Элементы линейной алгебры (стр. 4 )

~ ~ ~

+

~ ~ .

Видим, что , .

Так как ранги матриц не совпадают, система несовместна.

Пример 2. .

Решение. Приведем матрицу элементарными преобразованиями над строками к виду трапеции:

~ ,

. Следовательно, система совместна. Число неизвестных системы больше ранга системы. Следовательно, система имеет бесконечно много решений. Так как в базисный минор входят коэффициенты при неизвестных и , переменные и будут базисными, а и - свободными. Выразим основные неизвестные через свободные. Пусть ,.

Перепишем систему в виде

; .

Из первого уравнения выразим :

Общее решение системы запишем в виде

,

где .

Задача 5. Доказать, что векторы

образуют базис в (если известно, что размерность равна четырем) и разложить вектор по этому базису.

Решение. Чтобы доказать, что векторы образуют базис в пространстве , достаточно проверить, что определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля.

.

Значит, образуют базис в . Пусть вектор имеет в этом базисе координаты ; т. е.

. Запишем это равенство в координатной форме:

или .

Таким образом, нужно решить систему уравнений:

.

Будем использовать метод Гаусса.

~ ~

~ ~ .

Этой матрице соответствует система уравнений, эквивалентная исходной системе:

, .

Итак, .

Ответ: .

Контрольные задания

Задача 1. Найти, если это возможно, произведение матриц АВ и ВА.

1. , .
2. .
3. , .
4. , .	5. , .
6. , .
7. , .	8. , .
9. , .
10. , .
11. , .
12. , .
13. , .	14. , .
15. , .	16. , .
17. , .	18. , .
19. , .
20. , .
21. , .
22. , .
23. , .	24. , .
25. , .
26. , .
27. , .	28. , .
29. , .
30. , .

Задача 2. Вычислить определитель четвертого порядка.

1. .	2. .	3. .
4. .	5. .	6. .
7. .	8. .	9. .
10. .	11. .	12. .
13. .	14. .	15. .
16.	17. .	18. .
19. .	20. .	21. .
22. .	23. .	24. .
25. .	26. .	27. .
28. .	29. .	30. .

Задача 3. Решить систему методом Крамера и средствами матричного исчисления.

1. .	2. .	3. .
4. .	5. .	6. .
7. .	8. .	9. .
10. .	11. .	12. .
13. .	14. .	15. .
16. .	17. .	18. .
19. .	20. .	21. .
22. .	23. .	24. .
25. .	26. .	27. .
28. .	29. .	30. .

Задача 4. Исследовать систему на совместность. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса.