1 СЕМЕСТР
Таблица 6
№ темы | Устный опрос | Письменные работы | Итого количество баллов | |||
собеседование | ответ на семинаре | реферат | ||||
Модуль 1 | ||||||
Тема 1.1. | 0-10 | 0-10 | ||||
Тема 1.2. | 0-8 | 0-2 | 0-10 | |||
Тема 1.3. | 0-10 | 0-10 | ||||
Всего | 0-28 | 0-2 | 0-30 | |||
Модуль 2 | ||||||
Тема 2.1. | 0-2 | 0-8 | 0-10 | |||
Тема 2.2. | 0-2 | 0-3 | 0-5 | |||
Тема 2.3. | 0-8 | 0-2 | 0-10 | |||
Тема 2.4. | 0-2 | 0-3 | 0-5 | |||
Всего | 0-6 | 0-6 | 0-16 | 0-2 | 0-30 | |
Модуль 3 | ||||||
Тема 3.1. | 0-2 | 0-8 | 0-10 | |||
Тема 3.2. | 0-2 | 0-8 | 0-10 | |||
Тема 3.3. | 0-2 | 0-2 | 0-6 | 0-10 | ||
Тема 3.4. | 0-2 | 0-2 | 0-6 | 0-10 | ||
Всего | 0-4 | 0-8 | 0-28 | 0-40 | ||
Итого | 0-10 | 0-14 | 0-72 | 0-4 | 0-100 |
Планирование самостоятельной работы студентов
Таблица 10
№ | Модули и темы | Виды СРС | Неделя семестр | Объем часов | Количество баллов | |
Обязательные | Дополнительные | |||||
Модуль 1 | ||||||
1.1. | Кольца и алгебры | Выполнение дом. заданий. Работа с литературой. | Подготовка сообщения на семинар | 1-2 | 4 | 0-10 |
1.2. | Нормированные алгебры | Выполнение дом. заданий. Работа с литературой. | Написание и защита реферата | 3-4 | 4 | 0-10 |
1.3. | Алгебры с инволюцией | Выполнение дом. заданий. Работа с литературой. Подготовка к контрольной работе. | 5-6 | 4 | 0-10 | |
Всего | 12 | 0-30 | ||||
Модуль 2 | ||||||
2.1. | Коммутативные нормированные алгебры | Выполнение дом. заданий. Работа с литературой. Подготовка к собеседованию. | 7-8 | 4 | 0-10 | |
2.2. | Пространство максимальных идеалов | Выполнение дом. заданий. Работа с литературой. Подготовка к устному опросу. | 9 | 2 | 0-5 | |
2.3. | Голоморфное исчисление в банаховых алгебрах | Выполнение. дом. заданий. Работа с литературой. Подготовка к контрольной работе. | Написание и защита реферата | 10-11 | 4 | 0-10 |
2.4. | Симметричные алгебры с инволюцией | Выполнение. дом. заданий. Работа с литературой. Подготовка к контрольной работе. | 12 | 2 | 0-5 | |
Всего | 12 | 0-30 | ||||
Модуль 3 | ||||||
3.1. | Групповые алгебры | Выполнение дом. заданий. Работа с литературой. Подготовка к собеседованию. | Подготовка сообщения на семинар | 13-14 | 4 | 0-10 |
3.2. | Гармонический анализ на коммутативной локально компактной группе | Выполнение дом. заданий. Работа с литературой. | 15 | 2 | 0-10 | |
3.3. | Алгебра функций с ограниченным изменением на прямой | Выполнение. дом. заданий. Работа с литературой. Подготовка к контрольной работе. | 16 | 2 | 0-10 | |
3.4. | Равномерные алгебры | Выполнение. дом. заданий. Работа с литературой. Подготовка к контрольной работе. | 17-18 | 4 | 0-10 | |
Всего | 12 | 0-40 | ||||
Итого | 36 | 0-100 |
4. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
Данная дисциплина обеспечивает чтение следующих дисциплин: Пространства Соболева, Граничные свойства аналитических функций.
5. Содержание дисциплины
Модуль 1
Тема 1.1. Кольца и алгебры
Понятие кольца. Кольца с единицей. Центр. Идеалы. Радикал. Гомоморфизм и изоморфизм колец. Регулярные представления кольца. Топологические алгебры. Топологическое присоединение единицы. Кольца с непрерывным обратным. Резольвента в кольце с непрерывным обратным. Кольца с непрерывным квазиобратным.
Тема 1.2. Нормированные алгебры
Понятие нормированной алгебры. Присоединение единицы. Радикал в нормированной алгебре. Банаховы алгебры с единицей. Резольвента в банаховой алгебре с единицей. Непрерывный гомоморфизм нормированных алгебр. Регулярные представления нормированной алгебры.
Тема 1.3. Алгебры с инволюцией
Определение и простейшие свойства алгебры с инволюцией. Положительные функционалы. Нормированные алгебры с инволюцией. Положительные функционалы в банаховой алгебре с инволюцией.
Модуль 2
Тема 2.1. Коммутативные нормированные алгебры
Факторалгебра по максимальному идеалу. Функции на максимальных идеалах, порожденные элементами алгебры. Радикал коммутативной нормированной алгебры.
Тема 2.2. Пространство максимальных идеалов
Введение топологии на множестве всех максимальных идеалов. Преобразование Гельфанда. Случай алгебры без единицы. Граница Шилова. Расширение максимальных идеалов.
Тема 2.3. Голоморфное исчисление в банаховых алгебрах
Аналитические функции элементов кольца. Совместный спектр нескольких элементов кольца. Аналитические функции нескольких элементов кольца. Разложение кольца в прямую сумму идеалов.
Тема 2.4. Симметричные алгебры с инволюцией
Понятие симметричной алгебры с инволюцией. Критерий симметричности. 
-алгебры.
Модуль 3
Тема 3.1. Групповые алгебры
Инвариантный интеграл и инвариантная мера (мера Хаара) на локально компактной группе. Определение групповой алгебры. Свойства групповой алгебры. Унитарные представления локально компактной группы и их связь с представлениями групповой алгебры.
Тема 3.2. Гармонический анализ на коммутативной локально компактной группе
Максимальные идеалы групповой алгебры коммутативной локально компактной группы. Характеры. Группа характеров. Положительно определённые функции на коммутативной группе. Теорема единственности для преобразования Фурье и достаточность множества характеров. Инвариантный интеграл на группе характеров. Формулы обращения для преобразования Фурье. Понтрягинский закон двойственности.
Тема 3.3. Алгебра функций с ограниченным изменением на прямой
Функции с ограниченным изменением на прямой. Алгебра функций скачков. Абсолютно непрерывные и дискретные максимальные идеалы алгебры 
. Сингулярные максимальные идеалы алгебры . Совершенные множества с линейно независимыми точками. Несимметричность алгебры . Общий вид максимальных идеалов алгебры .
Тема 3.4. Равномерные алгебры
Симметричные подалгебры алгебры 
и компактификации пространства 
. Вопрос о произвольных замкнутых подалгебрах алгебры . Идеалы в алгебрах с равномерной сходимостью.
6. Планы семинарских занятий
Модуль 1
Тема 1.1. Кольца и алгебры
Понятие кольца. Кольца с единицей. Центр. Идеалы. Радикал. Гомоморфизм и изоморфизм колец. Регулярные представления кольца. Топологические алгебры. Топологическое присоединение единицы. Кольца с непрерывным обратным. Резольвента в кольце с непрерывным обратным. Кольца с непрерывным квазиобратным.
Тема 1.2. Нормированные алгебры
Понятие нормированной алгебры. Присоединение единицы. Радикал в нормированной алгебре. Банаховы алгебры с единицей. Резольвента в банаховой алгебре с единицей. Непрерывный гомоморфизм нормированных алгебр. Регулярные представления нормированной алгебры.
Тема 1.3. Алгебры с инволюцией
Определение и простейшие свойства алгебры с инволюцией. Положительные функционалы. Нормированные алгебры с инволюцией. Положительные функционалы в банаховой алгебре с инволюцией.
Модуль 2
Тема 2.1. Коммутативные нормированные алгебры
Факторалгебра по максимальному идеалу. Функции на максимальных идеалах, порожденные элементами алгебры. Радикал коммутативной нормированной алгебры.
Тема 2.2. Пространство максимальных идеалов
Введение топологии на множестве всех максимальных идеалов. Преобразование Гельфанда. Случай алгебры без единицы. Граница Шилова. Расширение максимальных идеалов.
Тема 2.3. Голоморфное исчисление в банаховых алгебрах
Аналитические функции элементов кольца. Совместный спектр нескольких элементов кольца. Аналитические функции нескольких элементов кольца. Разложение кольца в прямую сумму идеалов.
Тема 2.4. Симметричные алгебры с инволюцией
Понятие симметричной алгебры с инволюцией. Критерий симметричности. -алгебры.
Модуль 3
Тема 3.1. Групповые алгебры
Инвариантный интеграл и инвариантная мера (мера Хаара) на локально компактной группе. Определение групповой алгебры. Свойства групповой алгебры. Унитарные представления локально компактной группы и их связь с представлениями групповой алгебры.
Тема 3.2. Гармонический анализ на коммутативной локально компактной группе
Максимальные идеалы групповой алгебры коммутативной локально компактной группы. Характеры. Группа характеров. Положительно определённые функции на коммутативной группе. Теорема единственности для преобразования Фурье и достаточность множества характеров. Инвариантный интеграл на группе характеров. Формулы обращения для преобразования Фурье. Понтрягинский закон двойственности.
Тема 3.3. Алгебра функций с ограниченным изменением на прямой
Функции с ограниченным изменением на прямой. Алгебра функций скачков. Абсолютно непрерывные и дискретные максимальные идеалы алгебры . Сингулярные максимальные идеалы алгебры . Совершенные множества с линейно независимыми точками. Несимметричность алгебры . Общий вид максимальных идеалов алгебры .
Тема 3.4. Равномерные алгебры
Симметричные подалгебры алгебры и компактификации пространства . Вопрос о произвольных замкнутых подалгебрах алгебры . Идеалы в алгебрах с равномерной сходимостью.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум)
Не предусмотрены учебным планом ООП.
8. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрены учебным планом ООП.
9. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
Самостоятельная работа призвана закрепит теоретические знания и практические навыки, полученные студентами на лекциях и практических занятиях, развить поставленные компетенции. Кроме того, часть времени, отпущенного на самостоятельную работу, должна быть использована на выполнение домашней работы.
Во время лекционных и практических занятий самостоятельная работа реализуется в виде решения студентами индивидуальных заданий, изучения части теоретического материала, предусмотренного учебным планом ООП.
Во внеаудиторное время студент изучает рекомендованную литературу, готовится к лекционным и практическим занятиям, собеседованиям, устным опросам, коллоквиуму и контрольным работам. При подготовке можно опираться на конспект лекций и литературу, предложенную в разделе 11 данной рабочей программы. В указанном разделе расположен список основной и дополнительной литературы, а также необходимые интернет-ресурсы. Подготовка теоретического сообщения на практическое занятие выполняется студентом самостоятельно, но по согласованию с преподавателем темы сообщения.
По дисциплине предусмотрено проведение контрольной работы. Ниже даны примерные варианты задач.
Задачи для контрольной работы
1. Пусть 
- банахова алгебра, 
. Доказать, что если элементы 
и 
обратимы в , то оба элемента 
и 
обратимы.
2. Пусть 
, 
и 
. Доказать, что 
. Показать, что, однако, 
может содержать точку 
, тогда как 
не содержит этой точки.
3. Доказать, что если элемент обратим, то 
.
4. Пусть 
- открытое множество в 
и отображения 
и 
голоморфны. Доказать, что отображение 
голоморфно.
5. Если 
- элементы некоторой банаховой алгебры, причём 
и 
, то либо 
, либо 
.
6. Доказать, что если для некоторых элементов и банаховой алгебры, то 
и 
(
- спектральный радиус).
7. Докажите, что если банахова алгебра коммутативна и полупроста, то каждая инволюция на непрерывна.
8. Показать, что элементы и всегда имеют одинаковый спектральный радиус.
9. Доказать, что полиномы плотны в полидиск-алгебре 
.
10. Пусть 
- компактное хаусдорфово пространство. Показать, что имеется естественное взаимно однозначное соответствие между замкнутыми подмножествам и компакта и замкнутыми идеалами алгебры 
.
11. Пусть 
- алгебра всех непрерывно дифференцируемых комплексных функций на отрезке 
с поточечными операциями и нормой 
. Показать, что есть полупростая коммутативная банахова алгебра. Найти пространство максимальных идеалов этой алгебры.
Примерная тематика реферативных работ
Реферат – это самостоятельная научно-исследовательская работа студента, где автор раскрывает суть исследуемой проблемы; приводит различные точки зрения, а также собственные взгляды на нее. Содержание материала должно быть логичным, изложение материала носит проблемно-поисковый характер. Следует отметить, что самостоятельный выбор студентом темы реферата или направления исследования только приветствуется. Прежде, чем выбрать тему реферата, автору необходимо выяснить свой интерес, определить, над какой проблемой он хотел бы поработать, более глубоко ее изучить и получить консультацию преподавателя.
1. Теорема двойственности Понтрягина.
2. Голоморфные функции нескольких переменных.
3. Алгебры фон Неймана.
4. Унитарные представления групп.
Критерии успешности обучения
Количественная итоговая оценка определяется как суммарная характеристика фактического уровня знаний студента (в баллах) по совокупности всех форм контроля, предусмотренных по данной дисциплине (максимум – 100 баллов).
Зачет выставляется в зависимости от набранного количества баллов в соответствие со следующей таблицей
Таблица 11
Баллы | Зачет |
0-60 | Не зачтено |
61-100 | Зачтено |
11. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
11.1. Основная литература:
1. , Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968.
2. X., Введение в абстрактный гармонический анализ, пер. с англ., М., 1956.
3. , , Коммутативные нормированные кольца, М., 1960
4. Спектральная теория, пер. с франц., М., 1972
5. , Непрерывные группы, 2 изд., М., 1954
11.2. Дополнительная литература:
1. , Равномерные алгебры, пер. с англ., М., 1973.
2. Росси X., Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969.
3. Xьюитт Э., Абстрактный гармонический анализ, пер. с англ., т. 1-2, М., 1975
4. С*-алгебры и их представления, пер. с франц., М., 1974
12. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины.
Лекционные и практические занятия проводятся в специализированных аудиториях, оснащенных мультимедийной техникой.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 |
