Последовательная параметризация управляющих воздействий и Полубесконечная оптимизация алгоритмов управления технологическими объектами с распределенными параметрами (стр. 3 )

(28)

(29)

на минимум функции конечного числа S переменных , с бесконечным числом ограничений для всех , записываемых в форме одного условия (29). Задача (28), (29) не содержит сопряженных переменных и отыскание её экстремалей не связано с наиболее сложной процедурой решения П-системы принципа максимума.

Решение достаточно широкого круга ЗПО вида (28), (29) с учетом правила (23) относительно всех характеристик оптимального процесса, включая число и величины , составляющих вектора параметров , однозначно определяющего искомые управляющие воздействия, а также априори неизвестные значения минимаксов при в (29), может быть получено в условиях малостеснительных ограничений альтернансным методом.

Метод базируется на специальных альтернансных свойствах вектора оптимальных решений ЗПО (28), (29), являющихся аналогом известных условий экстремума в теории нелинейных чебышевских приближений, и дополнительной информации о конфигурации пространственного распределения результирующего состояния управляемой величины, диктуемой закономерностями предметной области конкретной рассматриваемой задачи.

Согласно альтернансным свойствам, равные допустимой величине одинаковые значения максимальных отклонений достигаются в некоторых точках на отрезке , общее число которых оказывается равным числу искомых неизвестных в ЗПО (28), (29). Последующая редукция данных равенств на основании дополнительных сведений о форме кривых на к соответствующей системе уравнений относительно этих неизвестных, конструируемой по определенной совокупности правил, и последующее ее решение известными и проблемно-ориентированными численными методами исчерпывают решение исходной ЗОУ ТОРП.

В диссертации предложена и подробно описана регулярная процедура построения вычислительных алгоритмов точного решения достаточно широкого круга задач оптимизации ТОРП в рассматриваемой постановке, базирующаяся на полученных результатах общего характера (рис. 3). Рекомендуемая методика предполагает обязательное использование основных закономерностей предметной области и распространяется в последующих разделах диссертации на целый ряд прикладных задач оптимизации с сосредоточенными, пространственно-распределенными и пространственно-временными

управляющими воздействиями более сложных объектов с распределенными параметрами по сравнению с их типовыми моделями (рис. 4).

В третьей главе представлены результаты эффективного применения предлагаемого точного метода решения краевых задач оптимального управления ТОРП применительно к широкому кругу актуальных задач оптимизации процессов технологической теплофизики, характерных для целого ряда типичных технологий термической обработки металлических полуфабрикатов перед последующими операциями пластической деформации.

Полученные в работе результаты являются новыми, обладают рядом преимуществ перед известными в силу обоснованных в главе 2 общих преимуществ предлагаемого подхода, представляют самостоятельный интерес в соответствующих предметных областях и базируются на фундаментальных закономерностях нестационарных температурных полей, моделирующих поведение реальных промышленных объектов.

Из анализа решенных в диссертации задач следует, что разработанный метод обеспечивает точную редукцию исследуемых ЗОУ к конечномерным экстремальным задачам невысокой размерности, что, в свою очередь, приводит к искомым управляющим воздействиям сравнительно просто реализуемой структуры и резко упрощает технологию вычислительных процедур по их параметрическому синтезу.

В §3.1 общая методология применяется для решения типовой модельной задачи минимизации эффекта термохимических взаимодействий при нагреве металлических заготовок под обработку давлением, затраты на которые (в первую очередь, потери металла в окалину) являются одной из главных статей себестоимости производства конечной продукции технологических комплексов “нагрев – обработка давлением”.

В целях получения приемлемых на практике инженерных решений задача минимизации потерь на термохимические взаимодействия формулируется в диссертации применительно к линейному одномерному неоднородному уравнению теплопроводности в относительных единицах вида (1), (2) с краевыми условиями третьего рода при , , в (3), позволяющему моделировать температурное поле заготовки цилиндрической формы, изменяющееся в процессе нагрева по радиальной координате и во времени с последующим переходом к модели вида (10) путем разложения в ряд по собственным функциям Бесселя нулевого порядка. Требования к конечному температурному состоянию, максимально согласующиеся с реальными технологическими инструкциями, могут быть описаны применительно к базовой модели объекта в форме условия вида (9) достижения с допустимой погрешностью равномерного распределения температуры в конце процесса нагрева при . Величина потерь металла в окалину в процессе индукционного нагрева описывается интегральным функционалом со свободным временем процесса , где подынтегральная функция представляется заданной нелинейной степенной зависимостью от температуры поверхности нагреваемого тела. В работе найдена структура алгоритма программного оптимального управления по суммарной удельной мощности внутреннего тепловыделения , произведена его - параметризация. Для типичного случая построена регулярная вычислительная процедура последующего отображения вектора на множество параметров во временной области определения управляющих воздействий и двухпараметрического представления оптимальной программы изменения во времени мощности нагрева, состоящей из интервала нагрева с максимально допустимой мощностью и интервала особого управления, вычисляемого с требуемой точностью (рисунок 5,а). В роли искомых параметров и выступают при этом момент выхода на особый участок и длительность процесса оптимального управления. Далее производится редукция исходной ЗОУ к задаче полубесконечной оптимизации вида (28), (29) и её решение относительно , с помощью альтернансного метода, базирующееся на априори опознаваемой форме кривой пространственного распределения управляемой величины в конце оптимального процесса (рисунок 5,б). Приводятся результаты решения задачи для случая нагрева стальных или титановых заготовок до температур порядка токами промышленной частоты.

а

б

Рисунок 5 – Алгоритм двухпараметрического оптимального управления,
минимизирующего потери металла в окалину (а), и распределение температуры в конце оптимального процесса (б).

В §3.2 предложенный метод решения краевых ЗОУ ТОРП используется в задаче двухканальной оптимизации по быстродействию процесса индукционного нагрева металлических полуфабрикатов перед обработкой давлением до заданной температуры с требуемой точностью с одновременным управлением по мощности источника питания и частоте питающего тока .

Показано, что данная задача сводится к управлению S-мерной подсистемой S первых уравнений вида (10) для температурных мод в силу выполнения в рассматриваемом случае условий (24), (25). В типичном случае в (9) при , согласно правилу (23), стандартная процедура принципа максимума для усеченной модели СРП второго порядка определяет на множестве двух параметров следующее -параметрическое представление искомых программных управлений, стесняемых ограничениями ; :

, (30)

где А, В, m – известные константы, и моменты времени и связываются условиями непрерывности с величинами соотношениями

, (31)

которые можно рассматривать как правила отображения при переходе к -параметрическому представлению алгоритмов оптимального управления на множестве параметров , непосредственно характеризующих поведение управляющих воздействий во времени.

Дальнейшая проблема сводится к определению оптимальных значений параметров, исходя из предъявляемых требований достижения за минимально возможное время заданной точности нагрева . Альтернансный метод решения этой задачи предусматривает на первом этапе редукцию рассматриваемой ЗОУ к задаче полубесконечной оптимизации

(32)

где - радиальное распределение температуры в конце оптимального по быстродействию процесса управления, получаемое интегрированием полной бесконечномерной системы уравнений исходной модели ТОРП при параметризованных управляющих воздействиях и в виде явной функции от искомых параметров и пространственной координаты x.

Альтернансные свойства и известный характер радиального температурного распределения в конце оптимального по быстродействию процесса повторяющий форму кривой рисунка 5,б, сводят ЗПО (32) к решению стандартными способами замкнутой системы уравнений альтернансного метода относительно искомых неизвестных и .

В §3.3 предлагаются новые эффективные способы точного аналитического решения сформулированной в главе 2 общей задачи применительно к пространственно-временному оптимальному по быстродействию управлению типовыми моделями технологических процессов тепломассопереноса.

С целью изучения основных закономерностей в работе используется типовая базовая модель процесса нагрева, описываемая линейным одномерным неоднородным уравнением теплопроводности в относительных единицах для управляемого температурного поля с краевыми условиями второго рода в (3) и распределенным управлением по мощности внутреннего тепловыделения, стесненным ограничением (13) при .

С помощью аппарата теории распределенной проблемы моментов устанавливается релейный характер пространственно-временного управления

, (33)

где - уравнение на пространственно-временной плоскости линии переключения управления , фактическое определение которой в форме явной зависимости на прямоугольнике известными способами представляет собой трудноразрешимую задачу. В диссертации предлагается новый способ определения линии переключения путем решения “вторичной” вспомогательной задачи быстродействия. При этом в роли искомой экстремали выступает сама линия переключения, стесняемая ограничением принадлежности к E, а в роли дополнительных дифференциальных связей фигурируют уравнения математической модели объекта управления с управляющими воздействиями (33), описываемые бесконечной системой дифференциальных уравнений вида (10) относительно температурных мод :

(34)

где величина характеризует уровень тепловых потерь с поверхности нагреваемого тела.

В силу выполнения условий (24), (25), структура линии переключения находится путем решения принципиально более простой задачи оптимального по быстродействию управления S-мерной подсистемой первых S уравнений модели (34). Для типового случая в (15) анализ поведения функции Понтрягина при по правилу (23) непосредственно приводит, применительно к типичным физическим особенностям технологических процессов тепломассопереноса, к следующему - параметрическому представлению искомой зависимости (рисунок 6):

(35)

Решение исходной задачи быстродействия, сводимой к определению алгоритма оптимального управления (33) с линией переключения (35), исчерпывается вычислением и по общей схеме альтернансного метода с использованием известных свойств формы кривой температурного распределения в конце оптимального процесса при , опять совпадающей с показанной на рисунке 5,б.

 

Рисунок 6 – Линия переключения в пространственно-временной

области определения при ; ; ; ; ; ;

Сложности технической реализации зависимостей вида (35) приводят к поиску квазиоптимальных по быстродействию управлений в классе ступенчатых аппроксимаций линий переключения. В §3.3.2 предлагается процедура последовательной -параметризации такой квазиоптимальной программы на множестве соответствующих точек переключения на координатных осях пространственно-временной области её определения, минуя начальный этап -параметризации. Параметрическое представление задается для всех , , вектором параметров ; , а соответствующий алгоритм распределенного управления описывается выражением (рисунок 7):

(36)

Интегрирование исходных уравнений теплопроводности с управляющим воздействием (36) обеспечивает редукцию к задаче полубесконечной оптимизации вида (28), (29) при, последующее решение которой производится по предложенной общей схеме с использованием установленных в диссертации закономерностей радиального распределения результирующих температур при пространственно-временном управляющем воздействии.

Организация программных управлений (36) для всех обеспечивается конструктивным исполнением объекта с двумя релейными автономными управляющими воздействиями и , равномерно распределенными по пространственной координате на промежутках соответственно и , переключающихся во времени при , если , или реализующих стационарные алгоритмы управления в случае .

Рисунок 7 – Ступенчатая линия переключения на

координатно-временной плоскости при

В § 3.4 метод параметрической оптимизации распространяется на новый класс актуальных задач оптимального управления стационарными режимами работы проходных индукционных нагревательных установок (ИНУ) с непрерывной выдачей заготовок под обработку давлением.

Типичная задача проектирования индукционного нагревателя непрерывного действия с постоянной скоростью V = const перемещения заготовок сводится к обеспечению в стационарном режиме работы ИНУ заданной абсолютной точности приближения к требуемой температуре на выходе из индуктора минимально возможной длины в условиях принятых ограничений. Для описания процесса нагрева используются аналитические и цифровые модели двумерного температурного поля , учитывающие передачу тепла теплопроводностью при нагреве изделий цилиндрической формы как в радиальном (по координате l),так и в осевом (по координате у) направлении. Применительно к линейной модели объекта в относительных единицах:

(37)

с типовыми начальными и граничными условиями, учитывающими тепловые потери в окружающую среду, задача сводится к отысканию распределения мощности нагрева по длине ИНУ, рассматриваемой в качестве пространственного управляющего воздействия, стесненного ограничением , которое в условиях заданного радиального распределения интенсивности внутреннего тепловыделения обеспечивает требуемую точность приближения температуры на выходе ИНУ к заданной величине при минимально возможной длине индуктора :

. (38)

Стандартные процедуры принципа максимума приводят к определению в классе кусочно-постоянных функций, попеременно принимающих свои предельно допустимые значения, фиксируя тем самым -параметризованное представление искомого алгоритма с длинами соответствующих секций нагревателя в роли параметров , после чего задача (38) редуцируется к форме ЗПО (28),(29):

(39)

и далее решается по общей схеме альтернансного метода.

Показано, что структура алгоритма , качественный характер радиального распределения температуры на выходе из индуктора, а, следовательно, и базовые системы уравнений альтернансного метода остаются неизменными и при использовании уточненных цифровых моделей электромагнитных и температурных полей в процессе непрерывного индукционного нагрева. В диссертации приведены результаты решения на основе таких численных моделей задачи (39) проектирования ИНУ для различных конструкций односекционных, двухсекционных и трехсекционных нагревателей и широкой номенклатуры нагреваемых изделий для случая . Показана возможность учета при расчете времени транспортирования нагретого изделия к деформирующему оборудованию и основного технологического ограничения на максимально допустимую температуру в процессе нагрева.

Для многосекционной ИНУ заданного конструктивного исполнения с заранее фиксированным числом N и размерами отдельных секций рассмотрена задача выбора неизменных во времени в стационарных режимах работы нагревателя напряжений питания секционных индукторов, обеспечивающих максимальную точность приближения к требуемой температуре на выходе ИНУ, оцениваемую в равномерной метрике. Интерпретация вектора при подключении N индукторов по схемам с автономно управляемыми секциями в качестве -параметрического представления искомого управляющего воздействия обеспечивает редукцию подобной задачи к виду:

, (40)

где результирующее температурное распределение определяется в зависимости от путем численного моделирования температурного поля загрузки ИНУ. В диссертации разработана методика фактического решения задачи (40), базирующаяся на предлагаемом общем подходе, и на основе полученных качественных результатов исследованы при характерных управляющих воздействиях рассмотренного вида некоторые типичные задачи оптимизации для комплексной электротепловой модели температурного поля ферромагнитной загрузки. Приведены результаты решения задачи оптимизации режимов работы индукционных установок различного конструктивного исполнения, состоящих из одного, трех, четырех и десяти индукторов, предназначенных для нагрева стальных изделий широкой номенклатуры. Предложен базирующийся на установленном в работе принципе минимальной сложности структуры управляющих воздействий способ компоновки индукторов с одинаковыми напряжениями питания в автономно управляемые секции, число которых однозначно характеризуется предельно достижимой точностью нагрева в ИНУ с соответствующей схемой электроснабжения. Проанализированы различные варианты по выбору числа секций нагревателя и различные схемы включения индукторов в секции, а также зависимости параметров оптимальных процессов от производительности ИНУ. На рисунке 8 приведены

Рисунок 8 – Зависимости значений и qmax - q* от числа индукторов во второй секции при максимальной производительности нагревателя