Серия Электричество и магнетизм. Электростатика (стр. 5 )

10.2. Покажите, что результирующее поле в диэлектрике всегда больше нуля, в отличие от поля в проводниках, находящихся в электрическом поле.

10.3. Покажите, что, зная вектор поляризации , можно определить поляризационные заряды, и наоборот.

10.4. Покажите, что на границе диэлектрика в общем случае линии напряженности и линии индукции должны преломляться.

10.5 Покажите, что закон Кулона для диэлектриков имеет вид , где – напряженность поля, создаваемая точечным зарядом в вакууме.

10.6. Установите связь между диэлектрической проницаемостью и атомарными постоянными диэлектрика. Рассмотрите случаи неполярных и полярных диэлектриков.

11. Общая задача электростатики

Общая задача электростатики формулируется следующим образом. Имеется диэлектрическая среда, в которой заданы расположение и форма всех проводников. Диэлектрическая проницаемость среды и объемная плотность свободных электрических зарядов во всех точках диэлектрика известны. Помимо этого известны: 1) либо потенциалы всех проводников, 2) либо заряды всех проводников, 3) либо заряды некоторых проводников и потенциалы остальных проводников. Необходимо найти напряженность электрического поля во всех точках пространства и распределение электрического заряда по поверхностям проводников.

Сформулированная задача сводится к нахождению потенциала как функции координат . Необходимо найти дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять эта функция. Представим теорему Гаусса (при решении задачи 1.5.5. нами было получено выражение . Так как , то , где – объемная плотность свободных зарядов) в виде

. (93)

Подставляя в эту формулу выражение , получим

. (94)

Если диэлектрик однороден, т. е. не зависит от координат, то

, (95)

или

. (96)

Введя оператор Лапласа (лапласиан)

,

можно записать

.

Теперь уравнение (96) получим в виде

. (97)

Это уравнение Пуассона. Если свободные заряды отсутствуют (), то оно переходит в уравнение Лапласа

. (98)

11.1. Класс функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа, называется гармоническими функциями. Они обладают рядом замечательных свойств, одно из которых заключается в следующем: если функция удовлетворяет уравнению Лапласа, то среднее значение по поверхности любой сферы равно значению в центре сферы. Докажите это утверждение.

11.2. Как известно, разность потенциалов между положительно заряженной пластиной плоского конденсатора и произвольной точкой, удаленной от нее на расстояние x выражается формулой , где – поверхностная плотность зарядов (см. решение задачи ____). Покажите, что это выражение удовлетворяет уравнению Лапласа.

11.3. Потенциал в любой точке поля шарового конденсатора , где и – радиусы внутренней и внешней сфер конденсатора, r – расстояние точки, в которой измеряется потенциал поля, от центра конденсатора, U – разность потенциалов между электродами (сферами). Покажите, что эта формула удовлетворяет уравнению Лапласа.

12. Метод электрических изображений

Метод электрических (зеркальных) изображений основан на следующем принципе: если в электрическом поле заменить какую – либо эквипотенциальную поверхность проводником той же формы и создать на нем потенциал, равный потенциалу данной эквипотенциальной поверхности, то электрическое поле останется неизменным.

Пусть заданы два точечных заряда и , расположенные на расстоянии друг от друга. Это электрическое поле можно разделить на две равные части плоскостью (см. рис. ____). Она везде перпендикулярна к линиям напряженности и, следовательно, является эквипотенциальной поверхностью. Поэтому, если в находится неограниченная проводящая плоскость, то поле между ней и зарядом не изменится и будет совпадать с полем двух зарядов и , что позволит легко учитывать действие индуцированных зарядов на проводящей плоскости.

Заряд расположен за плоскостью на том же расстоянии d,что и заряд над плоскостью, вследствие чего является его зеркальным отображением в проводящей плоскости. По этой причине принято говорить, что электрическое поле между точечным зарядом и бесконечной проводящей плоскостью совпадает с полем, создаваемым данным зарядом и его зеркальным изображением в проводящей плоскости. Это утверждение можно сформулировать и следующим образом: действие проводящей плоскости с индуцированными на ней зарядами можно заменить действием точечного заряда, который является зеркальным изображением рассматриваемого заряда в проводящей плоскости.

12.1. Точечный заряд находится на расстоянии d от плоской поверхности бесконечного проводника, занимающего все левое полупространство. Определите поле вне проводника, а также найдите поверхностную плотность индуцированных на поверхности проводника отрицательных зарядов.

12.2. На некотором расстоянии друг от друга находятся два точечных заряда и . Что представляет из себя поверхность, на которой потенциал ?

12.3. Найдите емкость цилиндрического провода радиуса r, подвешенного на высоте h над землей.

12.4. Определите потенциал и напряженность поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом , находящимся на расстоянии d от бесконечной заземленной проводящей плоскости.

12.5. Точечный заряд находится на расстоянии d от центра изолированной и незаряженной проводящей сферы радиуса R. Определите потенциал поля вне сферы.

12.6. Используя метод зеркальных изображений, найдите силу, действующую на заряд q, находящийся на расстояниях a и b от двух проводящих полуплоскостей, расположенных перпендикулярно друг другу (см. рис. ____).

13. Энергия и плотность энергии электростатического поля

Пусть уединенному проводнику сообщен некоторый заряд q. Тогда вокруг проводника возникнет электрическое поле, и потенциал проводника примет значение

, (99)

где С – емкость проводника.

Каждая новая порция электрического заряда, переносимого на проводник, отталкивается от уже находящегося там заряда, и для преодоления этой силы отталкивания должна быть совершена работа. Так, чтобы увеличить заряд проводника на dq, необходимо перенести этот заряд из бесконечности на поверхность проводника и затратить работу, равную

. (100)

При этом потенциальная энергия проводника возрастает на величину dW, равную работе dA, совершенной внешними силами

. (101)

Потенциальную энергию незаряженного проводника, не создающего вокруг себя электрического поля, будем считать раной нулю. Тогда энергия проводника, заряд которого достиг некоторой величины q, может быть найдена интегрированием выражения (101).

. (102)

В частности, энергию плоского конденсатора можно записать в виде

. (103)

Так как в процессе зарядки проводника электрическое поле возникает в пространстве, окружающем проводник, то естественно считать, что электрическая энергия заряженного проводника локализована в окружающем его электрическом поле. Подставляя в (103) значения емкости плоского конденсатора и разности потенциалов между обкладками плоского конденсатора, после преобразований, получим

. (104)

Здесь Е – напряженность электрического поля внутри конденсатора, а – его объем. Отсюда энергия единицы объема или объемная плотность энергии электрического поля равна

. (105)

Хотя соотношение (105) выведено для простейшего случая однородного поля, оно остается справедливым и в самом общем случае как угодно изменяющихся в пространстве и во времени полей.

13.1. Покажите, что энергия взаимодействия системы N неподвижных точечных зарядов выражается формулой

,

где – потенциал поля, создаваемого всеми зарядами, кроме , в той точке, где находится заряд ,

,

где – расстояния между и зарядами.

13.2. По объему шара радиуса R равномерно распределен заряд q. Определите собственную энергию электростатического поля, создаваемого шаром.

13.3. Полагая, что заряды протонов равномерно распределены по объему ядра, определите энергию электростатического взаимодействия протонов в ядре атома с порядковым номером Z. Ядро считать шаром радиуса R.

13.4. Вычислите энергию сферического конденсатора.

13.5. Определите энергию электростатического поля заряженной сферической поверхности радиуса r.

13.6. Опишите поведение диполя в неоднородном электростатическом поле.

13.7. Найдите силу притяжения между пластинами плоского конденсатора, погруженного в жидкий диэлектрик с диэлектрической проницаемостью .

13.8. В плоский конденсатор частично вставлена пластинка диэлектрика. Вычислите силу, втягивающую диэлектрик в конденсатор. Длина пластин конденсатора l, ширина b, расстояние между пластинами (толщина диэлектрика) d.

13.9. Плоский воздушный конденсатор с пластинами площадью S подключен к источнику постоянного напряжения . Определите работу, которую нужно совершить, чтобы раздвинуть пластины конденсатора от расстояния до расстояния . Рассмотрите случаи, когда конденсатор отсоединен от источника питания и когда он подсоединен к нему.

13.10. Металлический шар радиусом R несет заряд q. Шар окружен слоем диэлектрика толщиной d и относительной диэлектрической проницаемостью . Вычислите энергию электрического поля, заключенного в слое диэлектрика.

13.11. Вертикальные пластины плоского конденсатора, соединенного с источником напряжения U, погружают концами в жидкий диэлектрик с проницаемостью и плотностью . При этом наблюдается втягивание диэлектрика в пространство между пластинами. Найдите высоту h, на которой устанавливается уровень жидкости в пространстве между пластинами.

13.12.Конденсатор подсоединен к источнику постоянного напряжения . Покажите, что если изменить энергию конденсатора на величину , то работа, совершаемая при этом источником напряжения, равна удвоенному значению , т. е. .

13.13. На основании задачи 1.13.12. найдите количество теплоты, выделившееся при поднятии жидкости между пластинами плоского конденсатора, подсоединенного к источнику постоянного напряжения (задача 1.13.11).

13.14. Вычислите энергию поля, созданного зарядом q, равномерно распределенным в форме шара радиуса R в вакууме, а также величину изменения энергии при разделении заряда на два одинаковых шара, удаленных друг от друга на бесконечно большое расстояние.

13.15. Покажите, что энергия электрического поля в диэлектрике равна сумме собственной энергии свободных зарядов и энергии, затрачиваемой на поляризацию диэлектрика.

13.16. Используя выражение для энергии взаимодействия точечных зарядов, проанализируйте вопрос об устойчивости системы неподвижных электрических зарядов.

14. Сегнетоэлектрики. Пьезоэлектричество. Электрострикция. Пироэлектричество. Электреты

Некоторые твердые диэлектрики обладают особыми свойствами. Впервые эти свойства были обнаружены в кристаллах сегнетовой соли, представляющей собой двойную натриевокалиевую соль винной кислоты (), и поэтому все подобные диэлектрики получили название сегнетоэлектриков (в иностранной литературе их называют также ферроэлектриками). Кристаллы сегнетовой соли относятся к ромбической системе. Особенностями сегнетовой соли являются:

1. В некотором температурном интервале (от до ) ее диэлектрическая проницаемость очень велика и достигает порядка 10000.

2. Электрическое смещение D не пропорционально полю E, а это значит, что диэлектрическая проницаемость зависит от напряженности поля.

3. Значение электрического смещения определяется не только значением напряженности поля, но еще зависит от предшествовавших состояний поляризации. Это явление называется диэлектрическим гистерезисом. Зависимость D от E изображена на рисунке ____. При возрастании поля возрастание смещения описывается кривой 1, которая не является линейной. Если затем уменьшать электрическое поле, то уменьшение смещения происходит по кривой 2, не совпадающей с кривой 1. Когда электрическое поле оказывается равным нулю, смещение не равно нулю. Это означает, что в сегнетовой соли имеется остаточная поляризация, и она остается поляризованной даже в отсутствие внешнего электрического поля. Чтобы ее уничтожить, нужно создать электрическое поле противоположного направления. Дальнейшее изменение электрического поля приводит к изменению смещения, изображенного на рисунке _____. Эта петлеобразная кривая называется петлей гистерезиса.

Описанными свойствами обладают все сегнетоэлектрики, а не только сегнетова соль.

Сегнетоэлектрические свойства зависят от температуры. При температуре выше определенной температуры (для разных сегнетоэлектриков разная), сегнетоэлектрические свойства исчезают, и сегнетоэлектрик превращается в обычный диэлектрик. Эта температура называется температурой, или точкой Кюри. В некоторых случаях, например, для сегнетовой соли, существуют две точки Кюри ( и ), и сегнетоэлектрические свойства наблюдаются только при температурах, лежащих в пределах этих точек.

Помимо сегнетовой соли, сегнетоэлектрическими свойствами обладают и другие соединения, например, фосфат калия () и арсенат калия ().

В 1944г. советский физик (1903 – 19__) с сотрудниками открыл сегнетоэлектрические свойства у титаната бария (), а кристаллы обладают высокой механической прочностью, большой химической устойчивостью, благодаря чему нашли широкое научно – техническое применение. Точка Кюри лежит около , а диэлектрическая проницаемость достигает 6000.

Установлено, что причиной сегнетоэлектрических свойств является самопроизвольная поляризация сегнетоэлектриков, которая возникает под действием сильного взаимодействия между частицами. Результатом этого взаимодействия является подразделение сегнетоэлектрика на отдельные области самопроизвольной поляризации (домены). В обычном состоянии сегнетоэлектрик представляет набор доменов. В пределах каждого из них имеется свое направление спонтанной поляризации, так что в целом электрический момент сегнетоэлектрика равен нулю. Под действием внешнего электрического поля в доменах происходит изменение направления поляризации – сегнетоэлектрик приобретает электрический момент, направленный вдоль линий напряженности поля. Возникшее при этом суммарное внутреннее поле доменов поддерживает их ориентацию и после прекращения действия внешнего электрического поля.

В этом смысле свойства сегнетоэлектриков схожи со свойствами ферромагнетиков (отсюда и название ферроэлектрики).

Установлено, что в некоторых кристаллах поляризация может возникнуть, если кристалл подвергается механическим деформациям. Это явление носит название пьезоэлектрического эффекта. Этот эффект обнаруживается в кварце, турмалине, сегнетовой соли, титанате бария и ряде других кристаллов.

Впервые наиболее полно пьезоэлектрический эффект был изучен у кварца (). Кристаллы кварца относятся к гексагональной кристаллической системе и имеет форму, близкую к шестигранной призме, ограниченной двумя пирамидами. Кристалл кварца имеет одну ось симметрии третьего порядка (оптическая ось) и три перпендикулярных к ней осей симметрии второго порядка, образующие между собой углы в .

При сжатии или растяжении кристалла перпендикулярно к оптической оси в нем возникает поляризация, и на поверхности кристалла появляются поляризационные заряды. При деформации вдоль оптической оси поляризации не возникает.

Пусть имеется кварцевая пластинка, вырезанная перпендикулярно к оси OX (рис. ____). На рисунке ось OZ – оптическая ось. При сжатии или растяжении пластинки вдоль OX на гранях и появляются разноименные поляризационные заряды – поперечный пьезоэлектрический эффект. Если заменить сжатие растяжением, то и знаки поляризационных зарядов изменятся. Опыт показывает, что знак зарядов на грани при сжатии вдоль оси OY (в поперечном эффекте) такой же, как и при растяжении вдоль оси OX (в продольном эффекте).

Величина вектора поляризации в определенном интервале изменений пропорциональна величине деформаций. Так как в области упругих деформаций величина деформации пропорциональна механическим напряжениям, то и поляризация пропорциональна механическим напряжениям.

Возникновение пьезоэлектрического эффекта можно объяснить следующим образом. Пьезоэлектрическими свойствами могут обладать только ионные кристаллы, которые представляют собой две или несколько простых решеток. Каждая из них построена из ионов одного знака, встроенных одна в другую. При деформациях кристалла в его решетке происходят изменения двух видов: а) деформируется каждая элементарная ячейка. Например, одностороннее сжатие кубического кристалла приводит к превращению его элементарной ячейки из куба в параллелепипед; б) при деформации кристалла может происходить сдвиг простых решеток относительно друг друга, что приводит к изменению электрического момента, т. е. к пьезоэлектрическому эффекту. Сдвиги происходят в кристаллах, в которых элементарная ячейка не имеет центра симметрии. Поэтому пьезоэлектрический эффект проявляется только в кристаллах, обладающих низкой степенью симметрии.

Наряду с рассмотренным прямым пьезоэлектрическим эффектом, существует и обратный пьезоэлектрический эффект, суть которого состоит в том, что в пьезоэлектрических кристаллах возникновение поляризации сопровождается механическими деформациями. Поэтому если на противоположные грани кристалла подать электрическое напряжение, то под действием электрического поля кристалл поляризуется и деформируется.

Пусть пьезоэлектрическая пластинка сжимается внешними силами (рис.____). Если бы пьезоэффект отсутствовал, то работа внешних сил была бы равна потенциальной энергии упруго деформированной пластинки. Вследствие пьезоэффекта пластинка поляризуется, на ней появляются электрические заряды и возникает электрическое поле, в котором сосредоточена дополнительная энергия. Согласно закону сохранения энергии, это означает, что при сжатии пластинки совершается бо́льшая работа, и поэтому в ней возникают дополнительные силы , которые противодействуют сжатию. Эти силы обусловлены обратным пьезоэффектом. Знак деформации при обратном пьезоэффекте зависит от направления вектора электрического поля. При изменении направления поля на противоположное, меняется знак деформации, т. е. сжатие переходит в растяжение, и наоборот.

Обратный пьезоэлектрический эффект имеет сходство с электрострикцией, суть которой состоит в следующем. Как известно, вследствие поляризации на каждый элемент объема диэлектрика действуют силы, что приводит к деформации диэлектрика в электрическом поле. Это явление и называется электрострикцией. Вследствие электрострикции внутри диэлектрика возникают механические напряжения, и на тело действуют дополнительные механические силы. Вообще говоря, вычисление полной силы, действующей на тело в диэлектрике, довольно сложная задача. Она упрощается, когда речь идет о жидких и газообразных диэлектриках.

Пусть два шарика с зарядами и находятся в среде с диэлектрической проницаемостью , и пусть их радиусы малы по сравнению с расстоянием r между ними (см. рис.___). Вокруг этих шариков на поверхности диэлектрика возникают поляризационные заряды и . На второй шарик действует сила , где – напряженность поля, создаваемая разностью зарядов в области, где находится второй заряд. Величина

, (106)

поэтому

. (107)

Следовательно,

. (108)

Аналогично

, (109)

т. е. мы пришли к известному закону взаимодействия двух точечных зарядов в диэлектрической среде – закону Кулона. Связано это с тем, что, вследствие изотропности сред и сферической формы тел, механические напряжения в диэлектрике не влияют на взаимодействие зарядов.

Сравнивая явления обратного пьезоэлектрического эффекта и электрострикции, можно сделать ряд выводов:

1) пьезоэлектрический эффект зависит от направления поля, и при его изменении изменяется знак эффекта;

2) электрострикция не зависит от направления поля;

3) пьезоэффект имеет место только у некоторых кристаллов с низкой степенью симметрии;

4) электрострикция имеет место во всех диэлектриках.

В 1757г. профессор физики Петербургской Академии наук Ф. Эпинус (1724 – 1802) открыл явление, получившее название пироэлектричества. Оказалось, что в кристалле турмалина молекулярные диполи все направлены вдоль одной из его кристаллографических осей, поэтому такой кристалл в целом всегда поляризован, даже в отсутствие внешнего электрического поля. Поляризационные заряды, которые находятся на противоположных гранях этого кристалла, притягивают заряженные пылинки и ионы, находящиеся в воздухе. Эти частицы, прилипая к граням кристалла, нейтрализуют поляризационные заряды и уничтожают поле поляризованного кристалла.

Если такой кристалл нагреть, то в результате теплового расширения поляризация единицы объема уменьшится, и компенсация поляризационного заряда нарушится. Это изменение поляризации можно обнаружить по создаваемому им электрическому полю. Явление зависимости естественной поляризации кристаллов от температуры и было названо пироэлектричеством.

Пироэлектрическими свойствами обладают ограниченное число кристаллов, имеющих очень низкую пространственную симметрию.

Среди твердых диэлектриков выделяются так называемые электреты, которые длительно сохраняют наэлектризованное состояние и в отсутствие внешнего электрического поля (являются аналогами постоянных магнитов). Это свойство обнаруживается у парафина, нафталина, эбонита, серы и др.

Электрет можно получить, нагревая диэлектрик до температуры, близкой к температуре плавления и помещая его в сильное электрическое поле. Это приводит к упорядочению молекулярных диполей, которое отчасти сохраняется после охлаждения и снятия внешнего поля. Такие электреты называют термоэлектретами. Эффекта электрета можно достичь, освещая диэлектрик светом в сильном электрическом поле. Их называют фотоэлектретами.

Отмеченные выше свойства диэлектриков находят широкое практическое применение.

Сегнетоэлектрики используются для изготовления конденсаторов большой емкости при малых размерах, в генераторах и приемниках ультразвуковых волн.

Прямой и обратный пьезоэлектрические эффекты применяются при конструировании пьезоэлектрических манометров, для генерации ультразвуковых волн. В генераторах ультразвуковых волн используются кварцевые пластинки или пластинки из титаната бария.

Электреты применяются как источники постоянного электрического поля. Действия электретных микрофонов, телефонов, различных вибродатчиков основано на индуцировании переменного тока в электрическом поле электрета.

Более подробно с практическим применением особых свойств диэлектриков можно ознакомиться в специальной литературе.

14.1. Все ли сегнетоэлектрики обладают пьезоэлектрическими свойствами? Справедливо ли обратное утверждение?

14.2 Чем сегнетоэлектрики отличаются от обычных пироэлектриков?

14.3. В чем причина возникновения обратного пьезоэффекта, и чем он отличается от электрострикции?

14.4. Почему пьезоэлектрическими свойствами могут обладать только ионные кристаллы?

Использованная литература

1. , , . Электричество и магнетизм. – Ростов н/Д, 2003.

2. , , . Краткий справочник по физике. – М., 1964.

3. . Электричество. – М. , 1970.

4. . Электричество и магнетизм. – М., 1970.

5. . Общий курс физики. Т3. Электричество. – М., 1977.

6. , . Курс общей физики. Т2. Электричество и магнетизм. – М., 1965.

7. , . Курс физики электричества. – М., 1970.

8. . Курс физики. Т2. – М., 1978.

9. Э. Парялл. курс физики. Т2. – М., 1971.

10. . Курс физики. – М., 1970.