Уравнения математической физики (стр. 4 )

№ п/п

Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин

Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1.

Численные методы

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

2.

Механика сплошных сред

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

3.

Асимптотические методы

+

+

+

+

+

+

+

+

+

4.

Выпускная квалификационная работа

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

№ п/п

Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин

Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

1.

Численные методы

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

2.

Механика сплошных сред

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

3.

Асимптотические методы

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

4.

Выпускная квалификационная работа

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

5.  Содержание дисциплины.

Тема 1. Задача Коши для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка. Классические и обобщенные решения. Основные определения в уравнениях математической физики. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка; первый интеграл; понятие решения уравнения в частных производных (УЧП).

Тема 2. Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных второго порядка: уравнение колебаний струны, уравнение теплопроводности. Постановка краевых задач. Описание малых колебаний бесконечной нерастяжимой однородной струны; линейное одномерное уравнение теплопроводности; телеграфное уравнение; уравнения Лапласа и Пуассона на плоскости; первая, вторая и третья краевые задачи.

Тема 3. Линейное уравнение с частными производными второго порядка. Приведение линейного уравнения к каноническому виду в точке. Классификация линейных уравнений второго порядка. Канонический вид линейного УЧП второго порядка; эллиптичность; параболичность и гиперболичность; примеры приведения к каноническому виду в двумерном и многомерном случаях.

Тема 4. Понятие характеристики для линейного уравнения второго порядка. Постановка задачи Коши. Теорема Коши-Ковалевской. Доказательство существования решения. Определение характеристики для линейного УЧП второго порядка; постановка задачи Коши для УЧП второго порядка; уравнения в форме Коши; уравнения в форме Рикье; теорема Коши-Ковалевской; доказательство существования решения задачи Коши.

Тема 5. Задача Коши для уравнения струны, формула Даламбера. Гладкость решения в зависимости от гладкости начальных данных. Полуограниченная струна, методы четного и нечетного продолжения, условия согласования. Постановка задачи Коши для уравнения Даламбера; условия на характеристиках; гладкость решения в зависимости от гладкости начальных условий; граничные условия для уравнения Даламбера; метод характеристик применительно к задаче о колебаниях полубесконечной струны; метод Даламбера; условия согласования граничных и начальных данных.

Тема 6. Ограниченная струна. Метод Фурье. Обоснование метода Фурье для уравнения колебаний закрепленной струны. Основные положения метода Фурье; алгоритм применения метода Фурье к задаче о малых колебаниях ограниченной струны; произвол в решении задачи Неймана.

Тема 7. Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций оператора Штурма-Лиувилля. Функция Грина задачи Штурма-Лиувилля. Доказательство полноты системы собственных функций сведением к теореме Гильберта-Шмидта. Постановка и решение задачи Штурма-Леувилля; собственные функции и собственные значения оператора Штурма-Леувилля. Функция Грина задачи Штурма-Леувилля; утверждение о полноте системы собственных функций сведением к теореме Гильберта-Шмидта.