Математичексий анализ (стр. 4 )

Модуль 2.

2.1. Интеграл с переменным верхним (нижним) пределом. Непрерывность и дифференцируемость. Формула Ньютона-Лейбница. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле. Вторая теорема о среднем. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. Неравенства, содержащие интеграл.

2.2. Кривые в многомерном пространстве. Длина дуги площадь плоской фигуры. Площадь поверхности. Центр тяжести. Статические моменты. Вычисление работы.

Модуль 3.

3.1. Функции ограниченной вариации. Теорема о представлении функции ограниченной вариации и основные свойства. Интеграл Стилтьеса. Признаки существования интеграла Стилтьеса и его вычисление.

3.2. Основные определения. Внутренние, внешние, граничные точки множества в метрическом пространстве. Лемма о последовательности стягивающихся шаров. Принцип сжимающих отображений. Непрерывные отображения метрических пространств. Понятия компакта. Компакты в Rn и полнота пространства Rn . Свойства непрерывных функций на компакте. Связные множества.

3 семестр

Модуль 1.

1.1. Предел функции в Rn. Непрерывные, дифференцируемые функции в Rn. Частные производные. Дифференцирование сложной функции. Производные по направлению. Градиент. Геометрический смысл дифференциала функций двух переменных. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Приложение формулы Тейлора. Локальный экстремум функции многих переменных. Неявные функции. Система неявных функций. Условный экстремум функций многих переменных. Дифференцируемые отображения. Матрица Якоби.

1.2. Определение несобственных интегралов первого и второго рода. Основные свойства.Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Достаточные условия сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признаки Абеля и Дирихле. Интеграл в смысле главного значения.

Модуль 2.

2.1. Основные понятия и определения. Основные свойства сходящихся рядов. Критерий Коши сходимости ряда. Ряды с неотрицательными членами. Основные признаки сходимости для рядов с неотрицательными членами. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Признаки Абеля и Дирихле. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. Теорема Римана о перестановке членов ряда. Арифметические операции над сходящимися рядами. Двойные и повторные ряды. Бесконечные произведения.

2.2.Сходимость функциональной последовательности ряда. Равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов, (перестановка двух предельных переходов, непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость). Признаки равномерной сходимости Вейерштрасса, Абеля, Дирихле. Теорема Дини. Степенные ряды. Теоремы Абеля. Радиус сходимости. Формула Коши - Адамара. Аналитические функции. Ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора. Асимптотические степенные ряды. Приложения рядов.

Модуль 3.

3.1. Собственные параметрические интегралы и их свойства (непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость по параметру). Несобственные параметрические интегралы. Равномерная сходимость. Непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость по параметру несобственных интегралов. Применение теории параметрических интегралов. Интегралы Эйлера первого и второго рода. Формула Стирлинга.

3.2. Ряды и интегралы Фурье. Ряды Фурье по тригонометрической системе функций. Осцилляционная теорема Римана. Интеграл Дирихле. Принцип локализации. Основная теорема о сходимости ряда Фурье в точке (условие Дини). Признак Липшица. Суммирование рядов Фурье методом Чезаро-Фейера. Равномерная аппроксимация в среднем непрерывных функций. Теоремы Вейерштрасса. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Полнота и замкнутость тригонометрической системы функций. Связь между степенью гладкости функции и скоростью сходимости ее тригонометрического ряда Фурье. Дифференцирование, интегрирование рядов Фурье. Комплексная форма записи тригонометрического ряда Фурье. Ортогональные системы функций. Ряды Фурье по ортогональным системам. Интеграл Фурье. Понятие о преобразовании Фурье.

4 семестр

Модуль 1.

1.1. Площадь плоской фигуры и объем пространственного тела. Определение меры Жордана. Критерий измеримости множества по Жордану. Свойства меры Жордана. Измеримость спрямляемой кривой. Связь между интегрируемостью функции по Риману и измеримостью по Жордану ее криволинейной трапеции.

1.2. Площадь плоской фигуры и объем пространственного тела. Определение меры Жордана. Критерий измеримости множества по Жордану. Свойства меры Жордана. Измеримость спрямляемой кривой. Связь между интегрируемостью функции по Риману и измеримостью по Жордану ее криволинейной трапеции.

Модуль 2.

2.1. Криволинейные интегралы первого и второго рода. Свойства, вычисление. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Приложения. Формула Грина. Вычисление площади плоской фигуры с помощью формулы Грина. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Интегрирование полных дифференциалов.

2.2. Понятие поверхности. Способы задания поверхности. Первая квадратичная форма поверхности. Сторона и ориентация поверхности. Понятие площади поверхности. Пример Шварца. Квадрируемость гладких поверхностей. Определение поверхностных интегралов первого и второго рода. Свойства, вычисление. Приложения. Формула Гаусса-Остроградского и ее приложения к исследованию поверхностных интегралов. Формула Стокса и ее приложения к исследованию криволинейных интегралов.

Модуль 3.

3.1. Скалярные поля. Градиент. Оператор Гамильтона. Векторные поля. Дивергенция,

Поток векторного поля. Циркуляция. Соленоидальное и потенциальное векторные поля.

3.2. Произведение мер. Теорема Фубини.

5. Содержание практических занятий дисциплины

1 семестр

Модуль 1.

1.1.Множества и операции над ними. Логическая символика. Общие понятия о функциях. Метод математической индукции. Бином Ньютона и неравенство Бернулли.

1.2. Общие понятия о последовательностях. Определение предела числовой последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Число «е». Подпоследовательности и частичные пределы. Принцип Больцано-Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности. Фундаментальные последовательности и критерий Коши.

Модуль 2.

2.1. Числовые функции, характеристика общих свойств числовых функций. Обзор элементарных функций. Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне. Эквивалентность двух определений. Свойства функций, имеющих конечный предел. Предел монотонной функции. Критерий Коши существования предела функции. Предел композиции функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение функций. Отношения «О» и «о». Эквивалентные функции. Порядок бесконечно малой функции.

2.2. Определение непрерывности функции в точке. Разрывы первого и второго рода. Равномерная непрерывность. Замечательные пределы и их следствия.

Модуль 3.

1.3. Дифференцируемость функции в точке. Производная и дифференциал. Геометрический и механический смысл. Критерий дифференцируемости функций. Правила дифференцирования. Дифференцирование обратной функции и сложной функции. Инвариантность формы записи первого дифференциала. Дифференцирование элементарных функций и таблица производных. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя вычисления предела функции. Формула Тейлора. Различные формы записи остаточного члена в формуле Тейлора. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора в приближенном вычислении значений функции.

3.2. Условия монотонности функции на промежутке. Локальные экстремумы функции. Достаточные условия локального экстремума в терминах первой производной, второй производной и высших производных. Глобальные экстремумы функции. Выпуклые функции. Точки перегиба. Достаточные условия выпуклости и перегиба. Асимптоты.

2 семестр

Модуль 1.

1.1. Основные определения. Свойства неопределенного интеграла. Таблица первообразных основных элементарных функций. Формулы подстановки и интегрирования по частям. Интегрирование рациональных функций, некоторых иррациональных функций, тригонометрических и других трансцендентных функций.

1.2. Определение интеграла Римана. Необходимое условие интегрируемости. Суммы Дарбу и их свойства. Критерий интегрируемости функций по Риману. Другие условия интегрируемости функции по Риману и их эквивалентность. Классы функций, интегрируемых по Риману. Свойства интегрируемых по Риману функций и интеграла Римана. Первая теорема о среднем.

Модуль 2.

2.1. Интеграл с переменным верхним (нижним) пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле. Вторая теорема о среднем. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. Неравенства, содержащие интеграл.

2.2. Кривые в многомерном пространстве. Длина дуги площадь плоской фигуры. Площадь поверхности. Центр тяжести. Статические моменты. Вычисление работы.

Модуль 3.

3.1. Функции ограниченной вариации. Теорема о представлении функции ограниченной вариации и основные свойства. Интеграл Стилтьеса. Признаки существования интеграла Стилтьеса и его вычисление.

3.2. Основные определения. Внутренние, внешние, граничные точки множества в метрическом пространстве. Лемма о последовательности стягивающихся шаров. Принцип сжимающих отображений. Непрерывные отображения метрических пространств. Понятия компакта. Компакты в Rn и полнота пространства Rn . Свойства непрерывных функций на компакте. Связные множества.

3 семестр

Модуль 1.

1.1. Предел функции в Rn. Непрерывные, дифференцируемые функции в Rn. Частные производные. Дифференцирование сложной функции. Производные по направлению. Градиент. Геометрический смысл дифференциала функций двух переменных. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Локальный экстремум функции многих переменных. Неявные функции. Система неявных функций. Условный экстремум функций многих переменных. Дифференцируемые отображения. Матрица Якоби.

1.2. Несобственные интегралы первого и второго рода. Основные свойства. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признаки Абеля и Дирихле. Интеграл в смысле главного значения.

Модуль 2.

2.1.Ряды с неотрицательными членами. Основные признаки сходимости для рядов с неотрицательными членами. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Признаки Абеля и Дирихле. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. Теорема Римана о перестановке членов ряда. Арифметические операции над сходящимися рядами. Двойные и повторные ряды. Бесконечные произведения.

2.2.Сходимость функциональной последовательности ряда. Равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов, (перестановка двух предельных переходов, непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость). Признаки равномерной сходимости Вейерштрасса, Абеля, Дирихле. Степенные ряды. Теоремы Абеля. Радиус сходимости. Формула Коши - Адамара. Аналитические функции. Ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора. Асимптотические степенные ряды. Приложения рядов.

Модуль 3.

3.1. Собственные параметрические интегралы и их свойства (непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость по параметру). Несобственные параметрические интегралы. Равномерная сходимость. Непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость по параметру несобственных интегралов. Применение теории параметрических интегралов. Интегралы Эйлера первого и второго рода. Формула Стирлинга.

3.2. Ряды и интегралы Фурье. Ряды Фурье по тригонометрической системе функций. Осцилляционная теорема Римана. Интеграл Дирихле. Принцип локализации. Основная теорема о сходимости ряда Фурье в точке (условие Дини). Признак Липшица. Суммирование рядов Фурье методом Чезаро-Фейера. Равномерная аппроксимация в среднем непрерывных функций. Теоремы Вейерштрасса. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Полнота и замкнутость тригонометрической системы функций. Связь между степенью гладкости функции и скоростью сходимости ее тригонометрического ряда Фурье. Дифференцирование, интегрирование рядов Фурье. Комплексная форма записи тригонометрического ряда Фурье. Ортогональные системы функций. Ряды Фурье по ортогональным системам. Интеграл Фурье. Понятие о преобразовании Фурье.

4 семестр

Модуль 1.

1.1. Площадь плоской фигуры и объем пространственного тела. Определение меры Жордана. Критерий измеримости множества по Жордану. Свойства меры Жордана. Измеримость спрямляемой кривой. Связь между интегрируемостью функции по Риману и измеримостью по Жордану ее криволинейной трапеции.

1.2. Площадь плоской фигуры и объем пространственного тела. Определение меры Жордана. Критерий измеримости множества по Жордану. Свойства меры Жордана. Измеримость спрямляемой кривой. Связь между интегрируемостью функции по Риману и измеримостью по Жордану ее криволинейной трапеции.

Модуль 2.

2.1. Криволинейные интегралы первого и второго рода. Свойства, вычисление. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Приложения. Формула Грина. Вычисление площади плоской фигуры с помощью формулы Грина. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Интегрирование полных дифференциалов.

2.2. Понятие поверхности. Способы задания поверхности. Первая квадратичная форма поверхности. Сторона и ориентация поверхности. Понятие площади поверхности. Пример Шварца. Квадрируемость гладких поверхностей. Определение поверхностных интегралов первого и второго рода. Свойства, вычисление. Приложения. Формула Гаусса-Остроградского и ее приложения к исследованию поверхностных интегралов. Формула Стокса и ее приложения к исследованию криволинейных интегралов.

Модуль 3.

3.1. Скалярные поля. Градиент. Оператор Гамильтона. Векторные поля. Дивергенция,

Поток векторного поля. Циркуляция. Соленоидальное и потенциальное векторные поля.

3.2. Произведение мер. Теорема Фубини.

6. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).

Не предусмотрены учебным планом.

7. Примерная тематика курсовых работ

Не предусмотрены учебным планом.

8. Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.

Самостоятельная работа призвана закрепить теоретические знания и практические навыки, полученные студентами на лекциях и практических занятиях, развить поставленные компетенции. Кроме того, часть времени, отпущенного на самостоятельную работу, должна быть использована на выполнение домашней работы.

Во время лекционных и практических занятий самостоятельная работа реализуется в виде решения студентами индивидуальных заданий, изучения части теоретического материала, предусмотренного учебным планом.

Во внеаудиторное время студент изучает рекомендованную литературу, готовится к лекционным и практическим занятиям, собеседованиям, устным опросам, коллоквиуму и контрольным работам. При подготовке можно опираться на конспект лекций и литературу, предложенную в разделе 9 данной рабочей программы.

При подготовке к контрольным работам и коллоквиумам рекомендуется использовать учебно-методические комплексы из списка дополнительной литературы. В указанных комплексах содержится подробное описание контрольных работ, коллоквиумов, приводится решение образца варианта контрольной работы по каждому модулю, а также варианты для самостоятельного решения. Указанная литература имеется в библиотеке ТюмГУ, а также на кафедре математического анализа и теории функций Института математики и компьютерных наук.

Критерии успешности обучения

Количественная итоговая оценка определяется как суммарная характеристика фактического уровня знаний студента (в баллах) по совокупности всех форм контроля, предусмотренных по данной дисциплине (максимум – 100 баллов).

Шкала перевода баллов в оценки следующая:

Таблица 6.

Баллы	Зачет
0 – 60	Не зачтено
61 – 100	Зачтено

Таблица 7.

Баллы	Экзамен
0 – 60	Неудовлетворительно
61 – 75	Удовлетворительно (зачтено)
76 – 90	Хорошо
91 – 100	Отлично

Неуспевающие студенты или студенты, желающие повысить оценку, должны сдать экзамен. Экзаменационные билеты включают: два теоретических вопроса по курсу дисциплины за семестр и три практических задачи.