Математичексий анализ (стр. 3 )

Таблица 5.

№	Тема	недели семестра	Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.	Итого часов по теме	Итого кол-во баллов
Лекции*	Семинарские (практические) занятия*	Самостоятельная работа*
1	2	3	4	5	6	7	8
	Модуль 1
1.1.	Понятие меры. Свойство меры на кольце, продолжение меры. Измеримые функции и их свойства	1-3	6	4	12	20	0-15
1.2.	Кратные интегралы	4-7	8	8	12	28	0-15
	Всего		14	12	24	50	0-30
	Модуль 2
2.1.	Криволинейные интегралы	8-9	4	4	6	14	0-20
2.2.	Поверхностные интегралы	10-12	6	6	6	18	0-10
	Всего		10	10	12	32	0-30
	Модуль 3
3.1.	Элементы векторного анализа	13-15	6	8	7	21	0-20
3.2.	Произведение мер, теорема Фубини	16-17	4	2	-	6	0-20
	Всего		10	10	7	27	0-40
	Итого (часов, баллов):		34	34	43	111	0 – 100

4. Содержание дисциплины.

1 семестр

Модуль 1.

1.1.Множества и операции над ними. Логическая символика. Общие понятия о функциях. Эквивалентные множества. Счетные и несчетные множества. Мощность континуума. Аксиоматика множества вещественных чисел. Геометрическая интерпретация. Важнейшие теоремы о вещественных числах: о точных гранях, о предельных точках, о системе вложенных и стягивающихся отрезках, о конечном покрытии. Принцип Архимеда. Метод математической индукции. Бином Ньютона и неравенство Бернулли.

1.2. Общие понятия о последовательностях. Определение предела числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Признак существования предела монотонной последовательности. Число «е». Подпоследовательности и частичные пределы. Принцип Больцано-Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности. Фундаментальные последовательности и критерий Коши.

Модуль 2.

2.1. Числовые функции, характеристика общих свойств числовых функций. Обзор элементарных функций. Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне. Эквивалентность двух определений. Свойства функций, имеющих конечный предел. Предел монотонной функции. Критерий Коши существования предела функции. Предел композиции функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение функций. Отношения «О» и «о». Эквивалентные функции. Порядок бесконечно малой функции.

2.2. Определение непрерывности функции в точке. Разрывы первого и второго рода. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции. Непрерывность обратной функции. Непрерывность элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Равномерная непрерывность. Замечательные пределы и их следствия.

Модуль 3.

1.3. Дифференцируемость функции в точке. Производная и дифференциал. Геометрический и механический смысл. Критерий дифференцируемости функций. Правила дифференцирования. Дифференцирование обратной функции и сложной функции. Инвариантность формы записи первого дифференциала. Дифференцирование элементарных функций и таблица производных. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя вычисления предела функции. Формула Тейлора. Различные формы записи остаточного члена в формуле Тейлора. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора в приближенном вычислении значений функции.

3.2. Условия монотонности функции на промежутке. Локальные экстремумы функции. Достаточные условия локального экстремума в терминах первой производной, второй производной и высших производных. Глобальные экстремумы функции. Выпуклые функции. Точки перегиба. Достаточные условия выпуклости и перегиба. Асимптоты.

2 семестр

Модуль 1.

1.1. Основные определения. Свойства неопределенного интеграла. Таблица первообразных основных элементарных функций. Формулы подстановки и интегрирования по частям. Интегрирование рациональных функций, некоторых иррациональных функций, тригонометрических и других трансцендентных функций.

1.2. Определение интеграла Римана. Необходимое условие интегрируемости. Суммы Дарбу и их свойства. Критерий интегрируемости функций по Риману. Другие условия интегрируемости функции по Риману и их эквивалентность. Классы функций, интегрируемых по Риману. Свойства интегрируемых по Риману функций и интеграла Римана. Первая теорема о среднем.