Контрольная работа по геометрии
6 курс 12 семестр
Прямая и плоскость в пространстве.
1) Написать каноническое уравнение прямой.
I. 
II. 
III. 
IV. 
V. 
VI. 
VII. 
VIII. 
IX. 
X. 
2) Исследовать взаимное расположение заданных плоскостей P1 и P2. Если P1 и P2 параллельны, то найти расстояние между ними. Если плоскости P1 и P2 пересекаются, то найти угол между ними.
I. 
II. 
III. 
IV. 
V. 
VI. 
VII. 
VIII. 
IX. 
X. 
3) Исследовать взаимное расположение двух прямых заданных своими каноническими уравнениями.
Если прямые пересекаются, то найти угол между ними и составить уравнение плоскости проходящей через них. Если прямые параллельны, то найти расстояние между ними и составить уравнение плоскости, проходящей через них. Если прямые скрещивающиеся, то найти расстояние между ними.
Варианты.
I. 
II. 
III. 
IV. 
V. 
VI. 
VII. 
VIII. 
IX. 
X. 
4) Найти проекцию точки М на прямую и на плоскости.
Варианты.
I. 
II. 
III. 
IV. 
V. 
VI. 
VII. 
VIII. 
IX. 
X. 
Методические указания.
№ 1
Дано: 
Найдем точку, принадлежащую обеим плоскостям, а значит и прямой пересечения плоскостей. Пусть Z=0, тогда
X = -3 + 3y 9y = 0
X = -3 + 3 * 0 y = 0
X = -3
M (-3; 0; 0) – искомая точка.
Найдем координаты направляющего вектора прямой пересечения плоскостей.
= 
= -3 + 6 = 3
= 
= -4 + 1 = -3
= 
= 3 + 6 = 9
Напишем уравнение прямой в каноническом виде.
М (x0, y0, z0) 
прямой
Ответ: 
.
№ 2
а)Дано: 
Если соответственные числовые коэффициенты при переменных пропорциональны и пропорциональны свободные члены, то плоскости совпадают т. е.
Если соответственные числовые коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены не пропорциональны, то плоскости параллельны т. е.
Если соответственные числовые коэффициенты при переменных не пропорциональны, то плоскости пересекаются, т. е.
плоскости параллельны
Найдем точки М принадлежащую плоскости Р1
Пусть Z = 0, то x - 3y + 3 = 0
x = 3y – 3
пусть Y = 0, то x = -3
M (-3; 0; 0) P1
Найдем расстояние от точки М до плоскости Р2
б)Дано: 
Р1 и Р2 пересекаются
№ 3
а)Дано: 
Координаты направляющих векторов прямых 
и 
Если
2 12 
лежат в одной плоскости;
Где 
- параллельны
- пересекаются
Или 
, то и - скрещивающиеся.
= 
= 3 – 12 – 10 + 6 + 4 – 15 == -24 
и - скрещивающиеся
Найдем расстояние от 
до .
М1 (0; -1; 2) М0 (2; 1; 3) 
X1 Y1 Z1 X0 Y0 Z0
= 
2
4
-3
Ответ:
.
б)Дано: 
=+ 4 + 48 + 36 = 0
и лежат в одной плоскости и параллельны.
Найдем расстояние между прямыми: 
до прямой
М1 (0; 2; 2) М0 (-1; 0; -1) 
X1 Y1 Z1 X0 Y0 Z0
Ответ: 
в)Дано: 
и лежат в одной плоскости
и - пересекаются
находим угол между направляющими векторами.
Ответ: 
№ 4
а) Дано: 
М
- координаты направляющего вектора 
Напишем уравнение плоскости перпендикулярной прямой и проходящий через М
- вектор нормали плоскости т. к. 
- уравнение плоскости
Найдем уравнение t
М0 (-1; 0; -1) 
X0 Y0 Z0
Подставим t в уравнение прямой в параметрическом виде и получим координаты точки, принадлежащие плоскости 
и прямой, т. е. координаты проекции.
Ответ: 
б) Дано: 
- вектор нормали плоскости.
Напишем уравнение прямой через точку М и перпендикулярной плоскости , у которой
Найдем параметр t
Подставим в уравнение прямой в параметрическом виде и найдем координаты проекции точки на плоскость.
Ответ: 
)
