Элементы линейной алгебры (стр. 3 )

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.

1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т. е. , то система (2) имеет единственное решение.

2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т. е. , то система (2) неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

Результаты исследования системы (2) приведем в виде схемы

Пусть ; r переменных называются основными (или базисны-

ми), если определитель матрицы из коэффициентов при них ( т. е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные переменных называются неосновными (или свободными).

Решение системы (2), в котором все неосновных переменных равны нулю, называется базисным.

Исследовать на совместность и решить методом Гаусса данную систему:

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы (для удобства вычислений берем в качестве первой строки коэффициенты второго уравнения, у которого коэффициент при равен единице):

~ ~ ~

, т. е. . Следовательно, система совместна.

. Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

Оставим в левой части переменные , которые берем за основные (определитель из коэффициентов при них (базисный минор) отличен от нуля, т. е.

) . Остальные неосновные переменные переносим в правые

части уравнений. В результате получим систему

откуда и . Задавая неосновным переменным произвольные значения , найдем бесконечное множество решений системы .

Системы линейных однородных уравнений

Система m линейных уравнений с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю.

Такая система имеет вид (6)

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как она всегда имеет, по крайней мере, нулевое (или тривиальное) решение (0; 0; …;0).

Если в системе (6) , а ее определитель отличен от нуля, то такая система имеет только нулевое решение, как это следует из теоремы и формул Крамера. Ненулевые решения, следовательно, возможны лишь для таких систем линейных однородных уравнений, в которых число уравнений меньше числа переменных или при их равенстве, когда определитель системы равен нулю. Иначе, система линей-ных однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т. е. при .

3. n-МЕРНЫЙ ВЕКТОР И ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО.

РАЗМЕРНОСТЬ И БАЗИС ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА

Определение: n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде , где - i-я компонента вектора .

Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т. е. , если .

Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор , компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т. е. .

Произведением вектора х на действительное число называется вектор

, компоненты которого равны произведению на соответствующие

компоненты вектора , т. е. .

Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют следующим свойствам:

1) - коммутативное (переместительное) свойство суммы;

2) - ассоциативное (сочетательное) свойство суммы;

3) - ассоциативное относительно числового множителя свойство;

4) - дистрибутивное (распределительное) относительно суммы векторов свойство;

5) - дистрибутивное относительно суммы числовых множи - телей свойство;

6) существует нулевой вектор , такой, что для любого вектора (особая роль нулевого вектора);

7) для любого вектора существует противоположный вектор (-) такой, что ;

8) для любого вектора (особая роль числового множителя единицы).

Определение. Множество векторов с действительными компонентами, в кото-ром определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше восьми свойствам, называется векторным пространством.

Следует отметить, что под можно рассматривать не только векторы, но и элементы (объекты) любой природы. В этом случае соответствующее множество элементов называется линейным пространством.

Определение. Вектор называется линейной комбинацией векторов векторного пространства L, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа: , где - какие угодно действительные числа.

Определение. Векторы векторного пространства L называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что . В противном случае векторы называются линейно независимыми.

Из приведенных выше определений следует, что векторы линейно независимы, если равенство справедливо лишь при , и линейно зависимы, если это равенство выполняется, когда хотя бы одно из чисел отлично от нуля.

Признаки линейной зависимости векторов:

1. Если векторы линейно зависимы, то, по крайней мере, один из них линейно выражается через остальные. Верно и обратное утверждение о том, что, если один из векторов выражается линейно через остальные, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы.

2. Если среди векторов имеется нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

3. Если часть векторов является линейно зависимой, то и все эти векторы линейно зависимые.

4. Пусть имеются две системы векторов, в первой из них n векторов, во второй m, причем m > n. Если каждый вектор второй (большей) системы векторов линей-но выражается через векторы первой системы, то вторая система векторов линейно

зависима.

Определение. Линейное пространство L называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из векторов уже являются линейно зависимыми.

Другими словами, размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число n называется размерностью пространства L и обозначается dim (L).

Определение. Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного линейного пространства L называется базисом.

Справедливы следующие теоремы.

Теорема. Каждый вектор линейного пространства L можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса. . Это равенство называется разложением вектора по базису , а числа - координатами вектора относительно этого базиса.

Теорема. Два вектора, заданные своими координатами, линейно зависимы тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

Пример. Доказать, что векторы образуют базис векторного пространства . Разложить вектор по этому базису, если .

1. Покажем, что размерность равна четырем. Для этого рассмотрим четыре вектора: (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) и докажем, что они линейно независимы. Действительно, составим равенства:

,

следовательно, .

Покажем, что любые пять векторов из линейно зависимы. Очевидно, .

По четвертому признаку линейной зависимости система из пяти векторов является линейно зависимой, так как каждый ее вектор линейно выражается через векторы (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1). Таким образом, .

2. Покажем, что векторы линейно независимы. Составим равенство

.

Оно равносильно системе однородных линейных уравнений:

Так как определитель из коэффициентов при , отличен от нуля, (убедитесь в этом самостоятельно), система имеет единственное нулевое решение . Следовательно, векторы линейно независимы и, значит, образуют базис .

3. Разложим вектор по базису , .

.

Переходим к системе уравнений: .

Так как определитель матрицы А системы отличен от нуля, система имеет единственное решение, которое можно найти, например, методом Гаусса: .

Ответ: .

Образцы решения задач типового расчета

Задача 1. Найти, если это возможно, произведение матриц АВ и ВА:

, .

Решение. В матрице А 3 строки и 3 столбца, т. е. ее размерность ; размерность матрицы В . Для существования произведения нужно, чтобы число столбцов левой матрицы было равно числу строк правой матрицы. В данном случае , внутренние индексы различны . Поэтому произведения АВ не существует. Произведение ВА существует, т. к. внутренние индексы равны , и размерность матрицы С = ВА равна

Задача 2. Вычислить определитель 4-го порядка:

.

(-2) (

Решение. Вынесем за знак определителя множитель 2 из первой строки. Тогда

+ + + .

Прибавим к элементам второй строки элементы 1-й строки, умноженные на

(-2); к элементам третьей строки-элементы первой строки, умноженные на

(-1); к элементам четвертой строки – элементы первой строки. В результате этого в первом столбце все элементы, кроме первого, будут нулевыми. Разложим определитель по первому столбцу. Таким образом, сводим вычисление определителя 4-го порядка к вычислению определителя 3-го порядка.

При вычислении был разложен определитель третьего порядка по элементам второй строки. В типовом расчете не всегда полученный определитель 3-го порядка будет иметь какую-нибудь строчку или столбец с двумя нулями. Поэтому для его вычисления можно воспользоваться правилом треугольников или с помощью элементарных преобразований получить в каком-либо ряду два нулевых элемента.

Например,

(

или + + = .

Умножаем первую строку на (-7) и складываем со второй, и умножаем первую строку на (-2) и складываем с третьей. Раскладываем полученный определитель по второму столбцу:

Задача 3. Решить систему методом Крамера и средствами матричного исчисле-ния

.

Решение. 1-й способ: метод Крамера. Найдем определитель системы

.

Так как , система имеет единственное решение, которое определяется по формулам Крамера: , , , где - определитель, полу-чаемый из определителя системы заменой i-го столбца на столбец правых частей: .

Таким образом, ,

,

. Ответ: .

2-й способ: решить систему матричным способом. Введем обозначения

, , .

Тогда в матричном виде систему можно записать следующим образом: .

Определитель системы ; следовательно, матрица А - невыро-

жденная и существует обратная ей матрица . Вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы А:

, , ,

, , ,

, , .

.

Решение системы ,

т. е. .

Ответ: .

Задача 4. Исследовать систему на совместность. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Пример 1. .

Решение. Составим матрицу А системы и ее расширенную матрицу :

.

Приведем матрицу элементарными преобразованиями над строками к треу-гольному виду или к виду трапеции:

+

(-2)

+

(-3)

+ … … ~ ~