.

1. Так как три силы , и , действующие на точку В (рис. 21), образуют уравновешенную систему, то алгебраические суммы проек­ций этих сил на каждую из двух осей координат равны нулю.

Рис. 21

2. Выберем оси координат так, чтобы одна из осей совпадала с линией действия одной из неизвестных сил (рис. 21), и со­ставим два уравнения равновесия:

(1)

(2)

Из уравнения (2)

кН.

Из уравнения (1)

Задача 11. К шарниру В кронштейна ABC прикреплена ве­ревка, перекинутая через блок, к другому концу которой прикреп­лен груз весом G = l,5 кН (рис. 22). Определить усилия в стерж­нях АВ и СВ кронштейна, если крепления в точках А и С шар­нирные, a = 35° и b = 100°.

Рис. 22

Решим задачу методом проекций.

1. Изобразив шарнир В вместе с дей­ствующими на него силами и и расположив оси проекций, как показано на рис. 19, составим уравнения равновесия:

(1)

(2)

2. Из уравнения (2)

кН,

а из уравнения (1)

Итак, реакции стержней (их действия на шарнирный болт В) равны NA = 2,57 кН и NС = l,85 кН. Точно с такими же усилиями действует шарнирный болт на стержни. Стержень АВ растянут силой 2,57 кН, а стержень СВ сжат силой 1,85 кН.