МОУ «СОШ № 59 с углубленным изучением отдельных предметов» г. Чебоксары

Интегрированный урок физики и математики

«Производная. Физический и геометрический смысл производной»

Преподаватели:

, учитель физики

, учитель математики

2005

Интегрированный урок физики и математики

«Производная. Физический и геометрический смысл производной»

Цели и задачи урока:

    подчеркнуть роль и практическое значение производной при решении задач по математике и физике; привить навыки применения производной при решении задач; использовать межпредметные связи, осуществить перенос знаний с одного учебного предмета на другой; создать у учащихся необходимую базу для выбора нужного подхода к решению математических и физических задач.

Ход урока.

1.Учитель математики начинает урок.

Исторически сложилось так, что основы дифференциального исчисления развивали немецкий математик Лейбниц и английский физик Ньютон. Каждый, решая свои задачи, пришел к необходимости введения производной.

На этом уроке мы рассмотрим физический смысл производной, ее применение в физике.

Вспомним определение производной:

2.Учитель физики продолжает.

В физике производная функции используется очень часто. Но в школьном курсе физики, мы, к сожалению, о ее существовании узнаем только в 11-м классе. А ведь уже в 9-ом классе имеем дело с такими понятиями как мгновенная скорость, ускорение, мгновенная мощность.

Затем учитель разъясняет физический смысл производной по своим опорным схемам.

Прямолинейное равномерное движение

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Вопросы учащимся: 1) какую физическую величину называют скоростью? 2) что называют мгновенной скоростью?

Неравномерное движение

Cкорость – быстрота движения
 

x
 

Механическая работа и мощность.

Сила тока. Электрическая мощность.

3. Учитель математики:2

Решим несколько прикладных задач из учебника «Алгебра и начала анализа» под ред. (задачи решаются учащимися совместно с учителями математики и физики)

№ 000

№ 000.

№ 000

q(t) = 3t2 – 2t

2

3-3t2+1

2-6t

V=0, т. е. 3t2-6t=0

3t(t-2)=0

t1=0 c,t2= 2 c

Дано:
 
Дополнительно рассматривается задача № 000.

4. Учитель математики:

Честь открытия основных законов математического анализа наравне с Исааком Ньютоном принадлежит немецкому математику Готфриду Лейбницу. К этим законам Лейбниц пришел, решая задачу проведения касательной к произвольной кривой.

Чтобы составить наглядное представление о том, как провести касательную к кривой, надо вообразить, что к кривой, изготовленной из жесткого материала, вы приставляете линейку так, чтобы она коснулась этой кривой в выбранной точке.

.Пусть дана некоторая кривая и точка Р на ней. Возьмем на этой кривой другую точку Р1 и проведем прямую через точки Р и Р1. Эту прямую обычно называют секущей. Станем приближать точку Р1 к Р.

Р1
 

Р
 
Положение секущей РР1 будет меняться, но с приближением Р1 к Р начинает стабилизироваться. Предельное положение секущей РР1 при стремлении точки Р1 к точке Р будет касательной к кривой в точке Р.

Рис. 2
 
Перейдем на язык формул. Пусть кривая является графиком функции y=f(x), а точка Р имеет координаты (x0;f(x0)) и точка Р1 –

(). Чтобы построить некоторую прямую, достаточно найти ее угловой коэффициент k – тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси OX (см. рис. 3). Найдем сначала угловой к-т k секущей РР1:

. Для нахождения углового коэффициента необходимо условие: . . Следовательно, геометрический смысл производной – это тангенс угла наклона к положительному направлению оси Ox. Т. к. прямая y=kx+b проходит через точку Р(x0;f(x0)), то f(x0)=kx0+b, т. е. b=f(x0) –kx0.
 

Рис.3
 

Значит, уравнение касательной

Пример. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке x0=2.

Решение. ;

Для закрепления решим несколько задач из учебника Алгебра и начала анализа» под ред. .

№ 000.

№ 000

Даны функции:. Найдем абсциссы точек пересечения:

а)

б)

а)

б)

5. Учитель физики:

Рассмотрим движение тела по окружности.

Рис. 4
 

Для закрепления решим задачу № 000

Учитель физики:

Одной из основных задач урока являлось выяснение физического смысла производной.

Производная есть скорость, т. е. быстрота изменения какой-либо физической величины с течением времени

Учитель математики:

Второй важной задачей урока было выяснение геометрического смысла производной.

Производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке. Уравнение касательной:

Общий итог урока.

Математика – аппарат для более глубокого понимания физических законов.

Домашнее задание: № 47, № 50, стр. 121 учебника «Алгебра и начала анализа» под ред. Башмакова.