Математический анализ (стр. 12 )

ЗАДАЧА 5

41 – 50. Дана однородная система линейных уравнений:

41.	X1 + 2X2 + X3 – 2X4 + X5= 0, 3X1 + 4X2 – 2X3 – X4 + 3X5= 0	42.	2X1 + 3X2 – 7X3 + 2X4 + X5= 0, –X1 + X2 – 2X3 – X4 + 3X5= 0
43.	2X1 + 3X2 – 7X3 + 2X4 + X5= 0, –X1 + X2 – 2X3 – X4 + 3X5= 0	44.	X1 + 7X2 + X3 – 2X4 + 11X5= 0, 3X1 + 4X2 – 6X3 – X4 – 3X5= 0
45.	7X1 + X2 + 5X3 – 2X4 + X5= 0, X1 + X2 – 4X3 – X4 + 2X5= 0	46.	3X1 + 8X2 – 7X3 + 5X4 + X5= 0, –2X1 + X2 + 4X3 – X4 + 3X5= 0
47.	X1 + 4X2 – X3 – 2X4 + 6X5= 0, 3X1 + 4X2 – 8X3 – X4 – 5X5= 0	48.	X1 + 3X2 – X3 – 5X4 + X5= 0, –2X1 + 9X2 – 2X3 – X4 + 2X5= 0
49.	4X1 + X2 + X3 – 2X4 + 14X5= 0, X1 + 3X2 – 2X3 – X4 + X5= 0	50.	2X1 + 7X2 –3X3 + 2X4 + X5= 0, –3X1 + X2 – X3 – X4 + 2X5= 0

Уровень I

Найти общее решение и два частных решения однородной системы линейных уравнений.

Уровень II

Найти общее решение, общее решение в векторной форме и фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений.

Уровень III

Дана однородная система линейных уравнений. Найти общее решение и фундаментальный набор решений данной однородной системы линейных уравнений.

41.		42.
43.		44.
45.		46.
47.		48.
49.		50.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

Для выполнения контрольной работы №1 студент должен освоить следующие темы рабочей программы:

III. Векторная алгебра. Элементы аналитической геометрии.

IV. Линейные пространства.

ЗАДАЧА 1

51–60. Даны вершины А1(х1, у1, z1), А2(х2, у2, z2), А2(х3, у3, z3), А4(х4, у4, z4) пирамиды:

51.	А1(3, –2,8),	А2(–1,3,2),	А3(2,0, –1),	А4(4, –2,3).
52.	А1(2, –1,8),	А2(3,4,4),	А3(2, –1,2),	А4(6, –1,1).
53.	А1(8,5,0),	А2(–3,7, –5),	А3(–4,1,3),	А4(–2,1, –4).
54.	А1(0,1, –1),	А2(3, –4,4),	А3(6, –5,3),	А4(5,2, –1).
55.	А1(3,2, –3),	А2(3, –1, –1),	А3(0,2, –2),	А4(1, –2,3).
56.	А1(0,6, –1),	А2(3,0,5),	А3(4, –1,0),	А4(2,1, –4).
57.	А1(2, –3,2),	А2(0,5,4),	А3(5,6,1),	А4(–2, –2,3).
58.	А1(6, –2,0),	А2(6,2, –1),	А3(2, –1,4),	А4(–2,7,4).
59.	А1(1,4, –2),	А2(–3,0,3),	А3(8,0,1),	А4(1, –4,3).
60.	А1(1,8,2),	А2(4, –1,2),	А3(–1,5,3),	А4(3,3, –3).

Уровень I

Построить пирамиду в декартовой ортонормированной системе координат и найти:

1) длину ребра А1А2;

2) угол между ребрами А1А2 и А1А4;

3) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.

Уровень II

Построить пирамиду в декартовой ортонормированной системе координат и найти:

1) длину ребра А1А2;

2) угол между ребрами А1А2 и А1А4;

3) уравнение грани А1А2А3 и ее площадь;

4) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.

Уровень III

Построить пирамиду в декартовой ортонормированной системе координат и найти:

1) Вектор А4М, где М – центр тяжести основания А1А2А3 пирамиды;

2) Проекцию вектора А4М и А1А4;

3) Угол между векторами А4М и А4N, где А4N – медиана грани А1А3А4;

4) Длину медианы А4N.

ЗАДАЧА 2

61 – 70. Составить и привести к канонической форме уравнение множества точек, для каждой из которых выполняется заданное условие. Сделать рисунок.

Уровень I

61 – 65. Квадрат расстояния до точки А равен квадрату расстояния до оси абсцисс.

61. А (0,1)

62. А (0,2)

63. А (0,-1)

64. А (0,-2)

65. А (0,3)

66 – 70. Квадрат расстояния до точки А равен квадрату расстояния до оси ординат.

66. А (1,0)

67. А (2,0)

68. А (-1,0)

69. А (-2,0)

70. А (3,0)

Уровень II

61. Сумма квадратов расстояний до точек А(1,1) и В (–3,3) равна 20.

62.Сумма квадратов расстояний до точек А(3,0), В(0,4) и
С (–1, –1) равна 28.

63. Сумма квадратов расстояний до точек А(3,–3), В(–1,1),
С(–1,0) и D(2, –4) равна 58.

64. Квадрат расстояния до точки А(0,3) на 3 больше квадрата расстояния до оси абсцисс.

65. Сумма расстояний до точек А(6,0) и О (0,0) равна 10.

66. Квадрат расстояния до точки А(2,0) на 16 больше квадрата расстояния до оси координат.

67. Сумма квадратов расстояний до сторон прямоугольника, образованного прямыми х = 0, у = 0, х – 4 = 0, у – 2 = 0, равна 20.

68. Квадрат расстояния до точки А(0,2) на 3 больше квадрата расстояния до оси абсцисс.

69. Разность расстояний до точек А(0,10) и О(0,0) равна 8.

70. Квадрат расстояния до точки А(3,0) на 16 больше квадрата расстояния до оси координат.

Уровень III

Привести к канонической форме указанные уравнения кривых второго порядка, определить тип кривой, сделать чертеж.

Найти координаты фокуса кривой, составить уравнения директрис.

В случае эллипса или гиперболы найти центр кривой, ее полуоси, эксцентриситет. В случае гиперболы составить уравнения ее асимптот. В случае параболы найти координаты ее вершины и параметр p.

61. 5X2 + 9Y2 – 30X + 18Y + 9 = 0.

62. 16X2 + 25Y2 + 32X – 100Y – 284 = 0.

63. 4X2 + 3Y2 – 8X + 12Y – 32 = 0.

64. 16X2 – 9Y2 – 64X – 54Y – 161 = 0.

65. 9X2 – 16Y2 + 90X + 32Y – 367 = 0.

66. 16X2 – 9Y2 – 64X – 18Y + 199 = 0.

67. 4X2 – 8X – Y + 7 = 0.

68. X2 – 12X + 6Y – 42 = 0.

69. 2Y2 – 12Y – X + 14 = 0.

70. 9X2 + 25Y2 – 18X + 100Y – 116 = 0.

ЗАДАЧА 3

71 – 80. Уровень I

Выяснить, образует ли данная система векторов базис.

71. a (1, 2, 3), b (4,-3, 1), c (2, -5, 2);

72. a (-7, 5, 19), b (-5, 7, -7), c (-8, 7, 14);

73. a (1, -2, 1), b (4, 5, 1), c (2, -2, 2);

74. a (1, 2, 3), b (4, 5, 6), c (7, 8, 9);

75. a (0, 1, 1), b (4, 3, 1), c (2, -2, 2);

76. a (1, -1, 1), b (2,-2, 2), c (2, -3, 3);

77. a (4, 2, 1), b (4, 3, 1), c (0, 3, 2);

78. a (1, -2, 3), b (-4, 5, 1), c (3, -3, 3);

79. a (1, 2, 3), b (2,-1, 1), c (1, 3, 4);

80. a (0, 1, -1), b (4, 5, 1), c (2, -1, 0).

71 – 80. Уровень II

Даны векторы ,,, в некотором базисе. Показать, что векторы ,, образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Систему линейных уравнений решить методом Крамера.

71.	(7,3,0),	(4,1,1),	(–7,1,12),	(–1,5,10).
72.	(2,0,3),	(–9,2,10),	(–4,2,10),	(–1, –2, –10).
73.	(1,2,2),	(5, –2, –7),	(0,5, –1),	(–2,6, –6).
74.	(–2,3,1),	(2,6,7),	(4, –1,0),	(6, –3, –5).
75.	(1,3,1),	(1, –8,2),	(0, –5,3),	(3, –8,2).
76.	(2,5, –1),	(–1,2, –6),	(–2,1,1),	(–11, –5, –1).
77.	(–1,4,3),	(5,0,1),	(–1,4,4),	(–7,8,7).
78.	(3,3,2),	(1,2,3),	(1, –1,4),	(4, –1,7).
79.	(–2, –1,1),	(2,3,0),	(–4,2,3),	(–10, –9,3).
80.	(1,5,1),	(–2,5,4),	(3, –1,2),	(4,19,9).