Уравнения математической физики (стр. 1 )

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики, естественных наук и информационных технологий

Кафедра математического моделирования

бельмецев Н. ф.

уравнения математической физики

Учебно-методический комплекс.

Рабочая программа для студентов направления

010800 «Механика и математическое моделирование»,

квалификация «Бакалавр»

очная форма обучения

Тюменский государственный университет

2011

Бельмецев математической физики. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 010800 «Механика и математическое моделирование», квалификация «Бакалавр», очная форма обучения. Тюмень, 2011 г., 27 стр.

Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки.

Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Уравнения математической физики [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www. *****., свободный.

Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: и. о. зав. кафедрой математического моделирования,

д. ф.-м. н., доцент

© Тюменский государственный университет, 2011.

© , 2011.

1.  Пояснительная записка

1.1.  Цели и задачи дисциплины.

Целью курса является изучение уравнений математической физики, применяемых в областях, где математическая модель описывается дифференциальными уравнениями в частных производных. Теория уравнений математической физики является одной из наиболее важных в анализе благодаря своим приложениям, охватывающим большую часть математической, как «классической», так и атомной физики, а также многие области инженерного дела и т. д.

Задачи учебного курса:

– познакомить студентов с уравнениями в частных производных и их применением;

– дать навыки применения аналитических методов математической физики;

– познакомить с современным математическим аппаратом математической физики для дальнейшего использования в приложениях.

1.2.  Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата

Дисциплина «Уравнения математической физики» может входить в цикл профессиональных дисциплин в вариативной части, а может являться продолжением курса «Дифференциальных уравнений» в базовой части цикла профессиональных дисциплин.

Для ее успешного изучения необходимы знания, приобретенные в результате освоения предшествующих дисциплин: «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения», «Комплексный анализ», «Алгебра и аналитическая геометрия», «Дифференциальная геометрия».

Освоение дисциплины «Уравнения математической физики» необходимо при последующем изучении дисциплин: «Численные методы», «Механика сплошных сред», специальных курсов, и для написания выпускной квалификационной работы.

1.3.  Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате освоения данной ООП ВПО.

В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими компетенциями:

cпособностью критически переосмысливать накопленный опыт, изменять при необходимости профиль своей профессиональной деятельности (ОК-5);

умением активно использовать базовые знания в области гуманитарных и естественных наук в профессиональной деятельности (ОК-6);

способностью приобретать новые знания, используя современные образовательные и информационные технологии (ОК-8);

способностью и готовностью использования в профессиональной деятельности фундаментальной подготовки по основам профессиональных знаний (ОК-11);

способностью к определению общих форм, закономерностей, инструментальных средств отдельной предметной области (ПК-1);

умением понять поставленную задачу (ПК-2);

умением формулировать результат (ПК-3);

умением на основе анализа увидеть и корректно сформулировать результат (ПК-5);

умением самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата (ПК-6);

умением грамотно пользоваться языком предметной области (ПК-7);

умением грамотно ориентироваться в постановках задач (ПК-8);

знанием корректных постановок классических задач (ПК-9);

пониманием корректности постановок задач (ПК-10);

способностью к самостоятельному построению алгоритма и его анализу (ПК-11);

глубокое понимание сути точности фундаметального знания (ПК-12);

глубокое способностью передавать результат проведенных физико-математических и прикладных исследований в виде конкретных рекомендаций, выраженной в терминах предметной области изучавшегося явления (ПК-15);

способностью к выделению главных смысловых аспектов в доказательствах (ПК-16);

владением методом алгоритмического моделирования при анализе постановок математических задач (ПК-19);

владением методами математического и алгоритмического моделирования при решении прикладных задач (ПК-20);

умением грамотно использовать программные комплексы при решении задач механики (ПК-21);

понимание того, что фундаментальное математическое знание является главным инструментом механики (ПК-22);

владением проблемно-задачной формой представления естественно-научных знаний (ПК-23);

владением проблемно-задачной формой представления задач механики (ПК-24);

владение методом физического моделирования при анализе пролем механики (ПК-25);

владением проблемно-задачной формой представления естественнонаучных знаний (ПК-27);

умением самостоятельно математически корректно ставить инженерно-физические задачи (ПК-28).

Глубокое понимание роли экспериментальных исследований в механике (ПК-29).

В результате освоения дисциплины обучающийся должен

● Знать:

– основные понятия теории уравнений в частных производных;

– определения и свойства математических объектов в изученной области;

– формулировки утверждений, методы их доказательства;

– возможные сферы приложения знаний в области уравнений математической физики.

● Уметь:

– решать учебные и типовые задачи в области уравнений математической физики;

– корректно ставить краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных.

● Владеть

– математическим аппаратом математической физики;

– навыками применения современных знаний в данной области.

2.  Структура и трудоемкость дисциплины

Таблица 1.

Вид учебной работы	Всего часов	Семестры
5	6
Аудиторные занятия (всего)	162	90	72
В том числе:	-	-	-
Лекции	90	54	36
Практические занятия (ПЗ)	72	36	36
Лабораторные работы (ЛР)	0	0	0
Самостоятельная работа (всего)	126	58	68
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)		зачет	зачет, экзамен
Общая трудоемкость час зач. ед.	288	148	140
14	7	7

3.  Тематический план.

Таблица 2.

Тематический план

№	Тема	недели семестра	Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.	Итого часов по теме	Из них в интерактивной форме	Итого количество баллов
Лекции	Семинарские (практические) занятия	Лабораторные занятия	Самостоятель-ная работа
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
5 семестр
	Модуль 1
1	Задача Коши для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка. Классические и обобщенные решения.	1-2	6	3	-	4	13	3	0-4
2	Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных второго порядка: уравнение колебаний струны, уравнение теплопроводности. Постановка краевых задач.	2-3	3	3	-	4	10	2	0-4
3	Линейное уравнение с частными производными второго порядка. Приведение линейного уравнения к каноническому виду в точке. Классификация линейных уравнений второго порядка.	4	3	2	-	4	9	1	0-4
4	Понятие характеристики для линейного уравнения второго порядка. Постановка задачи Коши. Теорема Коши-Ковалевской. Доказательство существования решения.	5	3	2	-	4	9	1.5	0-4
5	Задача Коши для уравнения струны, формула Даламбера. Гладкость решения в зависимости от гладкости начальных данных. Полуограниченная струна, методы четного и нечетного продолжения, условия согласования.	6	3	2	-	3	8	1.5	0-4
	Всего		18	12	-	19	49	9	0-20
	Модуль 2				-
6	Ограниченная струна. Метод Фурье. Обоснование метода Фурье для уравнения колебаний закрепленной струны.	7	3	2	-	4	9	1.5	0-4
7	Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций оператора Штурма-Лиувилля. Функция Грина задачи Штурма-Лиувилля. Доказательство полноты системы собственных функций сведением к теореме Гильберта-Шмидта.	8-9	6	4	-	4	14	4	0-4
8	Задача Коши для волнового уравнения. Энергетическое неравенство. Характеристический конус. Теорема единственности и непрерывной зависимости решений от начальных данных.	10	3	2	-	4	9	1.5	0-4
9	Строго гиперболические линейные системы уравнений в частных производных. Симметрические t-гиперболические по Фридрихсу системы первого порядка. Интеграл энергии для звуковых волн. Постановка начальных и смешанных задач для симметриических t-гиперболических систем уравнений первого прядка. Уравнение и неравенство Гамильтона-Якоби. Уравнения акустики.	11-12	6	4	-	4	14	4	0-4
10	Формула Кирхгофа решения задачи Коши для волнового уравнения в R. Распространение колебаний в R. Передний и задний фронт волны.	13	3	2	-	3	8	2	0-4
	Контрольная работа №1	-	-	-	-	-	-	-	0-20
	Всего		21	14	-	19	54	13	0-40
	Модуль 3				-
11	Метод спуска. Формула Пуассона решения задачи Коши для волнового уравнения в R. Распространение волн в R и R. Область зависимости решений от начальных данных.	14	3	2	-	4	9	1.5	0-4
12	Вывод уравнения теплопроводности. Физический смысл краевых условий. Смешанная краевая задача. Принцип максимума в цилиндре. Теорема единственности и непрерывной зависимости решения первой краевой задачи от начальных и граничных условий.	15	3	2	-	4	9	1.5	0-4
13	Постановка задачи Коши для уравнения теплопроводности. Теорема единственности в классе ограниченных в слое функций.	16	3	2	-	4	9	1	0-4
14	Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности при помощи преобразования Фурье. Обоснование формулы Пуассона в случае произвольной ограниченной непрерывной начальной функции. Гладкость решения. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных данных. Теорема Тихонова.	17	3	2	-	4	9	1.5	0-4
15	Решение смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности в случае одной пространственной переменной методом Фурье. Обоснование метода Фурье для задачи с нулевыми граничными условиями. Гладкость решения.	18	3	2	-	4	9	1.5	0-4
	Контрольная работа №2	-	-	-	-	-	-	-	0-20
	Всего		15	10	-	20	45	7	0-40
	Итого (часов, баллов):		54	36	-	58	148	-	0 – 100
	Из них в интерактивной форме		17	12	-	-	-	29	-
	Курсовая работа								0-100
6 семестр
	Модуль 1				-
16	Постановка смешанной задачи с диссипативными граничными условиями. Получение оценок решения и производных для линейных строго гиперболических систем первого порядка. Понятие об обратимых задачах.	1-2	3	2	-	4	9	1.4	0-4
17	Описание разностной схемы и разностных граничных условий. Оценка разностных отношений и компактность приближенных решений для симметрических гиперболических (по Фридрихсу) систем. Теорема существования решения смешанной задачи.	2-3	3	2	-	4	9	1.4	0-4
18	Формулы Грина. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Представление функции в виде суммы трех потенциалов.	3-5	3	3	-	4	10	2.4	0-4
19	Гармонические функции, их свойства (теорема о потоке, о бесконечной дифференцируемости). Принцип максимума. Лемма о нормальной производной.	4-6	2	3	-	5	10	1.4	0-4
20	Основные краевые задачи для уравнения Лапласа. Единственность решения задачи Дирихле в ограниченной области, условие существования решения задачи Неймана.	6-7	2	2	-	5	9	1.4	0-4
	Всего		13	12	-	22	47	8	0-20
	Модуль 2				-
21	Постановка внешних краевых задач Дирихле и Неймана. Исследование единственности.	7-8	2	3	-	4	9	1.3	0-4
22	Функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа, ее симметрия. Функция Грина шара в Rn. Обоснование формулы Пуассона.	8-9	2	3	-	4	9	1.3	0-4
23	Теорема об устранимой особенности для гармонических функций. Неравенство Харнака. Теорема Лиувилля.	9-10	2	2	-	4	8	1	0-3
24	Оценки производных гармонических функций. Теорема Лиувилля. Аналитичность гармонических функций.	10-11	3	2	-	4	9	1.3	0-3
25	Обобщенные производные в смысле Соболева. Пространство , его полнота.	12	2	2	-	4	8	1.1	0-3
26	Пространство . Неравенство Фридрихса. Нормы и скалярное произведение в и .	13	2	2	-	4	8	1	0-3
	Контрольная работа №3	-	-	-	-	-	-	-	0-20
	Всего		13	14	-	24	51	7	0-40
	Модуль 3				-
27	Обобщенная задача Дирихле для уравнения Пуассона с однородными краевыми условиями.	14	2	2	-	4	8	1.2	0-4
28	Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона вариационными методом.	15	2	2	-	4	8	1.2	0-4
29	Обобщенная задача Дирихле для уравнения Лапласа с неоднородными краевыми условиями.	16	2	2	-	4	8	1.2	0-4
30	Оператор усреднения и его свойства. Теоремы о сходимости последовательностей гармонических функций. Обобщенные гармонические функции, их регулярность.	17	2	2	-	5	9	1.2	0-4
31	Общее понятие корректной задачи математической физики. Примеры корректных и некорректных задач. Пример Адамара.	18	2	2	-	5	9	1.2	0-4
	Контрольная работа №4	-	-	-	-	-	-	-	0-20
	Всего		10	10	-	22	42	6	0-40
	Итого (часов, баллов):		36	36	-	68	140	-	0 – 100
	Из них в интерактивной форме		11	10	-			21
	Курсовая работа								0-100

Таблица 3.