Серия Электричество и магнетизм. Электростатика (стр. 4 )

В векторной форме

, (65)

где – единичный вектор нормали к поверхности проводника.

Таким образом, в случае электростатического равновесия нормальная составляющая поля вблизи проводника определяется только поверхностной плотностью заряда на элементе его поверхности и не зависит от распределения зарядов на других участках.

При внесении незаряженного проводника в электростатическое поле носители заряда приходят в движение: положительные – в направлении вектора , отрицательные – в противоположную сторону (в случае металлического проводника в движение приходят только свободные электроны, перемещающиеся против поля). В результате у концов проводника оказываются заряды противоположного знака (рис.___). Это явление называется электростатической индукцией или электризацией через влияние, а заряды – индуцированными или наведенными. Индуцированные заряды создают внутри проводника свое собственное поле , направленное против внешнего поля . Перераспределение зарядов в проводнике происходит, пока не будут выполнены условия (60), (61) и (62), т. е., пока напряженность поля внутри проводника не станет равной нулю, а линии напряженности вне проводника – нормальны к его поверхности. Таким образом, нейтральный проводник, внесенный в электростатическое поле, разрывает часть линий напряженности. Они заканчиваются на отрицательных индуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных. Индуцированные заряды располагаются на внешней поверхности проводника. Если внутри проводника имеется полость, то при равновесном распределении индуцированных зарядов поле внутри нее равно нулю. На этом основывается электростатическая защита. Прибор, который надо защитить от действия внешнего электрического поля, окружают со всех сторон проводником, например, густой металлической сеткой.

Плотность заряда на поверхности проводника зависит от напряженности поля, в которое вносится проводник. Полный заряд поверхности всегда очень мал по сравнению с общим зарядом всех электронов металла. Известно, что в объема металла находится примерно электронов с общим зарядом равным . Предположим, что во внешнем поле с напряженностью, равной примерно , находится металлический кубик со стороной около . На грани кубика в этом случае будет содержаться заряд приблизительно , т. е. на поверхность выйдет менее одного электрона из .

Таким образом, в металлах имеется достаточное количество электронов для компенсации даже очень сильных внешних полей. Однако существует предел, до которого эти поля можно увеличивать. Расчеты показывают, что при атом утрачивает свою устойчивость и приложение таких полей к металлу приводит к его разрушению.

8.1. Небольшое облако с зарядом q находится на высоте h над поверхностью Земли. Считая Землю проводником, определите напряженность поля, создаваемую этим зарядом на расстоянии S от места, над которым находится заряд. Кривизной поверхности Земли можно пренебречь.

8.2. Определите поверхностную плотность заряда под зарядом (см. задачу 1.8.1.) и в точке M, а также величину общего заряда, индуцированного на поверхности Земли.

8.3. Проводящее тело, заряд которого q, находится внутри замкнутой металлической оболочки. Изменится ли электрическое поле вне оболочки, если тело перемещать внутри оболочки?

8.4. Имеется металлическая сфера, внутренний радиус которой , а внешний – . Внутри этой сферы находится заряд на расстоянии l от центра сферы. Вычислите потенциал в центре сферы.

8.5. Покажите, что при переходе через заряженную поверхность нормальная составляющая вектора напряженности претерпевает разрыв, соответствующий .

8.6. В однородное электростатическое поле с напряженность E вносят металлическую пластинку, площадь которой S. Какой заряд индуцируется на каждой ее стороне?

8.7. Две металлические пластинки 1 и 2 расположены параллельно на небольшом расстоянии друг от друга. Пластинке 1 сообщают положительный заряд q. Какие заряды будут индуцированы на поверхностях пластинки 2?

8.8. Какие заряды будут находиться на пластинке 2 (см. задачу 1.8.7.), если пластинке 1 сообщить положительный заряд , а пластинке 2 – положительный заряд ?

8.9. Два полых металлических шара расположены концентрично один в другом. Каждому шару сообщают положительный заряд q. Какие заряды находятся на наружной и на внутренней поверхностях большего шара?

8.10. Проводящая сфера радиуса R, имеющая небольшое отверстие, заряжена положительным зарядом q. Металлические шарики A и B соединены проволокой и расположены, как изображено на рисунке ____. Радиус каждого шарика равен r. Расстояние . Найдите заряды, индуцированные на шариках.

9. Электроемкость. Конденсаторы

Сообщенный проводнику заряд q распределяется по его поверхности так, чтобы напряженность поля внутри проводника была равна нулю. Поэтому, если проводнику, уже несущему заряд q, сообщить еще один заряд такой же величины, то последний должен распределиться по проводнику точно так же, как и первый. По мере увеличения заряда проводника возрастает и его потенциал. При изменении заряда на величину потенциал изменяется на величину . Однако отношение

(66)

остается постоянным.

Величина C называется электроемкостью (емкостью) проводника. Таким образом, чем больше емкость проводника, тем больший заряд может накопить проводник при данном . Электрическая емкость определяется геометрическими размерами проводника, его формой и свойствами окружающей среды и не зависит от материала проводника. Следует отметить, что это утверждение справедливо лишь для уединенного проводника. Наличие вблизи проводника других тел изменяет его емкость, так как потенциал проводника зависит и от других электрических полей, создаваемых зарядами, наведенными в окружающих телах вследствие электростатической индукции.

Согласно формуле (66) электроемкость уединенного проводника численно равна заряду, изменяющему потенциал этого проводника на единицу. Единица емкости – фарад: .

В качестве примера вычислим емкость шара радиуса R. Потенциал шара равен

, (67)

а емкость

. (68)

Найдем радиус шара, емкость которого . Из формулы (68) следует, что

. (69)

Подставляя численные значения, получим

.

Это примерно в 1500 раз больше радиуса Земли. Таким образом, – очень большая величина. Поэтому на практике пользуются кратными единицами: , , . Уединенные проводники обладают небольшой емкостью. Даже шар таких размеров, как Земля, имеет емкость всего лишь . Если приблизить к заряженному проводнику другие проводники (незаряженные), то его потенциал уменьшится, так как на соседних проводниках будут индуцироваться заряды, причем ближе к заряженному проводнику – заряды противоположного знака, а дальше – того же знака Уменьшение потенциала заряженного проводника приводит к увеличению емкости заряженного проводника. Таким образом, можно создать систему проводников, с емкостью значительно большей, чем уединенный проводник. Подобную систему называют конденсатором. Простейший конденсатор состоит из двух проводников (их называют обкладками конденсатора), расположенных на малом расстоянии друг от друга. Чтобы внешние тела не влияли на емкость конденсатора, его обкладки располагают так, чтобы поле, создаваемое накапливающимися на них зарядами, было сосредоточено практически полностью внутри конденсатора. Это означает, что линии вектора напряженности , начинающиеся на одной обкладке, должны заканчиваться на другой, т. е. заряды на обкладках должны быть одинаковы по величине и противоположны по знаку. Этому условию удовлетворяют две пластины, расположенные близко друг к другу, два коаксиальных цилиндра, две концентрические сферы. Соответственно различают плоские, цилиндрические и сферические конденсаторы.

Основной характеристикой конденсатора является его емкость, под которой понимают величину, пропорциональную заряду q и обратно пропорциональную разности потенциалов между обкладками.

, (70)

где – напряжение между обкладками.

Величина емкости конденсатора определяется геометрией конденсатора: формой и размерами обкладок, величиной зазора между ними, а также диэлектрическими свойствами среды, заполняющей пространство между обкладками. Найдем формулу для емкости плоского конденсатора.

Когда линейные размеры пластин велики по сравнению с расстоянием d между ними, можно пренебречь краевыми эффектами и считать электрическое поле внутри конденсатора практически однородным, а заряд q – распределенным по пластинам равномерно с поверхностной плотностью . Так как напряженность равномерно заряженной плоскости равна , то результирующее поле, создаваемое обеими пластинами, определится по принципу наложения и будет равно . Пользуясь соотношением между напряженностью поля и градиентом потенциала, для случая конденсатора, в котором поле однородно, получим

. (71)

Таким образом,

. (72)

Сравнивая полученное выражение с (70), получим

. (73)

Если пространство между обкладками заполнено средой с диэлектрической проницаемостью , то

. (74)

Из полученной формулы видно, что для увеличения емкости конденсатора следует увеличивать площадь пластин, уменьшать расстояние между ними и подбирать диэлектрическую прослойку с максимальным значением .

Для увеличения емкости конденсаторов без значительного увеличения их линейных размеров конденсаторы соединяют параллельно в батарею (рис.____).

В этом случае общим для всех конденсаторов является напряжение U, поэтому , , … Суммарный заряд, находящийся на батарее, будет равен

, (75)

а емкость батареи

. (76)

Таким образом, емкость батареи конденсаторов, соединенных параллельно, равна сумме емкостей отдельных конденсаторов. Так как в этом случае напряжение на каждом конденсаторе равно напряжению на батарее, то и допустимое рабочее напряжение батареи, т. е. предельное напряжение, которое можно прикладывать к обкладкам конденсатора, не опасаясь его пробоя, будет таким же, как и у одного конденсатора.

Для предотвращения пробоя системы используют последовательное соединение конденсаторов (рис.____). Если к концам такой батареи приложить разность потенциалов U, то крайние пластины системы зарядятся разноименными зарядами . Вследствие электростатической индукции на всех промежуточных пластинах наведутся заряды также численно равные q. При этом полная разность потенциалов распределится между конденсаторами соответственно их емкостям

(77)

Напряжение же батареи будет равно сумме напряжений на отдельных конденсаторах

. (78)

Поэтому для емкости всей батареи находим

. (79)

Таким образом, при последовательном соединении конденсаторов обратная величина емкости батареи равна сумме обратных величин емкостей, соединенных в батарею конденсаторов.

Из формулы (79) следует, что при последовательном соединении конденсаторов электроемкость батареи меньше электроемкости каждого из конденсаторов. Но напряжение на каждом конденсаторе будет меньше напряжения на батарее, и поэтому допустимое рабочее напряжение будет больше, чем у одного конденсатора.

Емкость цилиндрического конденсатора равна

, (80)

где l – длина конденсатора, и – радиусы внутренней и внешней обкладок.

Емкость сферического конденсатора равна

, (81)

где и – радиусы внутренней и внешней обкладок конденсатора.

9.1. Плоский конденсатор присоединен к источнику постоянного напряжения. Изменится ли напряженность электрического поля внутри конденсатора, если пространство между обкладками заполнить диэлектриком?

9.2. Выведите формулу емкости сферического и цилиндрического конденсаторов.

9.3. Выведите формулу емкости двухпроводной линии.

9.4. Изобразите потенциальную диаграмму плоского конденсатора.

9.5. Два металлических шара одинакового радиуса находятся далеко друг от друга. Чему равна емкость системы, образованной этими шарами?

10. Диэлектрики. Связанные заряды. Поляризация диэлектриков. Вектор электрического смещения

Диэлектриками называют вещества, в которых отсутствуют свободные заряды, т. е. вещества, практически не проводящие электрический ток. Их проводимость примерно в раз хуже, чем у проводников. Заряды в диэлектриках могут смещаться из своих положений равновесия лишь на малые расстояния, порядка атомных, поэтому их называют связанными. Любой диэлектрик состоит из молекул, причем любой физически бесконечно малый элемент объема диэлектрика является электрически нейтральным. Молекулы состоят из атомов, в состав которых входят положительно заряженные ядра и отрицательно заряженные электронные оболочки. Действие электронов атомов молекулы на внешние заряды напоминает действие одного заряда, находящегося в некоторой точке, которую называют центром тяжести отрицательных зарядов. Действие положительных зарядов также эквивалентно действию одного заряда, находящегося в центре тяжести положительных зарядов. В общем случае центры тяжестей положительных и отрицательных зарядов могут не совпадать. Такая система, как известно, называется электрическим диполем, характеризующимся электрическим моментом . Молекулы, состоя­щие из диполей, называют полярными, а эквивалентные им диполи –твердыми диполями (например, СО, НС1, Н2О). Под действием электрического поля расстояния между зарядами в таких молекулах не изменяются. Полярные молекулы обладают собственным электрическим моментом . Возможны молекулы, центры тяжестей положительных и отрицательных зарядов которых при отсутствии внешнего электрического поля совпадают. Такие молекулы называются неполярными, а эквивалентные им диполи – упругими диполями (например, Н2, О2, N2). В отсутствие внешнего электрического поля электрический момент неполярной молекулы равен нулю. Под действием внешнего электрического поля заряды в неполярной молекуле смещаются (положительные – по полю, отрицательные – против поля), в результате чего молекула приобретает электрический момент, величина которого пропорциональна напряженности поля.

, (82)

где – поляризуемость молекул, характеризующая степень податливости молекулы воздействию поля. Поведение диэлектрика с неполярными молекулами во внешнем электрическом поле мало отличается от поведения диэлектрика с полярными молекулами.

Если диэлектрик поместить в электрическое поле, то молекулы – диполи, начнут поворачиваться: этот поворот называют ориентацией. Ориентации препятствует тепловое движение. При данной температуре ориентация тем сильнее, чем больше величина поля. В результате ориентации молекул диэлектрика на его поверхностях, непараллельных линиям напряженности поля, образуются электрические заряды (рис.___). Эти заряды называют поляризационными, а их возникновение – поляризацией диэлектрика (диэлектрик в таком состоянии называют поляризованным). Поляризация в зависимости от вида диэлектрика может быть ориентационной (ориентируются готовые молекулы – диполи) и деформационной или поляризацией электронного смещения (молекулы в электрическом поле деформируются, превращаясь в диполи). При поляризации общий заряд диэлектрика не меняется. Поляризационные заряды образуются только на поверхностях диэлектрика. Связано это с тем, что внутри диэлектрика положительные и отрицательные заряды молекул – диполей компенсируют друг друга. Компенсация отсутствует только на поверхностях диэлектрика (или на границе раздела двух диэлектриков, или в неоднородном диэлектрике). Разумеется, поляризационные заряды, возникающие на поверхностях диэлектрика, являются связанными.

Для характеристики степени поляризации диэлектрика вводят вектор поляризации, который представляет собой сумму всех дипольных моментов в единице объема диэлектрика

, (83)

где N – число молекулярных диполей в единице объема. В однородном поле можно полагать, что все молекулы однородного диэлектрика одинаково поляризованы, поэтому

, (84)

где . Таким образом, поляризованность прямо пропорциональна напряженности поля. Коэффициент называется диэлектрической восприимчивостью диэлектрика и является безразмерной величиной. Полученная линейная зависимость между Р и Е, как показывает опыт, имеет место только в не слишком сильных полях (рис. ___).

Поляризация диэлектрика в электрическом поле ведет к ослаблению этого поля внутри диэлектрика, ибо поляризуясь, он создает свое собственное поле, напряженность которого направлена против напряженности внешнего поля (рис. ___). Результирующая напряженность в диэлектрике равна

. (85)

Величина

(86)

называется относительной диэлектрической проницаемостью диэлектрика.

При исследовании диэлектриков используется вспомогательная величина, называемая вектором электрического смещения , или вектором индукции. В однородном изотропном диэлектрике поле, создаваемое свободными и связанными зарядами, характеризуется вектором напряженности , а поле, создаваемое свободными зарядами – вектором индукции . Поляризация диэлектрика (вектор поляризации ) связанных зарядов способствует созданию.

Связь между векторами , и имеет вид

. (87)

Вектор равен сумме двух векторов различной природы: напряженности электрического поля – главной характеристики поля и вектора поляризации (поляризованности) , который определяет электрическое состояние вещества в этом поле. Так как , то

, (88)

где . Таким образом, вектор пропорционален вектору и в изотропных диэлектриках параллелен ему.

Для вакуума

. (89)

Найдем связь между векторами и . Вектор . С другой стороны, , следовательно, , откуда

. (90)

Поле вектора графически можно изобразить с помощью линий индукции, направление и густота которых определяются так же, как и линий вектора напряженности. Аналогично потоку вектора напряженности можно говорить о потоке вектора индукции через площадку

. (91)

Теорема Гаусса для поля вектора имеет вид

. (92)

Нетрудно видеть, что и в этом случае поток вектора через замкнутую поверхность определяется только свободными зарядами.

10.1. В чем различие между явлениями поляризации диэлектрика и электростатической индукции проводниках?