Министерство образования и науки Российской Федерации
Московская финансово-юридическая академия
Учебно-методический комплекс по дисциплине
«Алгебра и геометрия»
Часть I
Программа курса
Москва 2005
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ:
Учебная программа курса по специальностям 351400- Прикладная информатика в экономике и 075300 Организация и технология защиты информации.
Утверждено на заседании кафедры математических и естественно – научных дисциплин МФЮА
( протокол №_________ от___________________________ )
Составители:
· зав. каф., к. ф.-м. н., доц.
· к. т.н., доц.
· ст. преподаватель
Учебная программа разработана в соответствии с требованиями Государственных стандартов ВПО по специальностям "Прикладная информатика в экономике” и “Организация и технология защиты информации”, а также в соответствии с принятой в МФЮА методологией образовательной деятельности.
МФЮА, 2005
СОДЕРЖАНИЕ
1. Цели и задачи дисциплины…………………………………………………………4
2. Тематическое содержание дисциплины……………………………………………5
3. Вопросы для самопроверки…………………………………………………………6
4. Примеры решения задач…………………………………………………………….8
5. Список литературы……….…………………………………………………………10
1. Цели и задачи дисциплины
1. Место курса в профессиональной подготовке выпускника. Требования ГОС ВПО.
Курс «Алгебра и геометрия» является первой частью курса математики для специальностей «Прикладная информатика в экономике» и «Организация и технология защиты информации», относится к федеральному компоненту цикла «Общие математические и естественно-научные дисциплины» и изучается в 1-м семестре.
В соответствии с требованиями ГОС ВПО по указанным специальностям курс «Алгебра и геометрия» включает элементы комбинаторики; основные алгебраические структуры: полугруппы, группы, кольца, поля и их простейшие свойства; операции над матрицами; элементарные преобразования матриц; определители матриц; обратимые матрицы; ранг матрицы над полем; система линейных уравнений над полем; делимость и деление с остатком в кольце целых чисел; основную теорему арифметики; кольца вычетов; уравнения в кольце вычетов и сравнения; кольцо многочленов; каноническое разложение многочлена; свойства элементов группы, подгруппы группы; разложение группы в смежные классы; группы подстановок; векторное пространство; конечномерные векторные пространства; подпространства; линейные преобразования векторных пространств; векторную. алгебру; системы координат на плоскости и в пространстве; прямую линию на плоскости; кривые второго порядка на плоскости; прямую линию и плоскость в пространстве; поверхности второго порядка.
Настоящая программа составлена в соответствии с требованиями стандартов, а также с учетом дальнейшего изучения математических дисциплин для специальности «Организация и технология защиты информации» - в рамках курсов «Математический анализ», «Дискретная математика», «Математические основы защиты информации», «Криптографические методы защиты информации», а для специальности «Прикладная информатика в экономике» - в рамках курсов «Математический анализ», «Дискретная математика и теория нечетких множеств», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Математическая экономика», «Эконометрика».
2 .Цель и задачи курса.
Целью курса является освоение студентами аппарата аналитической геометрии, линейной алгебры, алгебраических структур и числовых множеств для анализа и моделирования реальных процессов в условиях профессиональной деятельности.
Задачи курса состоят в том, чтобы сформировать у студентов научное мировоззрение, развить логическое мышление, обучить решению математических задач и количественному анализу различных процессов с помощью математических инструментов.
3.Требования к уровню освоения содержания курса
В результате изучения курса каждый студент должен
Знать: Теоретический курс в объеме программы (основные понятия, определения), теоремы (без доказательства) и их следствия, алгоритмы решения задач.
Уметь: Решать задачи с использованием теоретического материала, самостоятельно пользоваться справочными пособиями при решении прикладных (в том числе экономических) задач.
2. Тематическое содержание дисциплины
Раздел 1. Аналитическая геометрия.
Тема 1.1 Векторный анализ и аналитическая геометрия на плоскости.
Системы координат на плоскости. Векторы и линейные операции над ними. Проекция вектора на ось. Разложение вектора на компоненты. Скалярное произведение векторов, его свойства, физический и геометрический смысл. Преобразование координат вектора при повороте системы координат. Основные задачи аналитической геометрии. Прямая линия на плоскости. Направляющий вектор. Общее уравнение прямой, различные формы уравнения прямой. Параллельность и перпендикулярность прямых. Уравнение окружности. Основные задачи на прямую и окружность. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Канонические уравнения кривых второго порядка.
Тема 1.2 Векторный анализ и аналитическая геометрия в пространстве.
Векторы в пространстве. Векторное произведение векторов, его свойства, физический и геометрический смысл. Смешанное произведение трех векторов, его свойства и геометрический смысл. Уравнение плоскости. Уравнение прямой в пространстве. Уравнение сферы. Основные задачи на плоскость, сферу и прямую в пространстве. Поверхности второго порядка. Канонические уравнения кривых второго порядка.
Раздел 2. Линейная алгебра.
Тема 2.1 Матрицы и детерминанты.
Обобщение понятия "вектор". Векторы-столбцы и векторы-строки. Матрицы. Произведение строки на столбец. Произведение матрицы на столбец. Произведение матриц. Свойства линейных операций над матрицами. Определитель (детерминант) матрицы. Свойства детерминанта. Способы вычисления детерминанта. Вычисление детерминанта раскрытием по строке (столбцу). Единичная матрица. Обратная матрица. Вычисление элементов обратной матрицы. Вырожденная матрица. Ранг матрицы.
Тема 2.2 Системы линейных алгебраических уравнений.
Связь матриц с системами линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Матрица и расширенная матрица СЛАУ. Вырожденные и невырожденные СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли. Решение невырожденной СЛАУобращением матрицы. Решение невырожденной СЛАУ методом Крамера. Решение вырожденных СЛАУ.. Однородные СЛАУ.
Раздел 3. Алгебраические структуры и числовые множества.
Тема 3.1. Элементы теории множеств.
Понятие множества. Точечные и числовые множества. Основные операции над множествами. Декартово произведение множеств. Соответствие между множествами. Мощность множества.
Тема 3.2. Алгебраические структуры.
Алгебраические операции на множестве. Свойства операций. Группа, кольцо, поле. Кольцо вычетов. Кольцо многочленов. Каноническое разложение многочлена. Свойства элементов группы. Разложение группы в смежные классы. Группы подстановок.
Тема 3.3. Числовые множества. Комплексные числа.
Натуральные числа. Кольцо целых чисел. Поле рациональных чисел. Поле действительных чисел. Определение комплексного числа. Поле комплексных чисел. Алгебраические операции с комплексными числами. Модуль и аргумент комплексного числа. Геометрическое представление комплексных чисел. Формула Эйлера. Понятие о функции комплексного переменного.
3. вопросы Для самоПРОВЕРКИ.
. Тема 1.1 Векторный анализ и аналитическая геометрия на плоскости.
Дать определение и обозначение вектора. Когда векторы коллинеарны, компланарны, равны? Изложить основные свойства линейных операций над векторами. Что называется проекцией вектора на ось? Записать формулы для определения проекций вектора на оси системы координат. Дать определение скалярного произведения векторов. Перечислить свойства скалярного произведения. Записать формулу скалярного произведения в координатной форме. Записать формулу для определения угла между векторами. Записать общее уравнение прямой. Записать нормальное уравнение прямой, уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой в отрезках. Объяснить методику перехода от общего уравнения к другим видам уравнений. Записать формулы основных задач на прямую на плоскости. Записать канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы. Указать характерные линии и точки кривых второго порядка. Объяснить методику построения эллипса, гиперболы и параболы.Тема 1.2 Векторный анализ и аналитическая геометрия в пространстве.
1. Дать определения векторного произведения двух векторов.
2. Чему равно векторное произведение одноименных и разноименных
ортов?
3. Записать формулу векторного произведения в координатной форме.
4. Записать формулу для определения площади параллелограмма, треугольника.
5. Дать определение смешанного произведения трех векторов.
6. Записать формулу смешанного произведения в координатной форме.
7. Записать и объяснить различные варианты общих уравнений плоскости.
8. Записать уравнения плоскости в отрезках на осях, с угловым коэффициентом.
9. Записать формулы основных задач на плоскость.
10. Записать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве.
11. Составить уравнение плоскости по заданному нормальному вектору и заданной точке.
12. Составить уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки.
13. Сформулировать и решить задачу о пересечении заданной прямой с заданной плоскостью.
Тема 2.1 Матрицы и детерминанты.
Что такое вектор-столбец, вектор-строка, прямоугольная матрица, квадратная матрица? Что является результатом умножения строки на столбец? При каких условиях такое произведение определено? Что является результатом умножения столбца на строку? При каких условиях можно перемножить две матрицы? Что является результатом произведения двух квадратных матриц? Какие операции над матрицей называются элементарными? Что такое транспонирование матрицы? Описать метод Гаусса приведения матрицы к треугольному виду. Дать определение детерминанта (определителя) n-го порядка. Сформулировать основные свойства детерминантов. Дать определение минору и алгебраическому дополнению элемента матрицы. Что такое единичная матрица? Дать определение обратной матрице. При каком условии можно обратить матрицу? Сформулировать алгоритм обращения матрицы. Дать определение ранга матрицы.Тема 2.2. Системы линейных алгебраических уравнений.
Что такое система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)? Что называется решением системы линейных уравнений? Как записать СЛАУ в матричной форме. Что такое вырожденные и невырожденные СЛАУ? Записать решение невырожденной СЛАУ в матричной форме. Сформулировать теорему Кронекера-Капелли. Привести примеры СЛАУ, имеющих единственное решение, имеющих бесконечно много решений, не имеющих решений. Сформулировать теорему и доказать теорему Крамера. Изложить алгоритм решения вырожденной СЛАУ.Тема3.1 Элементы теории множеств
Сформулировать понятие множества. Привести примеры. Дать понятия числовых и точечных множеств. Привести примеры. Изложить основные способы задания и обозначения множеств. Дать определения основных операций над множествами. Дать определения соответствия между множествами. Сформулировать понятие и мощности множества.Тема3.2 Алгебраические структуры.
Что такое алгебраическая операция на множестве? Дать определение кольца и поля. Привести примеры. Что такое кольцо вычетов? Что такое кольцо многочленов? Дать определение группы. Привести примеры. Что такое разложение группы?Тема 3.3. Числовые множества.
1. Доказать, что целые числа образуют кольцо.
Доказать, что рациональные числа образуют поле. Доказать, что действительные числа образуют поле. Дать определение комплексного числа. Записать комплексное число в алгебраической и в тригонометрической формах. Что такое модуль и аргумент комплексного числа? Дать геометрическую интерпретацию комплексного числа. Что такое комплексно-сопряженное число? Сформулировать правила сложения, умножения, деления комплексных чисел. Сформулировать правила возведения комплексного числа в степени и извлечения из него корня. Сколько комплексных корней имеет многочлен n-й степени? Приведите примеры для n=2.4. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ.
1. Операции с векторами на плоскости.
Даны векторы 
и 
. Найти:
1.1. длины этих векторов;
1.2. 
;
1.3. скалярное произведение данных векторов и угол между ними.
2. Операции с векторами в пространстве
Даны векторы 
и 
. Найти:
2.1. длины этих векторов;
2.2. 
;
2.3. скалярное произведение данных векторов и угол между ними.
3. Векторное и смешанное произведение векторов.
3.1. Определить объём параллелепипеда, построенного на векторах 
(1;0;1), 
(4;-1;-1), 
(1;0;1).
4. Прямые и окружности на плоскости.
4.1. Составить уравнение прямой, представленной на рисунке.
4.2. Определить угловой коэффициент "k" и величину отрезка "b", отсекаемого прямой 
на оси OY.
4.3. Даны уравнения прямых:
а) x+y+1=0; б) x+y=0; в) 2·x+y+2=0; г) y=2·x
Какие из заданных прямых параллельны?
4.4. Составить уравнение прямой, если известно, что прямая проходит через точку М(1;1) и имеет угловой коэффициент к=1.
4.5. Найти длину отрезка, заключенного между точками пересечения прямой
3у+4х-12=0 с осями координат.
4.6. Определить угол между прямыми х–2у–2=0 и у=–2 х+3.
4.7. Составить уравнение прямой, проходящей через точки 
и 
.
4.8. Определить, с какими из прямых а) у=3; б) у=-х; в) х=5; г) у=2х пересекается окружность х2 +у2=25.
4.9. Определить координаты центра и радиус окружности х2 +у2 –4х+8у–16=0.
4.10. Составить уравнение окружности, проходящей через точку М(-1;1) и центр которой лежит в точке С(-4;5).
4.11. Определить координаты центра окружности, заданной уравнением 
.
4.12. Составить уравнение касательной к окружности 
в точке (3;–1).
4.13. Составить каноническое уравнение окружности, представленной на рисунке.
5. Кривые второго порядка .
5.1. Определить координаты фокусов эллипса 25x2+9y2=900.
5.2. Определить координаты фокуса и уравнение директрисы параболы х2 =4у.
5.3. Определить, какая кривая задается уравнением:
· 
;
· 
;
· 
;
· 
.
6. Прямые, плоскости и сферы.
6.1. Определить, какое из уравнений а) 2x-3y+z+1=0; б) x+2y-6=0; в) x+3y=0 определяет плоскость, параллельную оси OZ.
6.2. Найти координаты нормального вектора к плоскости 2·x-3·y+z-6=0.
6.3. Определить взаимное расположение прямых 
и 
.
7. Поверхности второго порядка.
7.1. Определить, какая поверхность задаётся уравнением
· 
;
· 
;
· 
.
8. Определители (детерминанты).
Вычислить определители:
8.1. 
;
8.2. 
;
8.3. 
.
9. Операции с квадратными матрицами.
Даны матрицы: 
и 
. Найти:
9.1. 5А – В;
9.2. 3Аt – 2B;
9.3. АВ.
10. Операции с прямоугольными матрицами
10.1. Даны матрицы А=
и В=
. Найти их произведение.
11. Ранг матрицы. Расширенная матрица системы уравнений. Частные определители.
11.1. Определить ранг матрицы 
;
11.2. Вычислить частные определители системы 
.
12. Обратные матрицы.
12.1. Найти обратную матрицу для матрицы 
.
13. Системы линейных алгебраических уравнений
13.1. Решить систему 
методом Крамера.
14. Элементы теории множеств.
14.1. ; Определить результаты операций 
, если 
14.2. . Пусть А – множество натуральных чисел, кратных 2; В – множество натуральных чисел кратных 3. Найти АÈВ, АÇВ, А\В, В\А.
14.3. Пусть А – множество точек круга единичного радиуса с центром в начале координат; В – множество всех точек координатной плоскости. Изобразить множества АÈВ, АÇВ, А\В, В\А
14.4. Сравнить мощность множества четных натуральных чисел с мощностью множества целых чисел, больших -100000.
15. Алгебраические структуры.
15.1. Выяснить, составляет ли группу множество положительных и отрицательных чисел, кратных трем с заданной операцией сложения по обычным правилам.
15.2. Выяснить, составляет ли Абелеву группу множество невырожденных матриц 3х3 с заданной операцией умножения.
15.3. Составляет ли множество векторов в пространстве с заданными операциями сложения и векторного умножения кольцо? Составляет ли это множество поле? Почему?
16. Комплексные числа.
16.1. найти все значения
16.2. записать в алгебраической и в тригонометрической формах значения выражения 
16.3. найти все решения уравнения 
5. СПИСОК литературЫ.
Основная:
1. Письменный лекций по высшей математике: Полный курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 20с.: ил. –(Высшее образование).
2. Дорофеева математика. Гуманитарные специальности: Учеб. Пособие для вузов.- 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Дрофа, 2003. – 384 с.: ил.
3. , , Сальников математика / под ред. . – 3-е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 368 с. – (Решебник) – ISBN -1.
4. и др. Высшая математика для экономистов. Учебник, ЮНИТИ, М.,2002г.
5. Щипачев по высшей математике. учебное пособие. Высшая школа, М.,1997.
Дополнительная:
1. Рябенький в вычислительную математику. Физматлит. М.,2000.
2. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х томах. Высшая школа, М.,1997.
3. и др. Общий курс высшей математики для экономистов. учебник, ИНФРА-М, М.,2000г.
4. и др. Математика в экономике. часть 1,2,3. учебник, “финансы и статистика”, М.,г. г.
5. , Чупрынов математики и ее приложения в экономическом образовании (учебник для экономистов ). Дело, М.,2001.
6. Малыхин в экономике. (учебное пособие ).ИНФРА-М. М.,2002.
7. Ермаков задач по высшей математике для экономистов (учебное пособие ) ИНФРА-М. М.,2002.
