Методические указания по организации самостоятельной работы студентов при изучении дисциплины «Экспертиза и диагностика объектов и систем сервиса» (стр. 10 )

(1)

(2)

Выражение (1) – это прямое, дискретное преобразование Фурье.

Выражение (2) – это обратное, дискретное преобразование Фурье.

Вектор можно задавать в виде многочлена (полинома)- :

,

который с помощью ДПФ в поле Галуа может быть преобразован в многочлен (полином):

.

Многочлен называют спектральным многочленом или многочленом в частотной области вектора .

Теорема 1.

a) – тая частотная компонента равна нулю тогда и только тогда, когда элемент является корнем многочлена ;

b) – тая временная компонента равна нулю тогда и только тогда, когда элемент является корнем многочлена ;

Доказательство:

Берём

, т. е.

, если , т. е.

- является корнем многочлена .

Теорема 2 (о свёртке).

Пусть во временной области заданы два вектора и , которым соответствуют в частотной области векторы

и .

Тогда покомпонентному произведению векторов в частотной области взаимно однозначно соответствует их циклическая свёртка во временной области , где - знак циклической свёртки, а
,

Двойная скобка означает вычисление индексов по модулю

(т. е. ). Многочлен циклической свёртки имеет вид:
.

Справедлива также и обратная теорема, нужно только поменять местами временную и частотную, области.

Кодирование RS (спектральный подход)

Любое кодовое слово является прямым преобразованием Фурье некоторого вектора

,

нули в скобках это «n- k»

Декодирование RS (спектральный подход)

При передачи по каналу связи к кодовому слову V добавляется вектор ошибки E кратности , где (исправляется ошибок).

Принятый вектор

В силу линейности ОБПФ имеем:

*{

Примечание: из методических соображений

информационный вектор размещён

в старших разрядах вектора v.

Здесь - информационный вектор (во временной области)
- обратное преобразование вектора ошибок .

Так как правых компонент вектора *{ не зависят от кодового слова , то они образуют синдром ошибок. Запишем синдром в виде:

где

Обозначим индексы нулевых компонент вектора через

Введём многочлен локаторов ошибок:

,

определив его свойства следующим образом: прямое ДПФ вектора

должно содержать нулевые компоненты для всех частот , для которых: .

Следовательно, покомпонентное произведение прямого преобразования Фурье от многочлена на вектор ошибки в частотной области равно нулю, а значит и циклическая свёртка во временной области вектора с вектором также равна нулю (это соответствует Теореме 2 (о свёртке) в обратном варианте)

(3)

Если кратность ошибки е известна , то из выражения (3) можно составить систему линейных уравнений с известными:

………………………………… (4)

Пример:

максимальное число исправляемых ошибок

при число уравнений в системе (4) равно 8.

Из системы уравнений (4) вычисляются неизвестных после чего начинается вычисление (путём продолжения циклической свёртки) компонентов вектора информационной части кодового слова. На первом шаге решается уравнение:

Относительно одного неизвестного .

Запишем, осуществляя следующий циклический сдвиг, получаем следующее уравнение

Относительно единственного неизвестного .

Рекуррентно продолжая процедуру найдём все оставшиеся компоненты вектора .

Далее находятся компоненты исходного (неискажённого) путём почленного вычитания (то есть суммирования по модулю из компонент принятого вектора (во временной области) соответствующих компонент вектора .