Самостоятельная работа учащихся, как одно из средств повышения качества образования (стр. 3 )

Аа

Часть 2

7. Косинус одного из острых углов прямоугольного треугольни­ка равен 0,6. Чему равен другой острый угол?

8. Вычислите tg (arcsin .

*>!■•

3

9. Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего

отрицательного корней уравнения

*-— - 3cos(7n - х) ■ sin(x + 13я) = 2. Определите число корней уравнения sinx =- .

А) 4;

Б) 3; В) 5; Г) 6.

Приложение 9

Интеграл (9 часов)

Урок №1

«Площадь криволинейной трапеции»

Цель урока: Ввести понятие криволинейной трапеции и рассмотреть ее площадь

Ход урока

I Итоги и анализ контрольной работы

Учащихся не справившихся с контрольной работой пригласить на консультацию, где отработать приемы решения тех или иных заданий.

Разобрать решение заданий, вызвавших наибольшее затруднение учащихся.

Учащимся, не справившимся с работой предложить в качестве дополнительного задания карточку.

Карточка

1 Найдите первообразные функций:

а) б)

в) г)

2 Повторите формулы первообразных функций и правила нахождения первообразных

а) Применяя правило 1, найдите первообразную функции:

б) Применяя правила 1 и 2, найдите первообразную функции:

1) 2)

в) Применяя правило 3, найдите первообразную функции:

1) 2)

3)

3 Найдите первообразную функции:

а) б)

в) г)

д) е)

II Объяснение нового материала

1 Ввести определение криволинейной трапеции.

2 Рассмотреть с учащимися заранее заготовленные рисунки на доске (или с помощью кодоскопа)

Рисунок – 1 Рисунок - 2

Рисунок – 3 Рисунок - 4

Выяснить, какие из предложенных являются криволинейными трапециями.

3 Вывод формулы для вычисления площади криволинейной трапеции.

S=F(в)-F(a).

4 Закрепление изученного материала.

№ 000 (а; б; г).

5 Итоги урока (страница 200 учебника В4 №1).

6 Домашнее задание п.29 № 000 (в), № 000 (в; г).

Урок №2

«Нахождение площади криволинейных трапеций»

Цель урока: Отработать с учащимися приемы и навыки нахождения площади криволинейной традиции

Ход урока

I Устные упражнения и проверка степени усвояемости учебного материала.

1 Устный счет

а) Какие из предложенных фигур, являются криволинейными трапециями.

Рисунок – 1 Рисунок - 2

Рисунок – 3 Рисунок - 4

б) Найдите общий вид первообразных для функций:

а) б)

в) г)

2 Работа у доски по карточкам

Карточка №1

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

y=sinx; y=0; x=0; x=2p/3, используя формулу S=F(в)-F(a).

Карточка №2

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

y=соsx; y=0; x=-p/6; x=p/2, используя формулу S=F(в)-F(a).

3 Работа с карточками на месте

Карточка №3

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

y=2соsx; y=0; x=p/2; x=3p/2, используя формулу S=F(в)-F(a).

Карточка №4*

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

y=2sinx; y=0; x=p; x=2p, используя формулу S=F(в)-F(a).

II Решение упражнений и задач на вычисление площади криволинейной трапеции

№ 000 (б, г); № 000 (а, г)

III Самостоятельная работа

Вычислите площадь фигуры, изображенной на рисунке:

Вариант 1 Вариант 2

Ответ: Ответ: 4

Вариант 3 Вариант 4

Ответ: 4,5 Ответ:

IV Итоги урока

V Домашнее задание

П.29 № 000 (а, в); № 000 (б)

Приготовить сообщение о Ньютоне и Лейбнице.

Урок №3

«Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.»

Цель урока: объяснить, что такое интеграл, вывести формулу Ньютона-Лейбница, показать как вычисляются интегралы.

Ход урока.

1 Проверка домашнего задания.

Проверить фронтально решение домашнего задания. Ответить на вопросы учащихся.

2 Объяснение нового материала.

а) Ввести понятие об интеграле.

б) Формула Ньютона-Лейбница.

Понятие об интеграле.

Рассмотрим другой подход к задаче вычисления площади криволинейной трапеции.

Зададим на отрезке [а, в] (а и в – конечные числа) неотрицательную непрерывную функцию f(x).

График её изображен на рисунке 1.

Рисунок 1

Поставим задачу:

Разумно определить понятие площади фигуры, ограниченной кривой y=f(x), осью х, прямыми х=а х=в и вычислить эту площадь.

Поставленную задачу естественно решить так.

Произведем разбиение отрезка [а, в] на n частей точками а=х0<х1<…<хn-1<хn=в.

Выберем на каждом из частичных отрезков [xj, Xj+1] (j=0, 1, …, n-1) по произвольной точке hj, определим значения f(hj) функции f в этих точках и составим сумму.

Эту сумму называют интегральной суммой и она равна сумме площадей заштрихованных прямоугольников.

Будем стремить Dxj к нулю, и притом так, чтобы максимальный (самый большой) частичный отрезок разбиения стремится к нулю. Если при этом величина Sn стремится к определенному пределу S, не зависящему от способа разбиения и выбора точек hj на частичных отрезках, то величину S называют площадью данной криволинейной фигуры.

Таким образом

(1)

Возникает вопрос: имеет ли каждая такая фигура площадь?

Этот вопрос решается положительно:

Каждая определенная выше криволинейная фигура, соответствующая некоторой непрерывной функции f(x), действительно имеет площадь в смысле указанного определения, выражаемую зависящим от этой фигуры числом S. Обратим внимание на выражение 1. Отвлекаясь от задачи нахождения площади, мы можем на него смотреть как на некоторую операцию, при помощи которой на данной функции f на (конечном) отрезке [a; b], а результат ее, если он существует, называется определенным интегралом от f на [a, b] и записывается так:

. (2)

Обратить внимание учащихся на то, что функция f(x) не обязательно положительная на [a, b]. Она может быть отрицательной или менять знак.

б) a и b произвольные числа, в частности, может быть a = b и a > b.

в) a и b числа из промежутка, на котором f имеет первообразную.

Рассмотреть пример:

Функция имеет первообразную на (-¥, 0) и (0, +¥). А концы отрезка [-1; 2] – числа –1 и 2 Î разным из этих двух промежутков, поэтому нельзя говорить об интеграле от –1 до 2 функции .

Числа a и b – пределы интегрирования.

a – нижний,

b – верхний,

- знак интеграла.

f – подинтегральная функция

x – переменная интегрирования.

б) Формула Ньютона-Лейбница.

Указать учащимся, что непосредственное вычисление определенного интеграла по формуле 2 связано с трудностями: интегральные суммы сколько ни будь сложных функций имеют громоздкий вид и зачастую легко преобразовать их к виду, удобному для вычисления пределов. Во всяком случае на этом пути не удалось создать общих методов. Впервые задачу этого рода решил Архимед. При помощи рассуждений, которые отдаленно напоминают современный метод пределов, он вычислил площадь сегмента параболы. В дальнейшем на протяжении многих веков многие математики решали задачи на вычисление площадей фигур и объемов тел. Существенный сдвиг в этом вопросе внесли Ньютон и Лейбниц, указавшие общие метод решения таких задач. Они показали, что вычисление определенного интеграла от функции может быть сведено к отысканию ее первообразной.

Записать формулу Ньютона-Лейбница и рассмотреть пример 2 учебника.

III Заслушать сообщение о Ньютоне и Лейбнице.

IV Закрепление изученного материала

№ 000 (б, г) № 000(а, б) № 000(в, г)

V Итоги урока:

VI Домашние задание. Записи.30.

№ 000(а, в) № 000(в, г) № 000(а, в)

Урок 4.

²Вычисление определенного интеграла. Нахождение площади криволинейных трапеций².

Цель урока: Отработка навыков и умений вычисления определенных интегралов и площадей криволинейных трапеций. Проверить степень приобретения навыков.