Элементы теории вероятностей и математической статистики в юридической деятельности (стр. 2 )

для студентов заочной формы обучения

на базе высшего профессионального образования

№ № п/п	Разделы (темы) дисциплины	Количество часов по видам учебных занятий (по учебному плану)
Лекции	Практические занятия	С/р
Раздел 1. Элементы теории вероятностей
1	Тема 1. Случайные события и вероятности	-	2	8
2	Тема 2. Элементы комбинаторики	-	8
3	Тема 3. Условные и безусловные вероятности	-	8
4	Тема 4. Априорные и апостериорные вероятности событий	-	8
5	Тема 5. Случайные величины и законы их распределения	-	10
6	Тема 6. Числовые характеристики случайных величин	-	-	6
Раздел 2. Элементы математической статистики
7	Тема 7. Вариационные ряды и способы их представления	-	-	6
8	Тема 8. Оценки параметров эмпирического распределения	-	-	8
9	Тема 9. Статистическая проверка гипотез	-	2 (в интерактивной форме)	6

Программа курса

Раздел № 1. Элементы теории вероятностей

Тема № 1. Случайные события и вероятности

Случайные события и их классификация. Пространство элементарных исходов. Операции (сумма, произведение, разность) над событиями. Аксиоматика теории вероятностей и основные следствия из неё. Интерпретации вероятности.

Тема № 2. Элементы комбинаторики

Основные правила (суммы и произведения) комбинаторики. Факториал числа. Простейшие комбинаторные конфигурации: размещения, перестановки, сочетания.

Тема № 3. Условные и безусловные вероятности событий

Условные вероятности событий. Теорема умножения вероятностей. Безусловные вероятности событий. Вероятность заданного числа наступления события в серии опытов. Формула Бернулли.

Тема № 4. Априорные и апостериорные вероятности событий

События-гипотезы. Полная группа несовместных событий. Априорные вероятности событий. Формула полной вероятности. Апостериорные вероятности событий. Формула Байеса и условия её применения.

Тема № 5. Случайные величины и законы их распределения

Понятие случайной величины. Функция распределения случайной величины и её основные свойства. Дискретные случайные величины и способы задания законов их распределения. Непрерывные случайные величины и способы задания законов их распределения. Основные свойства плотности распределения вероятностей случайной величины.

Тема № 6. Числовые характеристики случайных величин

Характеристики положения случайной величины. Характеристики рассеивания случайной величины. Основные свойства математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины. Математические ожидания и дисперсии основных законов распределения случайных величин.

Раздел № 2. Элементы математической статистики

Тема № 7. Вариационные ряды и способы их представления

Содержание метода математической статистики. Выборка и способы её представления (гистограмма, полигон, кумулята). Относительная частота вариант.

Тема № 8. Оценки параметров эмпирического распределения

Статистика оцениваемого параметра. Особенности точечных и интервальных оценок параметров эмпирического распределения. Эмпирическое среднее, дисперсия и среднеквадратическое отклонение. Понятие доверительной вероятности и правила построения доверительного интервала для математического ожидания оцениваемого параметра генеральной совокупности.

Тема № 9. Статистическая проверка гипотез

Понятие статистической гипотезы. Основная и альтернативная, простая и сложная гипотезы. Содержание процедуры проверки гипотезы. Область принятия гипотезы, критическая область. Ошибки первого и второго рода. Проверка гипотез о виде распределения.

Планы практических занятий

Практическое занятие № 1

Тема № 1-5: Случайные события и случайные величины

1. Случайные события и их вероятности.

2. Дискретные случайные величины.

3. Непрерывные случайные величины.

Литература:

основная:

1*. Мишин теории вероятностей и математической статистики в юридической деятельности : практикум / . - Воронеж: «ЛИО», 2011. - С. 7-14, 36-47.

дополнительная:

2*. Мишин и математика: Математика : учебное пособие / , , ; Центральный филиал Российской академии правосудия. – Воронеж: Научная книга, 2006. – С. 89-110, 113-137.

Практическое занятие № 2**

Тема № 7-8: Вариационные ряды и оценка их параметров

1. Способы представления выборки.

2. Точечные оценки параметров эмпирического распределения.

3. Интервальные оценки параметров эмпирического распределения.

Литература:

основная:

1*. Мишин теории вероятностей и математической статистики в юридической деятельности : практикум / . - Воронеж: «ЛИО», 2011. - С. 62-79.

дополнительная:

2*. Турецкий и информатика: учебник / . – 3-е изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2002. – С. 386-401.

3*. Мишин и математика: Математика : учебное пособие / , , ; Центральный филиал Российской академии правосудия. – Воронеж: Научная книга, 2006. – С. 140-159.

Практическое занятие № 3

Тема № 9: Статистическая проверка гипотез

Занятие проводится методом «мозгового штурма».

На занятии формулируется следующая проблема.

Таблица эмпирического распределения оцениваемого параметра выборки объёма n = 60 имеет следующий вид:

xi	(0; 20)	(20; 40)	(40; 60)	(60; 80)	(80; 100)
mi	12	13	14	9	12

Сформулируйте гипотезу о законе распределения оцениваемого параметра и проверьте её для уровней значимости 0,01 и 0,05.

Сделайте вывод о законе распределения оцениваемого параметра.

Литература:

основная:

1*. Мишин теории вероятностей и математической статистики в юридической деятельности : практикум / . - Воронеж: «ЛИО», 2011. - С. 81-99.

дополнительная:

2*. Мишин и математика: Математика : учебное пособие / , , ; Центральный филиал Российской академии правосудия. – Воронеж: Научная книга, 2006. – С. 159-160.

Методические рекомендации по изучению курса и организации самостоятельной работы студентов

Изучение курса «Элементы теории вероятностей и математической статистики в юридической деятельности» призвано сформировать целостный взгляд на применение математических методов для получения, обобщения и анализа информации о социально значимых проблемах и процессах. Поэтому своё внимание необходимо сосредотачивать на освоение понятийного аппарата, положенного в основу рассматриваемых учебных вопросов, и анализ возможностей его практического применения в юридической деятельности.

При этом вероятностный метод следует научиться использовать как, в первую очередь, метод мышления, как язык, как средство формулирования понятий и описания социально-правовых явлений (процессов), а вероятности и числовые характеристики случайных величин – как средство изучения закономерностей в случайных явлениях. Почему это важно для специалиста? Логическая стройность, строго дедуктивный характер построений, общеобязательность выводов создали теории вероятностей славу образца научного знания. Использование вероятностного и статистического методов позволяет эффективно исследовать широкий круг социально значимых процессов и проблем в юридической деятельности.

Следует иметь в виду, что практические занятия, проводимые согласно приведённой выше тематике, носят инструктивно-методический характер. Темы курса, по которым не предусмотрены практические занятия, необходимо в обязательном порядке отработать самостоятельно.

Самостоятельная работа студентов по курсу является важной составной частью учебно-воспитательного процесса и имеет целью:

закрепить и углубить знания, полученные на практических занятиях;

формировать самостоятельность и инициативу в поиске и приобретении знаний, а также умения и навыки статистической обработки результатов наблюдений;

выполнить контрольное задание;

подготовиться к предстоящему зачёту по дисциплине.

Основным и преимущественным видом самостоятельной работы студентов заочной формы обучения является работа с практикумом по данному курсу [1] и (или) дополнительной литературой [2-7], направленная на освоение программы курса. При этом основное внимание следует сосредотачивать на освоении понятийного (терминологического) аппарата курса и способов вычисления вероятностных и статистических характеристик. В частности, следующих положений.

Тема 1. Случайные события и вероятности

Опыт – совокупная общественная практика; основа познания и критерий истинности наших знаний об окружающем мире. В узком смысле слова под опытом понимают наблюдение и эксперимент.

Наблюдение – метод исследования предметов и явлений объективной действительности в том виде, в каком они существуют и происходят в природе и обществе в естественных условиях и являются доступными непосредственному восприятию человека.

Эксперимент – научно поставленный опыт, целенаправленное изучение вызванного нами явления в точно учитываемых условиях, когда имеется возможность следить за ходом изменения явления, активно воздействовать на него с помощью целого комплекса разнообразных приборов и средств и воссоздавать это явление каждый раз, когда налицо те же самые условия и когда в этом есть необходимость.

Случайное событие – событие, которое может произойти, а может и не произойти в результате опыта. Случайное событие (или просто событие) – не происшествие, а лишь возможный результат опыта. Событие, которое обязательно наступит в результате опыта, называют достоверным (обозначается символом W), а, которое никогда не произойдёт – невозможным (обозначается символом Æ).

Событие может состоять из нескольких простых, элементарных исходов.

Совокупность всех элементарных исходов в опыте называется пространством элементарных исходов (обозначается символом W), а сами элементарные исходы - точками этого пространства.

Событие, заключающееся в том, что из двух событий А и В происходит по крайней мере одно, называют суммой (или объединением) событий А и В и обозначают А + В.

Событие, состоящее в одновременном наступлении обоих событий А и В, называют произведением (или пересечением) событий А и В и обозначают (или просто ).

Событие, состоящее в том, что происходит событие А и не происходит событие В, называют разностью событий А и В и обозначают А - В.

Противоположным событию А называется такое событие , которое состоит в том, что событие А не произошло. Для противоположных событий одновременно выполняются два соотношения:

+ A = W, ×A = Æ.

Два события называют несовместными (или несовместимыми), если их одновременное наступление невозможно, т. е. А×В = Æ.

Вероятность случайного события А (обозначается Р(А), где Р – оператор вероятности) – численная мера степени объективной возможности наступления данного события, которая удовлетворяет четырём аксиомам.

А1 (аксиома существования вероятности). Каждому случайному событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А): Р(А) ³ 0.

А2 (вероятность достоверного события). Вероятность достоверного события равна единице: Р(W) = 1.

А3 (аксиома сложения). Если события А и В несовместны (А×В = Æ), то вероятность их суммы равна сумме вероятностей отдельных событий.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

А4 (расширенная аксиома сложения). Если событие А равносильно наступлению хотя бы одного из попарно несовместных событий , т. е. , то .

Важнейшие следствия, вытекающие из аксиом вероятности:

1. Вероятность противоположного события

= 1 - Р(А).

2. Вероятность невозможного события равна нулю:

Р(Æ) = 0.

3. Вероятность любого события Р(А) Î [0, 1].

4. Если события А1, А2, ..., Аk попарно несовместны, то

Р(А1 + А2 + ...+ Аk) = Р(А1) + Р(А2) + ... + Р(Аk).

5. Если события А1, А2, ..., Аk образуют полную группу, то

Р(А1) + Р(А2) + ... + Р(Аk) = 1.

6. (теорема сложения) Для произвольных событий А и В вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей двух событий без вероятности их пересечения, т. е.

.

Классическое определение вероятности (классическая вероятность): вероятность события А равна отношению числа М возможных исходов опыта, благоприятствующих наступлению события А, к числу N всех возможных исходов опыта, т. е. .

Геометрическое определение вероятности (геометрическая вероятность): вероятность события А (попадания точки, брошенной наудачу в область g - часть области G) равна отношению размера области g, попадание в которую благоприятствует наступления события А, к размеру области G, в которую точка попадёт достоверно, т. е. , где mes – мера (длина, площадь, объём) области.

Статистической вероятностью (или относительной частотой) события А называется отношение числа m опытов, в которых данное событие произошло, к общему числу n фактически произведённых опытов, т. е. .

Тема 2. Элементы комбинаторики

Правило суммы: если первый предмет может быть выбран n1 способом, второй – другими n2 способами (не такими как у первого) и т. д., то количество способов выбора одного предмета (или первого, или второго, …, или k-го) из объединённой совокупности предметов равно .

Правило произведения: если первый предмет может быть выбран n1 способом, второй – другими n2 способами (не такими как у первого) и т. д., то количество способов выбора (различных последовательностей заполнения строки) k предметов (первого, второго, …, и k-го) из объединённой совокупности предметов равно .

Факториалом числа называют произведение натуральных чисел от 1 до n, обозначают n! (читается n факториал): . По определению, 0! = 1. Очевидно, что .

Число всех возможных способов разместить n предметов по m местам называется числом размещений с повторениями из n по m и обозначается или U(n, m): .

Число всех возможных способов разместить n предметов по m местам (m £ n), не более чем по одному на место, в определённом порядке называется числом размещений без повторений из n по m и обозначается или A(n, m): .

Число всех возможных способов разместить п предметов по п местам, не более чем по одному на место, называется числом перестановок из n и обозначается или : .

Число всех возможных способов разместить n предметов по m местам, не более чем по одному на место, в произвольном порядке называется числом сочетаний из n по m и обозначается или С(n, m): .

Число всех возможных способов разместить п предметов, среди которых предмет m1 повторяется r1 раз, предмет m2 - r2 раза, …, предмет mk - rk раз (), по п местам, не более чем по одному на место, называется числом перестановок с повторениями и обозначается :

.

Решите задачу 1 Вашего варианта контрольного задания.

Тема 3. Условные и безусловные вероятности событий

События А и В называются зависимыми, если вероятность каждого из них зависит от того, произошло или нет другое событие. Вероятности зависимых событий называются условными.

Вероятность события А в предположении, что уже произошло событие В, называют условной вероятностью события А при условии В и обозначают .

Теорема умножения: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого при условии, что первое произошло:

.

Следствие:

Вероятности независимых событий называются безусловными.

События А и В называют независимыми, если вероятность произведения этих событий равна произведению их соответствующих вероятностей

.

Для вычисления вероятности заданного числа наступления события в серии однотипных опытов применяется формула Бернулли:

,

где n – число независимых опытов; m – число ожидаемых наступлений события А; р – вероятность наступления события А в одном опыте.

Решите задачи 2 и 3 Вашего варианта контрольного задания.

Тема 4. Априорные и апостериорные вероятности событий

Пусть требуется найти вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий Н1, Н2, … , Нn, образующих полную группу несовместных событий. Эти события называют гипотезами, а вероятности этих событий – априорными вероятностями. В этом случае вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

.

Пусть вероятности гипотез до проведения опыта известны и равны соответственно , , … , . Произведён опыт, в результате которого произошло событие А. Требуется пересчитать вероятности гипотез в связи с появлением этого события, т. е. вычислить условную вероятность для каждой гипотезы. Условные вероятности гипотез после проведения опыта и наступления события А называют апостериорными вероятностями, а для их вычисления используются формулы Байеса:

.

Решите задачу 4 Вашего варианта контрольного задания.

Тема 5. Случайные величины и законы их распределения

Случайные величины (СВ) – это величины, значения которых измеряются в опыте (эксперименте).

Функцией F(Х) распределения вероятностей СВ называется вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем произвольное действительное число х из интервала (-¥; +¥):

F(Х) = P(X < x).

Дискретные (прерывные) СВ - это случайные величины, которые могут принимать только конечное или счётное число значений с определёнными вероятностями. Для задания дискретной СВ X необходимо знать все её возможные значения х1, х2, …, хi, ..., хn и вероятности pi = P(Х = xi), где , с которыми она может их принять.

Правило, по которому всем значениям xi ставятся в соответствие вероятности pi, с которыми СВ может их принять, называют законом распределения дискретной СВ X.

Дискретная СВ X имеет биномиальное распределение с параметрами р и п, если она принимает целочисленные значения m (m = 0, 1, …, n) с вероятностями .

Дискретная СВ X имеет геометрическое распределение с параметром р, если она принимает значения k = 1, 2, ... с вероятностями .

Дискретная СВ X имеет распределение Пуассона с параметром l (l = n×р), если она принимает значения k = 0, 1, 2, 3, ... с вероятностями , где l - среднее значение числа появления события А в n опытах; р – вероятность наступления события А в одном опыте; k – число появлений события А в n независимых опытах.