Серия Электричество и магнетизм. Электростатика (стр. 2 )

1.4. Положительно заряженная стеклянная палочка притягивает подвешенное на нити тело. Можно ли утверждать, что тело заряжено отрицательно?

2. Точечный заряд. Закон Кулона

От элементарных зарядов следует отличать точечные заряды, под которыми понимают заряженные тела, линейными размерами которых можно пренебречь по сравнению с расстояниями между ними. Таким образом, точечный заряд может состоять из множества элементарных зарядов.

Электростатика изучает взаимодействие и условия равновесия электрически заряженных тел. Первые количественные исследования по электростатике были выполнёны Ш. Кулоном, который в 1785 г. экспериментально, с помощью крутильных весов, установил закон взаимодействия точечных зарядов – закон Кулона, основной количественный закон электростатики.

Сила взаимодействия двух точечных зарядов и пропорциональна величине каждого из зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль прямой, соединяющей эти заряды. Для случая взаимодействия зарядов в вакууме (воздухе) закон Кулона имеет вид

, (3)

где – коэффициент пропорциональности. В векторной форме закон Кулона записывается в виде

. (4)

Вектор совпадает с направлением вектора силы .

Коэффициент пропорциональности k в Международной системе единиц СИ полагают равным , где – электрическая постоянная.

Единицей заряда в системе СИ является кулон, измеряется в метрах, тогда сила, вычисленная по формуле (3), измеряется в ньютонах.

С учетом значения k формула (3) принимает вид

. (5)

Если взаимодействие зарядов происходит в какой – либо непроводящей среде (диэлектрике), то закон Кулона имеет вид

, (6)

где носит название диэлектрической проницаемости среды и показывает во сколько раз сила взаимодействия между двумя точечными зарядами в вакууме больше силы взаимодействия между этими же зарядами в среде.

Закон Кулона справедлив также для равномерно заряженных шаров. В этом случае есть расстояние между центрами шаров. Закон Кулона входит в число основных экспериментальных фактов, на которых построено учение об электричестве. Его обобщение приводит, в частности, к электростатической теореме Гаусса. Проверка справедливости закона Кулона и установление границ его применения являются важнейшими задачами, на решение которых были направлены значительные усилия экспериментаторов. Непосредственными опытами и косвенными экспериментальными методами (в случае больших и малых расстояний) установлено, что закон Кулона можно использовать от расстояний порядка до . Нет оснований сомневаться, что и за пределами этих расстояний закон Кулона также выполняется.

Как показывает опыт, независимо от числа зарядов, закон Кулона можно использовать для вычисления силы взаимодействия каждой пары из этих зарядов. Это положение носит название принципа суперпозиции сил. Суть его состоит в том, что сила, действующая на выбранный заряд со стороны системы зарядов, есть векторная сумма сил, действующих на этот заряд со стороны каждого заряда системы.

. (7)

В качестве примера найдем силу, действующую на положительный заряд со стороны положительных зарядов и . (рис. 2) Сила, действующая на заряд со стороны заряда равна , а со стороны – . Результирующая сила равна и направлена, как указано на рисунке.

2.1. Как формула учитывает то факт, что заряды притягиваются или отталкиваются?

2.2. Какой должна быть масса протона, чтобы сила гравитационного притяжения между двумя покоящимися протонами по величине совпадала с силой их электрического отталкивания? Каково отношение этой массы к обычной массе протона?

2.3. Будет ли устойчивым положение равновесия точечного заряда, находящегося посередине между двумя другими одинаковыми точечными зарядами. Рассмотрите случай, когда заряд, находящийся посередине, противоположен по знаку двум другим зарядам, и когда он того же знака, что и два других.

2.4. Какой физический смысл имеет формула , где – радиус – вектор точки, в которой находится заряд ?

2.5. Какой физический смысл имеет выражение , где – радиус – вектор точки, в которой находится заряд ? Чему равно это выражение?

3. Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Однородное поле и поле точечного заряда

Взаимодействие электрических зарядов осуществляется с конечной скоростью посредством электрического поля. Каждая электрически заряженная частица создает электрическое поле, действующее на другие электрически заряженные частицы. Представление об электрическом (электромагнитном) поле было введено М. Фарадеем в 30-х гг. XIX в. Согласно Фарадею, каждый покоящийся заряд создает в окружающем пространстве электрическое поле. Причем электрические заряды всегда связаны с материальным носителем, и поэтому речь фактически идет об электрически заряженных телах. Поле одного заряда действует на другой заряд, и наоборот. Таким образом, электрическое поле одного заряда может быть обнаружено посредством другого заряда.

Пусть имеется точечный электрический заряд q, вокруг которого существует электрическое поле (электрическое поле неподвижных зарядов принято называть электростатическим полем). Назовем этот заряд источником поля, исследуем это поле посредством так называемого пробного точечного заряда . На пробный заряд , помещенный в некоторую точку поля, действует сила, по величине которой можно судить о поле. Величина этой силы зависит как от величины заряда q – источника поля, так и от величины пробного заряда . Таким образом, на разные пробные заряды , и т. д. действуют разные силы , и т. д. Однако отношение силы к величине пробного заряда для всех зарядов одно и то же и зависит лишь от заряда q – источника поля и расстояния до него. Это отношение используют в качестве количественной характеристики электрического поля и называют напряженностью.

. (8)

Из (8) следует, что и при , . Таким образом, напряженность электрического поля численно равна силе, с которой поле данного заряда действует на единичный точечный заряд, помещенный в данную точку поля. Направление вектора совпадает с направлением вектора силы , действующей на положительный заряд в данной точке поля. Если поле создано положительным зарядом, то вектор направлен по радиус – вектору от заряда (рис. 3). Если же поле создано отрицательным зарядом, вектор направлен к заряду (рис. 4).

За единицу напряженности электрического поля принимается напряженность в такой его точке, где на заряд, равный единице, действует сила, величина которой также равна единице. Единицей измерения напряженности является В/м.

Если поле создано системой зарядов, то вектор равен векторной сумме напряженностей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности (принцип суперпозиции полей)

. (9)

Электрическое поле графически изображают с помощью линий напряженности – кривых, касательные к которым в каждой точке поля совпадают с направлением вектора (рис. 5). О величине напряженности судят по густоте линий, т. е. числу линий, проходящих через единичную поверхность, расположенную нормально линиям напряженности. Таким образом, линии напряженности сходятся по мере приближения к области сильного поля и расходятся в области слабого поля.

Если поле создано заряженным телом (не точечным зарядом), имеющим объем V, его можно разбить на элементы объема dV столь малые, чтобы находящийся в них заряд мог бы считаться точечным. Тогда для элементарной напряженности в некоторой точке пространства можно записать

. (10)

Если ввести объемную плотность заряда , то напряженность результирующего поля, обусловленного всеми зарядами объема V, согласно принципу суперпозиции полей выражается объемным интегралом

. (11)

В общем случае может являться функцией координат.

В случае поверхностного или линейного распределения зарядов вводят, соответственно, поверхностную или линейную плотности зарядов, и результирующая напряженность поля определяется аналогично (11).

Если напряженность поля всюду одинакова по величине и направлению, то такое поле называется однородным. Графически однородное поле изображается системой параллельных линий (рис. 6).

Исследуем поле точечного заряда q с помощью пробного заряда . Сила взаимодействия этих зарядов равна

. (12)

Напряженность поля в том месте, где находится заряд , равна

. (13)

Таким образом, напряженность поля точечного заряда пропорциональна величине заряда источника поля q и обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда до данной точки поля. В векторной форме

. (14)

Линии вектора поля точечного заряда представляют совокупность радиальных прямых, направленных от заряда, если он положительный, и к заряду, если он отрицательный (рис. 7). Линии одним концом опираются на заряд, другим – уходят в бесконечность. Нетрудно видеть, что поле точечного заряда не является однородным.

Электрические заряды, создающие электрическое поле, являются его источниками, т. е. источниками линий являются те точки, в которых эти линии начинаются или заканчиваются (точки, в которых заканчиваются линии, иногда называют отрицательными источниками или стоками). Так как линии напряженности поля начинаются и заканчиваются на зарядах или в бесконечности, то они никогда не бывают замкнутыми.

3.1. Два точечных заряда, неизвестных по величине и знаку, находятся на расстоянии l друг от друга. На прямой, соединяющей эти заряды, имеется точка, в которой напряженность электрического поля равна нулю. Что можно сказать о характере зарядов? Где расположена эта точка?

3.2. Является ли линия напряженности линией, вдоль которой будет двигаться электрический заряд в электростатическом поле?

3.3. Покажите, что число линий на любом расстоянии от заряда одно и тоже.

3.4. N зарядов расположены в точках с радиус –векторами . Как будет выглядеть формула для напряженности в точке с радиус – вектором ?

3.5. Является ли электрическое поле точечного заряда однородным?

3.6. Величина напряженности поля точечного заряда . При , т. е. в окрестностях точечного заряда, напряженность поля . Правдоподобно ли это?

3.7. Кулоновская сила взаимодействия двух точечных зарядов и , расстояние между которыми r, имеет вид . Разобьем эту формулу на две и . Что выражают эти формулы? Проанализируйте область применения этих формул.

3.8. Изобразите линии напряженности поля двух зарядов разных знаков при условии, что один из зарядов в несколько раз больше другого.

3.9. Чтобы представить электрическое поле, необходимо связать вектор с каждой точкой поля. Мы можем изобразить величину и направление вектора в различных точках, нанося стрелки вблизи этих точек и делая стрелки длиннее там, где поле больше. Однако, обычно, поле изображают линиями напряженности (силовыми линиями), которые представляют собой кривые, касательные к которым в любой точке совпадают с направлением вектора (с направлением поля) в этой точке. Почему поле (особенно поле системы зарядов) изображают именно линиями вектора напряженности?

4. Электрический диполь. Поле диполя

Электрическим диполем называется совокупность двух равных разноименных точечных зарядов, находящихся друг от друга на расстоянии, малом по сравнению с расстоянием до точки, в которой определяется напряженность поля, создаваемого диполем. Найдем напряженность поля диполя на продолжении оси диполя, т. е. на продолжении прямой, соединяющей заряды, и в точке, лежащей на нормали из середины оси диполя.

1. Напряженность поля на продолжении оси диполя.

Напряженность поля диполя в точке М направлена вдоль оси диполя и равна разности напряженностей и , создаваемых положительным и отрицательным зарядами.

Обозначим расстояние от точки М до середины оси диполя через . Тогда

, (15)

где l – расстояние между зарядами.

После несложных преобразований, получим

. (16)

Пусть , т. е. точка М поля находится на достаточно большом расстоянии от диполя. В этом случае можно пренебречь членом . Тогда

, (17)

где – электрический момент диполя.

2. Напряженность поля в точке, лежащей на нормали из середины оси диполя.

Из рис. 9 видно, что напряженность поля в точке М равна векторной сумме напряженностей и , создаваемых положительным и отрицательным зарядами

. (18)

Векторы и имеют одинаковые модули вследствие равенства расстояний от заряда.

. (19)

Из подобия треугольников и следует

. (20)

Полагая г, т. е. пренебрегая членом в формулах (19) и (20), получим

. (21)

Нетрудно видеть, что на больших расстояниях от диполя напряженность поля диполя во всех случаях пропорциональна моменту диполя и обратно пропорциональна кубу расстояния от диполя.

Вследствие того, что ось диполя имеет определенную ориентацию в пространстве, момент диполя является вектором. Вектор направлен вдоль оси диполя от отрицательного заряда к положительному (рис. 10). Таким образом, , где – радиус – вектор.

4.1. Найдите силу взаимодействия двух жестких диполей, расположенных вдоль одной прямой на расстоянии , где l – расстояние между зарядами диполя (плечо диполя).

4.2. Опишите поведение диполя в однородном электрическом поле.

4.3. Найдите напряженность поля диполя в произвольной точке поля.

5. Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса для потока вектора напряженности

Пусть в электрическом поле расположена элементарная плоская поверхность dS, в пределах которой поле будем считать однородным, и пусть эта поверхность нормальна полю (вектору ). Ориентацию площадки dS зададим вектором нормали к площадке dS (рис. 11). Число линий, пронизывающих площадку dS будет равно

. (22)

В общем случае вектор напряженности составляет угол с вектором нормали (рис. 12). В этом случае число линий, пронизывающих площадку dS, равно

, (23)

где – проекция вектора напряженности на направление нормали к поверхности. Для определения числа линий напряженности, пронизывающих произвольную площадку, надо проинтегрировать выражение (23).

. (24)

Это выражение называется потоком вектора напряженности. Поток вектора есть алгебраическая величина, знак которой зависит от выбора направления нормали к площадке. Если поверхность замкнутая, принято вычислять поток, выходящий из охватываемой поверхностью области наружу. Под нормалью к площадке в этом случае подразумевается внешняя нормаль. Таким образом, в местах, где вектор направлен наружу, поток положителен, в местах же, где вектор направлен внутрь, поток отрицателен (рис. 13).

Непосредственное использование закона Кулона и принципа суперпозиции полей даже в случае простой конфигурации зарядов приводит к громоздким вычислениям. Одним из практически важных и простых вспомогательных методов, упрощающих вычисления в случае симметричного распределения зарядов, является применение теоремы Гаусса. Она позволяет найти поток вектора напряженности через замкнутую поверхность, внутри которой находятся электрические заряды.

Рассмотрим наиболее простой случай, когда поле создано положительным точечным зарядом q. Опишем вокруг этого заряда сферу радиуса r и вычислим поток вектора через эту поверхность. Величина вектора в каждой точке поверхности равна , а направление вектора совпадает с наружной нормалью.

. (25)

Из этой формулы видно, что поток не зависит от размеров сферы. Полученный результат справедлив не только для сферической поверхности, но и для любой замкнутой поверхности и не зависит от расположения заряда внутри замкнутой поверхности (рис. 14).

Можно изобразить более сложную поверхность. Для изображенной на рис. 15 поверхности линия вектора трижды выходит из поверхности и дважды входит в нее. В местах выхода она создает положительный поток, в местах входа – отрицательный. Следовательно, для расчета потока вектора напряженности через замкнутую поверхность линия напряженности должна учитываться только один раз. Таким образом, независимо от формы замкнутой поверхности, поток вектора напряженности будет равен . Если же замкнутая поверхность не охватывает заряда (рис. 16), то поток вектора напряженности через нее будет равен нулю, так как число входящих линий равно числу выходящих (в одном случае поток положительный, в другом – отрицательный).

Вычислим теперь поток вектора напряженности системы зарядов через замкнутую поверхность. Пусть внутри замкнутой поверхности находятся n зарядов . Воспользуемся принципом суперпозиции.

. (26)

где – нормальная составляющая напряженности электрического поля заряда. Было показано, что . Следовательно,

. (27)

Мы пришли к теореме Гаусса. Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри поверхности, деленному на .