Геометрия

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования города Москвы

«Московский городской педагогический университет»

(ГОУ ВПО МГПУ)

Математический факультет

Кафедра алгебры, геометрии и методики их преподавания

ГЕОМЕТРИЯ

Часть I. Программа учебной дисциплины

Специалитет: 032100.00 «Математика» с дополнительной

специальностью «Информатика»

Факультет: математический

2 курс, 3 семестр. 2 курс, 4 семестр. 3 курс, 5 семестр. 3 курс, 6 семестр. 4 курс, 7 семестр. 5 курс, 9 семестр.

Очная форма обучения

Москва

2009

УДК 514

ББК 22.151p30

Г 36

Рекомендовано к печати

Научно-методическим советом ГОУ ВПО МГПУ

Составители:

профессор, кандидат физико-математических наук, профессор кафедры алгебры, геометрии и методики их преподавания

доцент, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры, геометрии и методики их преподавания

доцент, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры, геометрии и методики их преподавания

Заведующий кафедрой:

профессор, кандидат физико-математических наук, профессор кафедры алгебры, геометрии и методики их преподавания

Рецензент:

профессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры, геометрии и методики их преподавания

Г 36 Геометрия: Учебный комплект дисциплины. Ч. I. Программа учебной дисциплины. Специалитет: 032100.00 «Математика» с дополнительной специальностью «Информатика». Факультет математический. 2 курс, 3 семестр. 2 курс, 4 семестр. 3 курс, 5 семестр. 3 курс, 6 семестр. 4 курс, 7 семестр. 5 курс, 9 семестр. Очная форма обучения / Сост.: , , . – М.: МГПУ, 2009. – 12 с.

Программа обсуждена и утверждена на заседании кафедры алгебры, геометрии и методики их преподавания (протокол заседания кафедры от 01.01.01 г.), утверждена на заседании ученого совета математического факультета (протокол заседания совета № 8 от 01.01.01 г.).

© , 2009.

© , 2009.

© , 2009.

© ГОУ ВПО МГПУ, 2009.

Пояснительная записка

Настоящая программа составлена в соответствии с требованиями ГОС ВПО от 2005 года и рассчитана на 398 часов.

Цель курса геометрии педвуза состоит в освоении теоретических положений и математического аппарата разделов геометрии, имеющих приложения к понимаемому в широком смысле школьному курсу элементарной геометрии.

Задачи курса:

* дать современное базовое теоретическое обеспечение обязательных разделов курса геометрии, определенное действующими стандартами образования;

* сформировать навыки активного применения теоретических знаний к практическим приложениям, в особенности, к решению задач элементарной геометрии;

* сформировать уровень математической культуры, достаточный для осознанной ориентации в многообразии учебной литературы по геометрии для школьников;

* изучить теоретические положения дополнительных разделов геометрических курсов, входящих в программы профильных школ, факультативных курсов и математических кружков;

* ознакомить с основными концепциями и направлениями развития геометрии с целью последующей успешной адаптации к возможным изменениям формы и содержания действующих стандартов образования.

Геометрия - одна из основных дисциплин школьной программы. На ее изучение в настоящее время отводится 5 лет: с 7 по 11 классы. Особенностью школьного курса геометрии является уникальное сочетание наглядности и логической последовательности его построения. Никакая другая из изучаемых в школе математических дисциплин не обладает такими возможностями и не предъявляет к учащимся столь строгих требований. Этой особенностью объясняется значение элементарной геометрии в формировании мышления школьников и определяется место настоящего курса в основной образовательной программе подготовки учителя математики.

Для современной точки зрения на геометрию характерна тенденция алгебраизации - последовательного применения алгебраического аппарата для получения геометрических результатов, что отражает изменения, происходящие на протяжении длительного времени и в самой математике. Эта тенденция определяет тесную связь данного курса с курсом алгебры: ряд разделов настоящего курса широко использует алгебраический аппарат, прежде всего, аппарат линейной алгебры, что потребовало согласования содержания и порядка преподавания обоих дисциплин.

В меньшей мере последнее замечание касается курсов математического анализа и математической логики, поскольку разделы геометрии, использующие аппарат названных дисциплин изучаются на третьем и четвертом курсах и к этому времени уже известны студентам. Отдельные результаты курса геометрии имеют приложения к теоретической физике.

Для успешного освоения настоящего курса студенты должны владеть школьными курсами геометрии и стереометрии в соответствии с действующими стандартами образования.

В целом, программа курса геометрии ориентирована на подготовку учителя математики основной и старшей школ.

Требования к уровню освоения курса геометрии

Обучающиеся должны знать.

Основные операции векторной алгебры. Метод координат на плоскости и в пространстве, включая уравнения прямых линий и плоскостей, а также линий и поверхностей второго порядка. Основные геометрические преобразования плоскости и пространства. Многомерные аффинные и евклидовы пространства. Квадратичные формы и квадрики. Методы решения задач на построение. Примеры задач, неразрешимых циркулем и линейкой. Методы изображения плоских и пространственных фигур при параллельном проектировании. Общие вопросы аксиоматики. Системы аксиом Гильберта и Вейля евклидова пространства. Элементы геометрии Лобачевского, включая модели геометрии Лобачевского. Аксиоматическое определение длины отрезка, площади многоугольника, объема многогранника, включая теоремы их существования и единственности. Проективное пространство и его модели. Основные факты проективной геометрии. Основные понятия общей топологии. Определение и основные примеры топологических многообразий. Понятие гладкой линии и поверхности. Формулы Френе. Первую и вторую квадратичные формы поверхности. Понятие кривизны поверхности.

Обучающиеся должны уметь.

Применять метод координат и векторную алгебру к решению задач. Применять основные геометрические преобразования к решению задач. Исследовать свойства кривых второго порядка по их каноническим и общим уравнениям. Приводить уравнение квадрики к нормальному и каноническому виду. Применять на практике методы решения задач на построение. Строить изображения плоских и пространственных фигур при параллельном проектировании. Решать аффинные и метрические задачи аксонометрии. Проводить исследование аксиоматик евклидовой геометрии, предлагаемых в учебной литературе для школьников. Применять конструктивные теоремы проективной геометрии к задачам элементарной геометрии, в частности на построение одной линейкой. Исследовать основные характеристики гладких линий и поверхностей.

Обучающиеся должны иметь представление:

О теоретико-групповой точке зрения на геометрию и основных геометрических инвариантах. О методе Монжа построения изображений при параллельном проектировании. Об инвариантах и классификации двумерных связных компактных многообразий. О внутренней геометрии поверхности.

Требования государственного стандарта

Векторы и операции над ними. Метод координат на плоскости и в пространстве. Прямая линия на плоскости, прямые и плоскости в пространстве. Линии второго порядка, поверхности второго порядка. Преобразования плоскости и пространства. Аффинные и евклидовы n-мерные пространства. Квадратичные формы и квадрики. Проективные пространства и их модели. Основные факты проективной геометрии. Изображения плоских и пространственных фигур при параллельном проектировании. Аксонометрия. Элементы топологии. Понятия гладкой линии и гладкой поверхности. Формулы Френе. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Внутренняя геометрия поверхности. Исторический обзор обоснований геометрии. “Начала” Евклида. Элементы геометрии Лобачевского. Общие вопросы аксиоматики. Системы аксиом Вейля евклидова пространства. Неевклидовы пространства. Длина отрезка. Площадь многоугольника. Теорема существования и единственности.

Распределение тематических разделов курса геометрии по семестрам

№ п/п	Наименование разделов	№ семестра	Форма промежуточного контроля	Форма итогового контроля
1.	Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве	3	экзамен
2.	Геометрические преобразования. Многомерная геометрия	4	зачет
3.	Геометрические построения на плоскости. Методы изображений	5	зачет
4.	Основания геометрии	6	экзамен
5.	Проективная геометрия	7	дифференцированный зачет
6.	Элементы топологии и дифференциальной геометрии	9		дифференцированный зачет

Содержание курса геометрии

Раздел 1. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Векторы на плоскости и в пространстве линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов, базис. Разложение вектора по векторам базиса на плоскости и в пространстве. Ориентация плоскости и пространства. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов и их свойства. Метод координат на плоскости и в пространстве. Применение векторной алгебры и метода координат к решению задач элементарной геометрии. Прямая линия на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве. Применение уравнений прямых и плоскостей к решению задач элементарной геометрии. Свойства кривых второго порядка на плоскости. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду с помощью преобразования системы координат. Классификация кривых второго порядка на плоскости. Изучение свойств кривых второго порядка по их общим уравнениям. Асимптотические направления и асимптоты, центры кривой второго порядка, диаметры и сопряженные диаметры. Изучение свойств поверхностей второго порядка в пространстве по их каноническим уравнениям методом сечений.

Раздел 2. Геометрические преобразования.

Преобразования плоскости и пространства. Понятие группы преобразований. Частные виды движений. Движения(е) общего вида, их классификация. Движения(е) пространства. Подобия плоскости и пространства, их свойства. Аффинные преобразования плоскости и пространства. Инверсия плоскости.

Раздел 3. Многомерная геометрия.

Аксиомы Вейля многомерного аффинного и евклидовых пространств и основные следствия из них. Координаты точек и простейшие задачи в координатах. k-плоскости, их уравнения и свойства. Векторные пространства. Линейные операторы в векторных пространствах. Евклидовы векторные пространства. Ортогональные преобразования евклидовых векторных пространств. Аффинные преобразования и движения многомерных пространств. Квадратичные формы векторного пространства и квадрики в аффинных пространствах, их аффинная классификация. Приведение квадратичных форм в евклидовых векторных пространствах к каноническому виду. Квадрики на евклидовой плоскости и в евклидовом трехмерном пространстве, их классификация.

Раздел 4. Геометрические построения на плоскости.

Геометрические построения на плоскости. Постулаты и основные построения циркулем и линейкой на плоскости. Метод конструктивных множеств, геометрических преобразований и алгебраический метод при решении задач на построение. Разрешимость задач на построение циркулем и линейкой, классические задачи, неразрешимые циркулем и линейкой.

Раздел 5. Методы изображений.

Параллельное проектирование и его свойства, изображение плоских фигур, многогранников и круглых тел при параллельном проектировании. Аксонометрия и ее свойства, аффинные и метрические задачи аксонометрии. Метод Монжа.

Раздел 6. Основания геометрии.

Понятие о математической структуре и системе аксиом, непротиворечивость, независимость и полнота системы аксиом. Исследование системы аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства и построение начал геометрии на основе аксиоматики Вейля. Аксиоматика Гильберта трехмерного евклидова пространства (обзор), основные следствия из этой системы аксиом и ее исследование.

Проблема пятого постулата Евклида, теоремы Лежандра, утверждения, равносильные аксиоме параллельности евклидовой геометрии. Аксиома параллельности Лобачевского, параллельные прямые на плоскости Лобачевского и их свойства. Свойства треугольников и четырехугольников на плоскости Лобачевского. Угол параллельности и его свойства. Свойства параллельных и расходящихся прямых. Свойства окружности, эквидистанты и орицикла. Непротиворечивость геометрии Лобачевского. Понятие о геометрии Римана.

Длина, площадь и объем, теоремы существования и единственности, равновеликие и равносоставленные фигуры. Аксиоматики школьного курса геометрии (обзор).

Раздел 7. Проективная геометрия.

Аксиомы проективного пространства. Модели проективной плоскости и пространства. Прямые и их свойства. Система координат и проективные координаты точек, однородные и неоднородные координаты точек на расширенной аффинной плоскости. Принцип двойственности, теорема Дезарга. Двойное отношение точек на проективной прямой и прямых в пучке, их свойства. Гармонические свойства полного четырехвершинника. Проективные отображения прямых и пучков, их свойства. Проективные преобразования прямой. Инволюция и ее свойства. Проективные преобразования плоскости. Аналитическое выражение проективных преобразований. Гомология и ее свойства. Линии второго порядка на проективной плоскости, их классификация. Касательные к линии второго порядка, полюсы и поляры. Свойства вещественной овальной линии второго порядка. Теоремы Штейнера, Паскаля, Брианшона. Геометрия на проективной плоскости с фиксированной прямой. Линии второго порядка на проективной плоскости с фиксированной прямой. Интерпретация евклидовой и неевклидовых геометрий на проективной плоскости.

Раздел 8. Элементы топологии и дифференциальной геометрии.

Метрические пространства. Топологические пространства, открытые и замкнутые множества и их свойства. Внутренние, внешние и граничные точки, замыкание множества топологического пространства. Подпространства топологического пространства, отделимость, связность и компактность топологических пространств. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы. Топологические многообразия и их простейшие свойства, ориентируемость топологических многообразий. Многогранники в евклидовом пространстве, правильные многогранники.

Понятие линии в евклидовом пространстве, касательная, длина дуги. Кривизна и кручение линии, формулы Френе. Понятие поверхности, касательная плоскость и нормаль к поверхности. Первая квадратичная форма поверхности, задачи на вычисление длины дуги кривой на поверхности, угла между линиями поверхности и площади области поверхности. Вторая квадратичная форма и кривизна кривой на поверхности, индикатриса Дюпена, главные кривизны, полная и средняя кривизны поверхности, теорема Родрига. Поверхности постоянной кривизны. Деривационные формулы поверхности, теорема Гаусса о полной кривизне поверхности. Изгибание поверхностей, изометрические поверхности. Геодезические линии на поверхности и их свойства, теорема Гаусса - Бонне.

Основная литература

1. Атанасян задач по геометрии. Ч.1 / , . – М.: Просвещение, 1973. – 255 с.

2. Атанасян 1 / , . – М.: Просвещение, 1986. – 336 с.

3. Атанасян 2 / , . – М.: Просвещение, 1987. – 352 с.

4. Атанасян задач по геометрии Ч.2 / , , и др. – М.: Просвещение, 1975. – 176 с.

5. Атанасян 1 / . – М.: Жизнь и мысль, 2001. – 376 с.

6. Атанасян задач по геометрии ч. 1 / . – М.: Жизнь и мысль, 2000. – 144 с.

7. Атанасян -практикум по геометрии / , . – М.: Просвещение, 1994. – 192 с.

8. Базылев задач по геометрии / , , и др. – М.: Просвещение, 19с.

9. Покровский построения на плоскости / . – М.: Жизнь и мысль, 2002. – 128 с.

Дополнительная литература

1. Борисович в топологию / , , и др.– М.: Высшая школа, 1980. – 295 с.

2. Основания геометрии / Д. Гильберт. – М.: Гостехиздат, 1948. – 491 с.

3. Наглядная геометрия / Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен. – 3 изд. – М.: Наука, 1981. – 344 с.

4. Дубровин геометрия / , , А, Т. Фоменко. – М.: Наука, 1979. – 760 с.

5. Ефимов геометрия / . – М.: Наука, 1978. – 576 с.

6. Топология / Т. Зейферт, В. Трельфалль. – М.;Л.: ГОНТИ, 1938. – 400 с.

7. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 2. Геометрия / Ф. Клейн. – 2 изд. – М.: Наука, 1987. – 416 с.

8. Мищенко задач по дифференциальной геометрии и топологии / , , . – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. – 184 с.

9. Мищенко по геометрии / , С. П, Новиков, и др. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. – 160 с.

10. Погорелов геометрия / . – М.: Наука, 1974. – 170 с.

, , Глизбург (программа курса): первая часть учебно-методического комплекса для преподавателей и студентов Московского городского педагогического университета обучающихся по специальности «математика». – М.: МГПУ, 2009 – 12 с.