Рабочая программа дисциплины Математический анализ (стр. 2 )

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Разделы дисциплины

Раздел 1. Введение в математический анализ.

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной независимой переменной.

Раздел 3. Интегральное исчисление функции одной независимой переменной.

Раздел 4. Функции нескольких переменных

Раздел 5. Методы оптимизации.

Темы и их краткое содержание

Раздел 1. Введение в математический анализ

Тема 1.1. Введение. Множества и действия над ними. Числовые множества

Предмет математического анализа. Окружающий мир как источник основных понятий математического анализа.

Множества. Действия над множествами. Числовые множества. Множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел. Арифметические действия с действительными числами.

Ограниченные и неограниченные числовые множества. Понятие точной верхней и точной нижней грани. Существование точной нижней (верхней) грани у ограниченного снизу (сверху) числового множества.

Числовые промежутки: отрезок, интервал, полуинтервал, полупрямая, прямая. Окрестность точки. Понятие абсолютной величины. ε - окрестность точки.

Тема 1.2. Числовые последовательности

Понятие числовой последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства.

Понятие предела последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.

Монотонные последовательности. Сходимость монотонных последовательностей. Число е.

Предельные точки последовательностей. Верхний и нижний пределы последовательностей. Выделение сходящейся подпоследовательности.

Понятие фундаментальной последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.

Тема 1.3. Функция одной переменной. Предел и непрерывность

Понятие функции одной действительной переменной. Способы задания функций. График функции. Свойства функций одной переменной: четность, периодичность, монотонность.

Предел функции в точке. Правое и левое предельное значение функции в точке. Действия над функциями, имеющими предельные значения. Условие Коши существования предела функции в точке.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Понятие непрерывности функции в точке и на множестве. Односторонняя непрерывность. Действия над непрерывными функциями.

Свойства непрерывной в точке функции (устойчивость знака и локальная ограниченность).

Свойства непрерывных на отрезке функций. Теоремы Коши (о прохождении непрерывной функции через ноль при смене знаков и о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции). Теоремы Вейерштрасса (об ограниченности непрерывной на отрезке функции и о достижении верхней и нижней граней).

Точки разрыва и их классификация.

Понятие обратной функции. Условия существования обратной функции.

Основные элементарные функции: степенная функция, показательная функция, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Замечательные пределы.

Понятие сложной функции. Теорема о пределе сложной функции. Непрерывность сложной функции.

Понятие равномерной непрерывности функции. Теорема о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке.

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функций одной

независимой переменной

Тема 2.1. Основы дифференциального исчисления

Производная. Геометрический и физический смысл производной. Правая и левая производная. Дифференцируемость функции в точке, ее связь с непрерывностью. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Дифференцирование суммы, произведения и частного двух функций. Производная сложной функции. Дифференцирование обратной функции. Производные основных элементарных функций. Дифференцирование неявной функции и функции, заданной параметрически. Логарифмическое дифференцирование. Правила вычисления дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.

Касательная и нормаль. Уравнения касательной и нормали.

Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Производные высших порядков элементарных функций.

Тема 2.2. Основные теоремы дифференциального исчисления

Теоремы Роля (о нуле производной), Лагранжа (формула конечных приращений) и Коши (обобщенная конечных приращений).

Формула Тейлора. Формы остаточного члена формулы Тейлора. Формула Маклорена. Разложение элементарных функций по формуле Маклорена.

Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя).

Тема 2.3. Приложение производной к исследованию функций

Монотонность функции. Признаки возрастания и убывания дифференцируемой функции.

Точки экстремума функции. Необходимое условие экстремума функции в точке. Достаточные условия экстремума функции в точке. Алгоритм нахождения экстремумов.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Условия выпуклости и вогнутости графика функций. Необходимое условие перегиба. Достаточные условия перегиба. Алгоритм нахождения точек перегиба.

Асимптоты графика функции.

Схема исследования функции. Построение графика функции.

Раздел 3. Интегральное исчисление функции одной независимой

переменной

Тема 3.1. Неопределенный интеграл

Понятие первообразной. Неопределенный интеграл и его свойства. Интегрирование элементарных функций.

Основные методы интегрирования: внесение под знак дифференциала, замена переменной, интегрирование по частям.

Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений, универсальная тригонометрическая подстановка. Интегрирование простейших иррациональных функций.

Тема 3.2. Определенный интеграл

Понятие интегральной суммы. Определенный интеграл. Его геометрический и физический смысл.

Верхняя и нижняя интегральные суммы, их основные свойства. Верхний и нижний интегралы Дабу. Лемма Дарбу. Необходимое и достаточное условия интегрируемости функции по Риману.

Классы интегрируемых функций. Интегрируемость непрерывной функции, монотонной ограниченной функции и некоторых разрывных функций.

Свойства определенного интеграла.

Оценка определенных интегралов. Первая и вторая формулы среднего значения.

Существование первообразной для непрерывной функции. Интеграл с переменным верхним приделом. Формула Ньютона — Лейбница.

Основные методы интегрирования: внесение под знак дифференциала, замена переменной и интегриро­ва­ние по частям.

Методы приближенного вычисления определенного интеграла.

Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры, длины дуги, площади поверхности вращения и объема тела вращения. Определение работы переменной силы, массы и центра тяжести неоднородного стержня.

Раздел 4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

4.1. Функции нескольких переменных

Евклидова плоскость и евклидово пространство. N- мерное координатное пространство и N – мерное евклидово пространство. Множество точек в N – мерного евклидового пространства. Открытые и замкнутые множества. Сходящиеся последовательности точек в N – мерном евклидовом пространстве и их свойства. Критерий Коши сходимости последовательности. Теорема Больцано — Вейерштрасса.

Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое представление функции нескольких переменных. График функции двух переменных. Линии и поверхности уровня.

4.2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных

Предел функции нескольких действительных переменных. Действия над функциями, имеющими предельные значения. Критерий Коши существования предела функции в точке. Бесконечно малые функции нескольких переменных.

Понятие непрерывности функции в точке и на множестве. Арифметические действия над непрерывными функциями. Свойства непрерывных функций. Теоремы Вейерштрасса. Равномерная непрерывность функции. Теорема о равномерной непрерывности.

4.3. Дифференцируемость функции нескольких переменных

Полное и частные приращения функции. Частные производные функции нескольких переменных.

Дифференцируемость функции нескольких переменных. Связь между дифференцируемостью и существованием частных производных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференцируемости. Дифференцируемость сложных функций. Дифференциал функции нескольких переменных. Инвариантность формы первого дифференциала.

Производная по направлению. Градиент, его геометрический и экономический смысл.

Производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.

Неявная функция. Теорема о существования и дифференцируемости неявной функции. Теоремы о существовании обратной функции. Неявные функции, задаваемые системой функциональных уравнений. Вычисление производных неявных функций. Зависимость и независимость функций.

4.4. Экстремум функции нескольких переменных

Понятие экстремума функции нескольких переменных. Необходимые условия экстремума. Достаточное условие экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух независимых переменных. Выпуклые функции. Экстремум выпуклой функции.

Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области.

Понятие условного экстремума. Метод множителей Лагранжа. Достаточное условие экстремума.

Раздел 5 Методы оптимизации.

5.1. Классические методы оптимизации. Функции спроса и предложения.

5.2. Функция полезности. Кривые безразличия.

5. Образовательные технологии

Формирующаяся педагогика компетенций, основываясь на традиционных видах учебной работы, предусматривает широкое использование в учебном процессе активных и интерактивных форм проведения занятий в сочетании с внеаудиторной работой с целью формирования и развития профессиональных навыков обучающихся. К методам интерактивного обучения относятся те, которые способствуют вовлечению студентов в активный процесс получения и переработки знаний, формирования умений и навыков.

На аудиторных занятиях по математическому анализу применяются следующие методы интерактивного обучения:

· творческие задания;

· работа в малых группах;

· использование общественных ресурсов (приглашение специалиста);

· социальные проекты и другие внеаудиторные методы обучения (социальные проекты, соревнования, радио и газеты, фильмы, спектакли, выставки, представления);

· изучение и закрепление нового материала (интерактивная лекция, работа с наглядными пособиями, видео - и аудиоматериалами, «студент в роли преподавателя», «каждый учит каждого», использование вопросов);

· контрольный лист или тест;

· решение ситуационных задач;

· презентации с использованием различных вспомогательных средств: доски, книг, видео, слайдов, компьютеров и т. п.;

· групповые дискуссии.

Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах, в целом в учебном процессе составит не менее 20% аудиторных занятий.

Основными формами организации аудиторных занятий являются лекции и практические занятия, рационально сочетающиеся в течение всего изучаемого курса.

На занятиях лекционного типа закладывают знания по разделам и темам учебного материала, формируют фундамент для его последующего самостоятельного усвоения и овладения общекультурными и профессиональными компетенциями, контролируют самостоятельную работу студентов.

На практических занятиях происходит углубление знаний и формирование компетенций их применения в реальной практике, проводят коллективное обсуждение и индивидуальное творческое осмысление теоретического материала на базе самостоятельного изучения рекомендованной литературы, консультируют, обсуждают и оценивают самостоятельную работу студентов, что обеспечивает подготовку выпускника к самостоятельной профессиональной деятельности.

Внеаудиторная самостоятельная работа занимают особое место в овладении изучаемым курсом. Самостоятельная работа проводится по каждому разделу дисциплины и включает самостоятельное выполнение расчетно-графических работ, контрольно-тестовых практических заданий, подготовку к проведению контрольных тестирований и зачетных занятий, решение конкретных профессионально-ориентированных задач. Аудиторную самостоятельную работу проводят в виде выполнения практического задания на компьютере (не более 10% аудиторного времени).

6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

Изучение курса завершается зачетом в 1 семестре и экзаменом во 2 семестре.

Шкала итоговых оценок успеваемости в зависимости от набранных баллов по дисциплинам, завершающимся зачетом

Набранные баллы	51-60	61-67	68-84	85-93	94-100
зачет/незачет	незачёт	зачёт
Оценка по шкале ECTS	F	D	C	B	A
неудовлетво- рительно	удовлетво-рительно	хорошо	очень хорошо	отлично

Шкала итоговых оценок по дисциплинам завершающимся экзаменом

Набранные баллы	<51	51-60	61-67	68-84	85-93	94-100
Оценка по 5-ти балльной шкале	2	3	4	5
Оценка по шкале ECTS	F Неудовл.	E Посредственно	D Удовлетвор.	C Хорошо	B Очень хорошо	A Отлично

С целью стимулирования учебной деятельности, творческой активности и самостоятельной работы студентов на протяжении всего периода изучения дисциплины, обеспечения систематической аттестации всех видов учебной работы используется балльную систему контроля качества обучения.

Наряду с этим по изучаемой дисциплине студенты самостоятельно выполняют и защищают расчетно-графические работы, которые носят творческий, исследовательский и экспериментальный характер, тем самым демонстрируют практическую реализацию приобретенных в процессе освоения дисциплины компетенций.

Текущий контроль успеваемости представляет собой проверку усвоения учебного материала, регулярно осуществляемую на протяжении семестра, а также дает возможность для балльно-рейтинговой оценки успеваемости студента.

Применяемые формы текущего контроля:

- индивидуальный или групповой устный опрос;

- проведение и проверка выполнения практических заданий;

- проверка расчетно-графических работ;

- компьютерное тестирование.

Промежуточная аттестация осуществляется в конце семестра и может завершать изучение дисциплины. Подобный контроль помогает не только оценить знания и умения, а также сформировать профессиональные компетенции. Промежуточная аттестация проводится по результатам текущего контроля. Формами промежуточной аттестации являются – зачет и экзамен.

Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины, а также для контроля самостоятельной работы обучающегося по отдельным разделам дисциплины, тематика расчетно-графических работ и примерный перечень вопросов к зачету указаны в данном разделе программы.

Перечень примерных контрольных вопросов и заданий

для самостоятельной работы

1. Найти область определения функции.

2. Установить область значений функции.

3. Вычислить предел функции в точке.

4. Вычислить производную функции.

5. Вычислить дифференциал функции.

6. Определить интервалы возрастания и убывания функции.

7. Найти точки экстремума функции.

8. Определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

9. Установить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции.

10. Найти точки перегиба графика функции.

11. Провести исследование функции и построить ее график.

12. Найти неопределенный интеграл.

13. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной.

14. Вычислить неопределенный интеграл методом интегрирования по частям.