Рабочая программа по дисциплине «Математический анализ» (стр. 3 )

5. Содержание дисциплины по разделам

В процессе изучения дисциплины предполагается проведение лекционных и практических занятий, самостоятельная работа, выполнение одной (двух) контрольной работы и сдача экзамена.

1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ.

Функция. Понятие о множествах. Действительные числа и числовые множества. Абсолютная величина действительного числа. Постоянные и переменные величины. Функции и способы их задания. Область определения функции. Четные, нечетные, монотонные и ограниченные функции. Сложная функция. Понятие элементарной функции. Основные элементарные функции и их графики. Неявные функции. Применение функций в экономике. Интерполирование функций.

Литература: Основная - [4], с. 14-20, с. 38-45; [2], с. 123-140;

дополнительная – [9], глава I.

Предел. Непрерывность функций. Предел переменной величины. Бесконечно большая переменная величина. Предел функции. Функция, стремящаяся к бесконечности. Ограниченные функции. Бесконечно малые и их основные свойства. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы. Задача о непрерывном начислении процентов. Непрерывность функций. Свойства непрерывных функций. Сравнение бесконечно малых.

Литература: Основная - [4], с. 46-65; [2], с. 153-165;

дополнительная - [9], глава II.

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Производная. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функций. Схема вычисления производной. Основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функций. Производные основных элементарных функций. Понятие дифференциала функции. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Понятие о дифференциалах высших порядков. Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике. Задача о распределении налогового бремени.

Литература: Основная - [4], с. 66-76; [2], с. 176-193;

дополнительная - [9], глава III.

Приложение производной. Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя. Применение производных к исследованию функций и построению графиков. Достаточное условие экстремума. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения ее графика. Простейшая модель рынка: функции спроса и предложений.

Литература: Основная - [4], с. 43-46; с. 78-103; [2], с. 194-202; с. 236-239

дополнительная - [9], глава IV, V.

3. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Функции нескольких переменных. Понятие о функциях нескольких переменных. Окрестность точки. Внутренние и граничные точки множества. Открытые и замкнутые множества. Изолированные и предельные точки множества. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Поверхности (линии) уровня функции нескольких переменных. Частные производные, полный дифференциал. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости функции. Производная сложной функции.

Литература: Основная - [4], с. 138-150; [2], с. 383-395;

дополнительная - [9], глава VIII.

Функции нескольких переменных в задачах на оптимизацию. Экстремум функции нескольких переменных. Метод наименьших квадратов в задачах регрессионного анализа. Построение линейного уравнения регрессии. Оценка коэффициентов регрессии. Понятие о парном коэффициенте корреляции и его оценка.

Литература: Основная - [4], с. 155-162; [2], с. 396-406;

4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

Неопределенный интеграл. Понятие первообразной. Свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределённых интегралов. Способы интегрирования: замена переменной в неопределенном интеграле; интегрирование по частям; интегрирование рациональных функций; интегрирование некоторых классов иррациональных и трансцендентных функций.

Литература: Основная - [4], с. 104-115; [2], с. 267-275;

дополнительная - [9], глава X.

Определенный интеграл. Понятие об определённом интеграле и его свойства. Теорема о среднем определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле Интегрирование по частям. Свойства определенного интеграла. Несобственные интегралы и особенности его вычисления.

Литература: Основная - [4], с. 116-124; [2], с. 278-293;

дополнительная - [9], глава XI.

Приложения определенного интеграла. Вычисление площади плоской криволинейной трапеции, объёмов тел вращения, длины дуги. Приложения интегралов к задачам с экономическим содержанием. Связь между функциями дохода и предельного дохода, функции издержек и предельных издержек. Закон роста капитала при известной плотности инвестиций.

Литература: Основная - [4], с. 124-137; [2], с. 294-313;

дополнительная - [9], глава XII.

5. РЯДЫ.

Числовые ряды. Понятие числового ряда. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Достаточные критерии сходимости числовых рядов с неотрицательными членами: первый и второй признаки сравнения, признак Даламбера в предельной форме, интегральный признак, признак Коши. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

Литература: Основная - [2], с. 343-360;

дополнительная – [8], глава XVI, §§ 1-8.

Степенные ряды. Понятие о функциональных рядах. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости cтепенного ряда. Почленная интегрируемость и дифференцируемость степенного ряда на интервале сходимости. Ряды Тейлора (Маклорена). Разложения функций в ряд Маклорена. Применение рядов в приближенных вычислениях.

Литература: Основная - [2], с. 366-380;

дополнительная - [8], глава XVI, §§ 9-20.

6. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Виды дифференциальных уравнений. Общее и частное решение уравнений. Задача Коши. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, линейные однородные и неоднородные уравнения первого порядка, уравнения в полных дифференциалах. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Системы дифференциальных уравнений.

Литература: Основная - [2], с. 319-335;

дополнительная - [8], глава XII, §§ 1-9, §§ 20-25.

6. Содержание практических и лабораторных занятий

Тематика практических и лабораторных занятий	Технология проведения занятия	количество часов	Литература
Функции. Область определения и множество значений функции. Способы задания функций. Сложная и обратная функции. Основные элементарные функции и их графики.	Групповое обсуждение	6	[11] 225-244
Предел. Непрерывность функции. Непрерывность функции в точке. Предел функции в точке. Предел суммы и разности двух функций, произведения и частного двух функций. Первый и второй замечательные пределы. Точки разрыва функции. Достижение наибольшего и наименьшего значений функций.	Дискуссии, решение учебных задач	6	[11], 262-286
Производная функции. Правило дифференцирования суммы, разности, произведения и частного двух функций. Производные основных элементарных функций. Производные сложных и обратных тригонометрических функций. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Дифференциал функции.	Решение практических задач, индивидуальный опрос в конкретных ситуациях	6+8	[11], 288-300
Приложение производных в задачах с экономическим содержанием. Локальный экстремум функции. Производные и дифференциалы высших порядков. Применение производных к исследованию функций и построению графиков. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения ее графика.	Групповое обсуждение, экспресс опрос по теме занятий. Построение графиков с помощью ЭВМ	6	[11], 307-314; 316-325
Функции нескольких переменных (ФНП). Область определения ФНП, непрерывность и пределы. Частные производные и техника дифференцирования ФНП высших порядков. Экстремум функции двух переменных и его необходимое условие. Полный дифференциал ФНП.	Решение практических задач	6	[11], 448-480 [10], 358-370;
Построение эмпирических формул. Метод наименьших квадратов в задачах регрессионного анализа. Построение линейного однофакторного уравнения регрессии. Оценка коэффициента корреляции.	Построение уравнений регрессии с использованием функций Excel	6+10	9, 194-197
Всего за I семестр		36+18
II СЕМЕСТР
Неопределённый интеграл. Таблица неопределённых интегралов. Способы интегрирования: замена переменной в неопределенном интеграле; интегрирование по частям; интегрирование рациональных функций; интегрирование некоторых классов иррациональных и трансцендентных функций.	Индивидуальное решение задач и консультирование	8	[11], 329-350; 355-364
Определенный интеграл. Свойства определённого интеграле. Формула Ньютона-Лейбница. Интеграл с переменным верхним пределом. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.	Групповые дискуссии и обсуждение конкретных ситуаций.	4	[11], 366-375
Практическое приложение определенного интеграла. Вычисление площади плоской криволинейной трапеции, объёмов тел вращения, длины дуги кривой, вычисление поверхности вращения интегралов. Использование собственных интегралов в задачах предельного дохода, и предельных издержек.	Решение задач с использованием комьютерной технологии.	6	[11], 389-419
Числовые ряды. Необходимое условие сходимости числового ряда. Достаточные критерии сходимости числовых рядов с неотрицательными членами: первый и второй признаки сравнения, признак Даламбера в предельной форме, интегральный признак, признак Коши. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.	Индивидуальные консультации студентов в процессе решения учебных задач	6	[10], 310-323
Степенные ряды. Понятие о функциональных рядах. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Разложение в ряд Маклорена бесконечно дифференцируемых функций с использованием базовых разложений: , sin x , cos x , , ln(1+ x) и почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Приближённое вычисление с помощью рядов.	Групповой разбор алгоритмов представления функций в ряд с последующей проверкой результатов на компьютере.	4	[10], 330-342
Дифференциальные уравнения. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Линейные неоднородные уравнения первого порядка, метод вариации постоянной. Уравнения в полных дифференциалах. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.	Групповое решение уравнений.	8	[10], 285-304
Всего за II семестр		18+18
ВСЕГО		54+36

7. Организация самостоятельной работы

Основная цель самостоятельной работы студента при изучении дисциплины – закрепить теоретические знания, полученные в ходе лекционных занятий, а также сформировать практические навыки решения задач по темам курса.