Московский педагогический государственный университет
П Р О Г Р А М М А
по специальности 01.01.06 – математическая логика, алгебра и теории чисел
для поступающих в аспирантуру.
Составители : проф.
проф.
Поступающий должен обладать знаниями курсов алгебры, математического анализа и теории чисел (программа прилагается) в объеме программы педвузов, а также владеть всем материалом, входящим в следующие разделы математики: введение в математический анализ, дифференциальное и интегральное исчисление, ряды, дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, ряды Фурье, теория аналитических функций.
Дополнительные главы математического анализа.
Степенные ряды. теоремы Абеля и Таубера. Двойные ряды. Бесконечные произведения. Равномерная сходимость бесконечных произведений. Несобственные интегралы. Равномерная сходимость несобственных интегралов с параметром. Повторные несобственные интегралы. Гамма-функция. Интеграл Коши, ряды Тейлора и Лорана. Теорема Лиувилля. Изолированные особенности аналитической функции. Бесконечно удаленные особые точки. Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций. Применение контурного интегрирования для вычисления определенных интегралов.
Программа курса "Теория чисел"
1. Делимость.
Теорема о делении с остатком. Отношение делимости и сравнимости в кольце целых чисел. НОД и НОК. Простые и составные числа. Решето Эратосфена. Многочлены с простыми значениями. Алгоритм Евклида. Нахождение НОК и НОД. Неопределенные уравнения 1-й степени. Свойства взаимно простых чисел. Основное свойство простого числа. Каноническое разложение. Целая и дробная части числа. Мультипликативные функции: сумма и число делителей. Число целых точек под гиперболой и среднее значение 
. Число целых точек в круге.
2. Числовые функции.
Основная теореме арифметики. Кольца с однозначным и неоднозначным разложением на простые множители. Арифметические приложения основной теоремы арифметики. Классы иррациональностей. Числовые функции: функция Мебиуса, функция Эйлера. Мультипликативность. Явные формулы. Тождество Гаусса для функции Эйлера. Теорема для числа простых чисел, не превосходящих данной границы. Оценка n-го простого числа. Расходимость ряда из обратных простым. Понятие об асимптотическом законе распределения простых чисел.
3. Теорий сравнений.
Сравнения по натуральному модулю. Классы целых чисел по данному модулю. Кольцо классов чисел. Мультипликативная группа классов чисел, взаимно простых с модулем. Полная и приведенная системы вычетов по данному модулю. Теоремы Эйлера и Ферма. Псевдопростые числа. Приложения теории сравнений к выводу признаков делимости, определению остатков от деления арифметических выражений и др. Показатель числа по данному модулю. Свойства показателей. Вычисление показателя. Редукция к простому модулю. Длина периода разложения обыкновенной дроби в систематическую. Первообразные корни по простому и составному модулю. Индексы и их свойства. Сравнения и системы сравнений первой степени. Неопределенное уравнение первой степени. Способы решения сравнений первой степени. Китайская теорема об остатках. Сравнения по простому модулю. Теоремы о числе решений и о понижении степени. Теорема Вильсона. Точная формула для числа простых чисел для n-го простого числа. Сравнения с одним неизвестным по составному модулю. Редукция к сравнению по степени простого и к простому модулю. Двучленные сравнения. Сравнения второй степени. Квадратичные вычеты и невычеты. Символ Лежандра и его свойства. Критерий Эйлера. Квадратичный закон взаимности. Приложение символа Лежандра к определению простых делителей квадратичной формы. Доказательства бесконечности множества простых числе в арифметических прогрессиях. Понятие о теореме Дирихле о бесконечности простых в арифметических прогрессиях.
4. Цепные дроби.
Цепные дроби. Полные частные и подходящие дроби, их свойства. Представление действительных чисел цепными дробями. Возможность и единственность такого представления. Приближение действительных чисел подходящими дробями. Теорема Дирихле о приближении действительных чисел рациональными дробями с заданным ограничением для знаменателя. Приложение теоремы Дирихле к представлению простого числа в виде суммы двух квадратов натуральных чисел. Квадратичные иррациональности и периодические цепные дроби. Решение диофантовых уравнений с помощью цепных дробей. Уравнение Пелля.
5. Алгебраические и трансцендентные числа.
Алгебраические и трансцендентные числа. Теорема Лиувилля. Построение трансцендентных чисел. Иррациональность чисел е и 
. Понятие о теореме Линдемана и арифметические следствия из нее. Представление о теореме Гельфонда.
Литература:
1. Виноградов теории чисел.
2. Бухштаб чисел.
3. Титчмарш функций.
4. Основы математического анализа.
5. , Классическое введение в современную теорию чисел.
6. Шабат в комплексный анализ, т. 1.
