Математика (стр. 4 )

Таблица 5.

№ п/п	Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин	Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.1.1–1.3.3	2.1.1–2.3.2	3.1.1–3.1.2	3.2.1–3.2.2	3.3.1–3.3.3
1.	Физика	+	+	+		+
2.	Картография	+		+	+	+
3	Химия	+	+	+		+

5. Содержание дисциплины.

Первый семестр.

Модуль 1.1

Тема 1.1.1 Матрицы и определители. Матрицы, действия над матрицами. Определители, их свойства. Обратная матрица. Ранг матрицы.

Тема 1.1.2 Системы линейных уравнений. Правило Крамера, метод Гаусса, матричный метод. СЛНУ. СЛОУ.

Тема 1.1.3 Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы комплексных чисел. Формула Муавра.

Модуль 1.2

Тема №1.2.1. Основные задачи аналитической геометрии на плоскости. Полярные координаты. Уравнение линии как множество точек плоскости. Уравнение прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.

Тема №1.2.2. Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола. Общее уравнение кривой второго порядка.

Тема №1.2.3 Основные задачи аналитической геометрии в пространстве. Векторы и линейные операции над ними. Разложение вектора по базису. Скалярное произведение векторов и его свойства. Векторное и смешанное произведение векторов и их свойства. Геометрический смысл векторного и смешанного произведений. Уравнение прямой в пространстве. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнения линии и поверхности.

Модуль 1.3.

Тема 1.3.1 Функции одной переменной. Множества, действия над множествами. Логические символы. Числовые последовательности. Сходящиеся последовательности. Монотонные последовательности. Функции. Способы задания функций. Свойства функций. Предел функции в точке. Точки разрыва. Теоремы о пределах функций. Раскрытие неопределенностей разного вида. Бесконечно малые, бесконечно большие функции, их свойства. Сравнение бесконечно малых.

Тема 1.3.2 Элементы дифференциального исчисления. Понятие производной функции. Вычисление производных. Правила, формулы ее нахождения. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Дифференцирование функций, заданных неявно. Основные теоремы дифференциального исчисления. Дифференциал функции его свойства, приложения. Применение производной для приближенных вычислений. Производные и дифференциалы высших порядков. Правило Лопиталя. Геометрический смысл производной. Механический смысл производной. Исследование функций при помощи производных. Экстремумы функции одной переменной. Задачи на наибольшее и наименьшее значения. Направление выпуклости. Точки перегиба. Непрерывность функции в точке, на промежутке. Классификация точек разрыва. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков.

Второй семестр

Модуль 2.1

Тема 2.1.1 Неопределенный интеграл. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов. Общие методы интегрирования (непосредственное интегрирование, замена переменного, интегрирование по частям). Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование гиперболических функций. Применение тригонометрических и гиперболических подстановок.

Тема 2.1.2 Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Приложения определенного интеграла для вычисления площадей, объемов, длин дуг, поверхностей вращения. Физический смысл определенного интеграла. Приближенные вычисления определенного интеграла.

Тема 3.1.3 Несобственные интегралы. Несобственные интегралы первого и второго рода.

Модуль 2.2

Тема 2.2.1 Числовые ряды. Необходимое условие сходимости ряда. Ряды с неотрицательными членами. Достаточные условия сходимости ряда. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости рядов.

Тема 2.2.2 Функциональные ряды. Степенные ряды. Интервал сходимости. Разложение функции в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Ряды Фурье. Использование рядов для приближенных вычислений.

Модуль 2.3

Тема 2.3.1 Предел и непрерывность ФНП.

Тема 2.3.2 Дифференцирование ФНП. Частные производные. Полный дифференциал функции. Дифференцирование сложных функций. Градиент. Производная по направлению. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование неявных функций.

Тема 2.3.3 Экстремумы ФНП. Экстремумы функции двух переменных. Условные экстремумы функции двух переменных.

Третий семестр

Модуль 3.1

Тема 3.1.1 Дифференциальные уравнения первого порядка. Общие понятия. Задача Коши. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные ДУ. Линейные ДУ. Уравнение Бернулли. Уравнение Рикатти. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Приближенное решение дифференциальных уравнений. Уравнения, не разрешенные относительно у’. Уравнения Лагранжа и Клеро.

Тема 3.1.2 Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка. ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. ДУ с постоянными коэффициентами порядка выше второго.

Модуль 3.2

Тема №3.2.1 Элементы теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Геометрическая вероятность. Основные теоремы ТВ. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторение испытаний: Формула Бернулли.

Тема №3.2.2 Дискретные случайные величины. Закон распределения вероятностей ДСВ. Законы биномиальный и Пуассона. Числовые характеристики ДСВ.

Модуль 3.3

Тема 3.3.1 Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины. Нормальное распределение, его свойства. Понятие о различных формах закона больших чисел. Теоремы Бернулли и Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова.

Тема 3.3.2 Элементы математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма, эмпирическая функция распределения, выборочное среднее и дисперсия. Точечные оценки и их характеристики: несмещенность, эффективность, состоятельность. Методы получения точечных оценок: метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов, метод моментов. Интервальные оценки. Интервальное оценивание параметров нормального распределения. Понятие о статистической проверке гипотез. Ошибки 1-го и 2-го рода. Решающая процедура. Мощность критерия. Доверительные области. Линейный регрессионный анализ. Оценки параметров регрессионной модели по методу наименьших квадратов и свойства этих оценок. Определение параметров нелинейных уравнений регрессии методом наименьших квадратов.

6. Планы семинарских занятий.

Первый семестр.

Модуль 1.1

Тема 1.1.1 Матрицы и определители. Матрицы, действия над матрицами. Вычисление определителей. Нахождение обратной матрицы. Ранг матрицы.

Тема 1.1.2 Системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений: правило Крамера, метод Гаусса, матричный метод. СЛНУ. СЛОУ.

Тема 1.1.3 Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы комплексных чисел. Формула Муавра.

Модуль 1.2

Тема №1.2.1. Основные задачи аналитической геометрии на плоскости. Полярные координаты. Уравнение прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.

Тема №1.2.2. Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола.

Тема №1.2.3 Основные задачи аналитической геометрии в пространстве. Векторы и линейные операции над ними. Разложение вектора по базису. Скалярное произведение векторов и его свойства. Векторное и смешанное произведение векторов и их свойства. Геометрический смысл векторного и смешанного произведений. Уравнение прямой в пространстве. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнения линии и поверхности.

Модуль 1.3.

Тема 1.3.1 Функции одной переменной. Множества, действия над множествами. Логические символы. Числовые последовательности. Сходящиеся последовательности. Монотонные последовательности. Функции. Способы задания функций. Свойства функций. Предел функции в точке. Точки разрыва. Теоремы о пределах функций. Раскрытие неопределенностей разного вида. Бесконечно малые, бесконечно большие функции, их свойства. Сравнение бесконечно малых.

Тема 1.3.2 Элементы дифференциального исчисления. Понятие производной функции. Вычисление производных. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Дифференцирование функций, заданных неявно. Дифференциал функции его свойства, приложения. Применение производной для приближенных вычислений. Производные и дифференциалы высших порядков. Правило Лопиталя. Геометрический смысл производной: уравнение касательной. Исследование функций при помощи производных. Экстремумы функции одной переменной. Задачи на наибольшее и наименьшее значения. Направление выпуклости. Точки перегиба. Непрерывность функции в точке, на промежутке. Классификация точек разрыва. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков. Численное решение уравнений: метод деления отрезка пополам, метод Ньютона.

Второй семестр

Модуль 2.1

Тема 2.1.1 Неопределенный интеграл. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов. Общие методы интегрирования (непосредственное интегрирование, замена переменного, интегрирование по частям). Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование гиперболических функций. Применение тригонометрических и гиперболических подстановок.

Тема 2.1.2 Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Приложения определенного интеграла для вычисления площадей, объемов, длин дуг, поверхностей вращения. Приближенные вычисления определенного интеграла. Численное интегрирование: метод прямоугольников, метод трапеций.

Тема 3.1.3 Несобственные интегралы. Несобственные интегралы первого и второго рода.

Модуль 2.2

Тема 2.2.1 Числовые ряды. Необходимое условие сходимости ряда. Ряды с неотрицательными членами. Достаточные условия сходимости ряда. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости рядов.

Тема 2.2.2 Функциональные ряды. Степенные ряды. Интервал сходимости. Разложение функции в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Ряды Фурье. Использование рядов для приближенных вычислений.

Модуль 2.3

Тема 2.3.1 Предел и непрерывность ФНП.

Тема 2.3.2 Дифференцирование ФНП. Частные производные. Полный дифференциал функции. Дифференцирование сложных функций. Градиент. Производная по направлению. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование неявных функций.

Тема 2.3.3 Экстремумы ФНП. Экстремумы функции двух переменных. Условные экстремумы функции двух переменных.

Третий семестр

Модуль 3.1

Тема 3.1.1 Дифференциальные уравнения первого порядка. Общие понятия. Задача Коши. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные ДУ. Линейные ДУ. Уравнение Бернулли. Уравнение Рикатти. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Уравнения, не разрешенные относительно у’. Уравнения Лагранжа и Клеро. Приближенное решение дифференциальных уравнений.

Тема 3.1.2 Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка. ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. ДУ с постоянными коэффициентами порядка выше второго.

Модуль 3.2

Тема №3.2.1 Элементы теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Геометрическая вероятность. Основные теоремы ТВ. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторение испытаний: Формула Бернулли.

Тема №3.2.2 Дискретные случайные величины. Закон распределения вероятностей ДСВ. Законы биномиальный и Пуассона. Числовые характеристики ДСВ.

Модуль 3.3

Тема 3.3.1 Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины. Нормальное распределение, его свойства. Понятие о различных формах закона больших чисел. Теоремы Бернулли и Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова.

Тема 3.3.2 Элементы математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма, эмпирическая функция распределения, выборочное среднее и дисперсия. Точечные оценки и их характеристики: несмещенность, эффективность, состоятельность. Методы получения точечных оценок: метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов, метод моментов. Интервальные оценки. Интервальное оценивание параметров нормального распределения. Понятие о статистической проверке гипотез. Ошибки 1-го и 2-го рода. Решающая процедура. Мощность критерия. Доверительные области. Линейный регрессионный анализ. Оценки параметров регрессионной модели по методу наименьших квадратов и свойства этих оценок. Определение параметров нелинейных уравнений регрессии методом наименьших квадратов.

7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).

Не планируются.

8. Примерная тематика курсовых.

Не планируются.

9. Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).

a) Текущая аттестация:

· контрольные работы; В каждом семестре проводятся контрольные работы (на семинарах).

b) Промежуточная аттестация:

· тестирование по дисциплине (ФЭПО);

· зачёт (письменно-устная форма). Зачёт выставляется после решения всех задач контрольных работ и выполнения самостоятельной работы.

· экзамен (письменно-устная форма). Экзамен выставляется по рейтинговой системе или после ответа на экзаменационный билет.

Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины осуществляется в рамках рейтинговой (100-бальной) системы оценок.

Варианты контрольных работ:

Контрольная работа №1

Решить систему уравнений методом Гаусса. Найти общее и частное решения:

Решить систему с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера:

Решить однородную систему уравнений:

Контрольная работа № 2

Даны векторы a и b и угол между ними равный 1200. Построить вектор c=2a-1.5b и определить его длину, если |a|=3, |b|=4. Проверить, что четыре точки А(3;-1;2), В(1;2;-1), С(-1;1;-3) и D(3;-5;3) служат вершинами трапеции. В треугольнике с вершинами A(4;-14;8), B(2;-18;12), C(12;-8;12) найти длину высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ.

Контрольная работа №3

Начало отрезка АВ находится в точке А(2;-3;4). Точка М(-1;2;5) отсекает от него четвертую часть (АМ:АВ=1:4). Найти координаты точки В. Какие поверхности определяются уравнениями:

1) x2+y2+z2-10x+8y-8=0;

2) y=4z2?

Составить уравнение плоскости, проходящей через:

1) Ось Oz и точку А(2;-3;4);

2) Точку А параллельно плоскости Oxy.

4. Найти уравнение перпендикуляра к плоскости x-2y+z-9=0, проходящего через точку А(-2;0;-1).