Серия Электричество и магнетизм. Электростатика (стр. 3 )

При доказательстве теоремы Гаусса был использован закон Кулона, и поэтому она – следствие этого закона. Теорема Гаусса является интегральной формулировкой закона Кулона. Ее вывод основан на обратной пропорциональности взаимодействия квадрату расстояния и на принципе суперпозиции. Поэтому эта теорема применима к любому физическому полю, в котором действует закон обратных квадратов, например, к гравитационному полю.

Использование теоремы Гаусса для расчета полей эффективно лишь в тех случаях, где поле обладает специальной симметрией (чаще всего плоской, цилиндрической или сферической). Симметрия, а, следовательно, конфигурация поля должны быть такими, чтобы можно было найти достаточно простую замкнутую поверхность S и свести вычисление потока вектора напряженности к простому умножению на площадь поверхности или ее части. Если этого нет, задачу о нахождении поля приходится решать с помощью других методов.

5.1. Точечный заряд находится в центре сферической поверхности. Изменится ли поток вектора напряженности, если:

а) поверхность заменить кубом того же объема, что и сфера;

б) заряд сместить из центра сферы, оставив его внутри сферы;

в) заряд вынести за пределы сферы;

г) вынесенный заряд оставить вблизи сферы и в нее поместить второй заряд;

д) второй заряд поместить внутри этой же сферы?

5.2. Электрический диполь находится внутри замкнутой поверхности. Чему равен поток вектора напряженности через эту поверхность?

5.3. Соблюдалась бы теорема Гаусса, если бы показатель степени в законе Кулона не равнялся в точности двум?

5.4. Используя теорему Гаусса, вычислите напряженности полей:

а) равномерно заряженной сферы;

б) равномерно заряженного шара;

в) равномерно заряженной бесконечной плоскости;

г) равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити и цилиндра;

д) между двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями (поле конденсатора).

5.5. Соотношение , где , выражает теорему Гаусса в интегральной форме. Выведите эту теорему в дифференциальной форме.

5.6. Если поле создано положительным точечным зарядом q, то поток вектора напряженности через сферическую поверхность, описанную вокруг этого заряда, не зависит от размеров сферы. Покажите, что если вокруг сферы описать вторую поверхность (или оболочку) несферической формы, то полный поток через эту поверхность будет равен потоку через сферу.

6. Работа сил при перемещении зарядов. Потенциальный характер электростатического поля. Потенциал и эквипотенциальные поверхности. Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

На любой заряд, находящийся в электростатическом поле, действует сила, которая может его перемещать, производя, таким образом, работу. Пусть точечный заряд перемещается в поле точечного заряда q из одной точки поля в другую (рис. 17). Найдем работу сил поля. Разобьем траекторию заряда на элементы и вычислим элементарную работу по перемещению этого заряда на элементе .

, (28)

где

. (29)

Согласно закону Кулона

. (30)

Подставим (30) в (28)

. (31)

Полная работа определится при интегрировании выражения (31).

. (32)

Из формулы (32) видно, что работа не зависит от формы пути, а определяется начальным и конечным положениями заряда . Силовые поля, удовлетворяющие такому условию, называются потенциальными или безвихревыми. Таким образом, электростатическое поле точечного заряда есть потенциальное поле. При перемещении заряда по любому замкнутому контуру работа равна нулю.

. (33)

Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности и выражает работу перемещения единичного заряда по замкнутому контуру. Таким образом, циркуляция вектора напряженности электростатического поля по произвольному замкнутому контуру равна нулю. Из формулы (33) следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми. Они начинаются и заканчиваются на зарядах, уходят в бесконечность, начинаясь на положительных зарядах, или приходят из бесконечности, заканчиваясь на отрицательных зарядах (этот факт мы уже отмечали ранее).

В потенциальном поле работа может быть представлена убыль потенциальной энергии.

. (34)

Сравнивая формулы (34) и (32), находим потенциальную энергию заряда в поле заряда q

. (35)

Значение константы определяется начальным (нулевым) уровнем потенциальной энергии. Обычно значение константы выбирают таким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность () потенциальная энергия обращалась в нуль, т. е. за нулевой уровень потенциальной энергии выбирают бесконечно удаленную точку. В этом случае и потенциальная энергия оказывается равной

. (36)

Будем исследовать поле заряда q с помощью пробного заряда . Из формулы (36) видно, что потенциальная энергия пробного заряда зависит не только от величины пробного заряда и расстояния r, но и от величины заряда q, определяющего поле. Следовательно, разные пробные заряды . будут обладать в одной и той же точке поля различными энергиями . Однако отношение потенциальной энергии к величине пробного заряда будет для всех зарядов одним и тем же. Это отношение называют потенциалом поля в данной точке и используют наряду с напряженностью для описания электростатических полей.

. (37)

Из формулы (37) следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладал бы единичный положительный заряд в данной точке поля. Если известен потенциал некоторой точки поля, то из той же формулы (37) следует, что заряд q, находящийся в этой точке,
обладает потенциальной энергией, равной

. (38)

По этой причине работа сил поля над зарядом q может быть выражена следующим образом

, (39)

где – разность потенциалов.

Если заряд q из точки поля, потенциал которой равен , удаляется на бесконечность, где потенциал равен нулю, то работа сил поля равна

. (40)

Таким образом, потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля при удалении единичного положительного заряда из данной точки поля на бесконечность. Такую же по величине работу следует совершить против сил поля при перемещении единичного положительного заряда из бесконечности в данную точку поля. Аналогично разностью потенциалов между точками 1 и 2 называют работу, совершаемую силами поля при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2 по произвольному пути.

Формула (40) позволяет установить единицу потенциала: за нее принимают потенциал такой точки поля, для перемещения в которую из бесконечности единичного положительного заряда, необходимо совершить работу, равную единице. В системе СИ единицей потенциала является вольт (В). Вольт – это потенциал такой точки поля, для перемещения в которую из бесконечности единичного положительного заряда в , нужно совершить работу в .

Графически распределение потенциала в электростатическом поле изображают с помощью поверхностей равного потенциала – эквипотенциальных поверхностей.

Эквипотенциальные поверхности – это геометрическое место точек равного потенциала, . Для поля точечного заряда эквипотенциальные поверхности представляют собой семейство концентрических сфер (рис. 18). Из формулы (39) следует, что работа перемещения заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю (). Это означает, что линии напряженности поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Электростатическое поле можно описывать либо с помощью вектора напряженности , являющегося силовой характеристикой поля, либо с помощью скалярной величины (потенциала) – энергетической характеристики поля. Установим связь между этими величинами.

Пусть положительный точечный заряд q перемещается под действием силы электрического поля (кулоновской силы) с эквипотенциальной поверхности на близко расположенную эквипотенциальную поверхность, имеющую потенциал (рис. 19). Напряженность поля Е на малом пути можно считать постоянной, тогда работа перемещения будет равна

, (41)

где – сила, перемещающая заряд q на пути . С другой стороны, эта же работа равна

, (42)

где – разность потенциалов между эквипотенциальными поверхностями. Из формул (41) и (42) следует

. (43)

Знак минус обусловлен тем, что напряженность поля направлена в сторону убывания потенциала, тогда как градиент потенциала направлен в сторону возрастания потенциала. Градиент потенциала – вектор, направленный против вектора . Таким образом, линии напряженности – это линии, вдоль которых потенциал изменяется наиболее быстро и которые направлены, как уже указывалось, нормально к эквипотенциальным поверхностям.

Формула (43) позволяет по известным значениям найти напряженность поля в каждой точке или же, напротив, по заданным значениям Е в каждой точке, найти разность потенциалов между двумя произвольными точками поля. В самом деле, работа, совершаемая силами поля над зарядом q при перемещении его из точки 1 в точку 2, равна

. (44)

С другой стороны, та же работа равна

. (45)

Сравнивая (44) и (45) и сократив на q, получим

. (46)

Интеграл можно брать по любой линии, соединяющей точки 1 и 2, так как работа сил поля не зависит от пути. Если контур замкнут, то, и формула (46) переходит в формулу

, (47)

что совпадает с ранее полученной формулой (33).

6.1. Если напряженность E в данной точке поля равна нулю, то должен ли в ней равняться нулю и потенциал?

6.2. Возможно ли существование такого электрического поля, вектор напряженности которого во всех точках имеет одинаковое направление, а перпендикулярно к этому направлению изменяет свою величину по линейному закону?

6.3. Было показано, что для поля точечного заряда линии напряженности перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Покажите, что линии напряженности всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

6.4. Земля непрерывно облучается космическими лучами высокой энергии, состоящими в основном из протонов. Средняя энергия протонов в космических лучах составляет несколько , интенсивность потока протонов, достигающих земной атмосферы, примерно равна одному протону в секунду на . Какое время необходимо, чтобы заряженные частицы космических лучей подняли потенциал Земли настолько, чтобы протоны уже не могли попасть на поверхность Земли из-за электрического отталкивания?

Сравните это время с возрастом Земли, оцениваемым примерно в 5 миллиардов лет. Если это время меньше возраста Земли, то почему космические лучи продолжают достигать ее поверхности?

6.5. Ртутный шарик, потенциал которого , разбился при падении на одинаковых шариков. Будет ли потенциал каждого из них равным ?

6.6. В результате слияния капелек воды, заряженных одинаково, образовалась одна большая капля. Будет ли потенциал большой капли равенсумме потенциалов маленькой капли? Капли имеют форму шариков.

6.7. Поле, создаваемое заряженным телом (заряженными телами), наглядно может быть представлено с помощью потенциальной диаграммы – графика зависимости потенциала (или потенциальной энергии) от координат. Изобразите потенциальную диаграмму поля, создаваемого точечным зарядом.

6.8. Чему равна работа силы электрического поля, создаваемого зарядом при перемещении заряда из точки 1 с радиус – вектором в точку 2 с радиус – вектором , если ?

6.9. Найдите потенциал электростатического поля внутри и вне проводящей сферы радиуса , по поверхности которой равномерно распределен заряд .

7. Потенциал поля системы зарядов и заряженной сферы

Для потенциала поля точечного заряда нами была получена формула

. (48)

Пусть теперь поле создано системой зарядов . Расстояния от каждого заряда до выбранной точки поля обозначим . Работа, совершаемая силами этого поля над зарядом будет равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из этих зарядов в отдельности

, (49)

где

. (50)

Здесь – расстояние от заряда до начального положения заряда , a – расстояние от заряда до конечного положения заряда . Таким образом,

. (51)

С другой стороны, эта же работа равна

. (52)

Сопоставляя два последних выражения, получим для потенциальной энергии заряда в поле системы зарядов выражение

, (53)

откуда следует, что

. (54)

Пусть поле создано заряженной сферой. Вне сферы поле подобно полю точечного заряда

, (55)

где – радиуса сферы. Если поверхностная плотность заряда равна , то заряд

. (56)

Подставляя это значение в формулу (55), получим

. (57)

При , имеем

. (58)

Внутри сферы потенциал постоянен и равен

. (59)

7.1. Имеются два электрода в виде концентрических сфер с радиусами a (внутренняя) и b (внешняя). Такая система называется шаровым конденсатором. Найдите потенциал любой точки поля между электродами.

7.2. Вычислите потенциал электрического поля диполя.

7.3. Найдите потенциал поля системы зарядов, находящихся в объеме с линейными размерами l, на расстояниях .

7.4. Изобразите потенциальную диаграмму системы из двух заряженных сфер.

7.5. Вычислите потенциал поля шара радиусом a, равномерно заряженного по объему: а) внутри шара; б) вне шара. Изобразите график , где r – расстояние от центра шара. Решите задачу путем интегрирования уравнения Пуассона в сферических координатах, а также используя связь между напряженностью поля и потенциалом.

7.6. По тонкому проволочному кольцу радиуса R равномерно распределен заряд q. Исследовать зависимость потенциала электрического поля на оси кольца от расстояния до его центра. Найти напряженность как градиент потенциала.

7.7. Сфера радиуса , равномерно заряженная зарядом , окружена тонкой концентрической сферой радиуса . Какой заряд надо сообщить внешней сфере, чтобы потенциал внутренней сферы относительно бесконечности обратился в нуль? Заряд также равномерно распределен по его поверхности.

8. Проводники в электростатическом поле

Проводниками называют тела, имеющие электрические заряды, которые могут свободно перемещаться внутри этих тел (свободные заряды). Проводниками являются все металлы, растворы электролитов, расплавы многих веществ и ионизированные газы. Свободные заряды в проводнике способны перемещаться под действием сколь угодно малых сил. Для равновесия зарядов на проводнике необходимо, чтобы выполнялись следующие условия.

1. Напряженность поля всюду внутри проводника должна быть равна нулю.

. (60)

Это в свою очередь означает, что потенциал внутри проводника должен быть постоянным.

. (61)

2. Напряженность поля на поверхности проводника должна быть в каждой точке направлена по нормали к поверхности проводника.

. (62)

В противном случае касательная составляющая вектора вызовет перемещение зарядов по поверхности проводника, что противоречит статическому распределению зарядов, т. е. .

Таким образом, в случае равновесия зарядов поверхность проводника будет эквипотенциальной. Если проводнику сообщить некоторый заряд q, то он распределится так, чтобы соблюдались условия равновесия.

Представим себе произвольную замкнутую поверхность, полностью заключенную в пределах проводника. При равновесии зарядов поле в каждой точке внутри проводника отсутствует, поэтому поток вектора через поверхность равен нулю. Согласно теореме Гаусса, сумма зарядов внутри поверхности также будет равна нулю. Из этого следует, что все избыточные заряды распределяются по поверхности проводника с некоторой плотностью заряда . Так как в состоянии равновесия внутри проводника избыточных зарядов нет, то удаление вещества из некоторого объема, взятого внутри проводника, никак не отразится на равновесном расположении зарядов. Таким образом, избыточный заряд распределяется на полом проводнике так же, как и на сплошном, т. е. по его наружной поверхности. На поверхности же полости в состоянии равновесия избыточные заряды располагаться не могут. Этот вывод вытекает также из того, что одноименные заряды взаимно отталкиваются и, следовательно, стремятся расположиться на наибольшем расстоянии друг от друга.

Для вычисления напряженности поля у поверхности проводника воспользуемся теоремой Гаусса. Рассмотрим участок проводника с поверхностной плотностью заряда (рис.___). В качестве замкнутой поверхности возьмем элементарный цилиндр, образованный нормалями к поверхности проводника, с площадью основания dS. Поток вектора через эту поверхность равен только потоку через наружное основание цилиндра, так как потоки через боковую поверхность и внутреннее основание равны нулю.

. (63)

Учитывая, что , получим

,

откуда

. (64)