Алгебра и геометрия

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Контрольные и экзаменационные задания

для студентов дистанционной формы обучения

Владивосток

2011

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ВЛАДИВОСТОКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА»

(ВГУЭС)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Контрольные и экзаменационные задания

для студентов дистанционной формы обучения

Владивосток

Издательство ВГУЭС

2011

1 Указания к выполнению контрольной и экзаменационной работ

При выполнении необходимо соблюдать следующие правила:

1). Студент должен выполнять контрольные задания по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой его учебного шифра. Например, если последняя цифра 7, то студент выполняет вариант № 7, в который из контрольной и экзаменационной работ включаются задания 1.7, 2.7, 3.7 и так далее.

2). Каждую работу следует собственноручно выполнять в отдельной тетради, оставляя поля для замечаний рецензента и несколько чистых страниц в конце работы для возможных исправлений и дополнений в соответствии с замечаниями рецензента.

3). На обложке тетради должны быть отчетливо написаны фамилия студента, его инициалы, шифр, вид работы.

4). Решения задач надо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие.

5) Решения задач следует излагать подробно и записывать аккуратно, объясняя все действия и делая необходимые чертежи.

6). После получения прорецензированной работы студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты. Работа над ошибками выполняется в той же тетради после основной работы.

7). В случае выполнения контрольных и экзаменационных заданий в печатном виде на ПК работа оформляется в соответствии со стандартом СТО 1.* Система вузовской учебной документации. Общие требования к оформлению текстовой части выпускных квалификационных работ, курсовых работ (проектов), рефератов, контрольных работ, отчетов по практикам, лабораторным работам. Структура и правила оформления. Стандарты Владивостокского государственного университета экономики и сервиса. К печатному варианту необходимо сдать вариант на электронном носителе.

2 Варианты заданий

2.1 Контрольная работа

1. Выполнить действия над матрицами.

1.1. , . Найти .

1.2. , . Найти .

1.3. ,. Найти .

1.4. ,. Найти .

1.5. , . Найти .

1. 6. ,. Найти .

1. 7. , . Найти .

1. 8. ,. Найти .

1. 9. ,. Найти .

1.10. ,. Найти .

2. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5. 2.6.

2.7. 2.8.

2.9. 2.10.

3. Решить неоднородную СЛАУ методом Гаусса или методом Жордана-Гаусса.

3.1. 3.2.

3.3. 3.4.

3.5. 3.6.

3.7. 3.8.

3.9. 3.10.

4. По координатам точек, и для указанных векторов найти:

а) модуль вектора ;

б) скалярное произведение векторов и ;

в) проекцию вектора на вектор ;

г) координаты точки , делящей отрезок в отношении .

4.1. , , , , , , , , , .

4.2. , , , , , , , , .

4.3. , , , , , , , , .

4.4. , , , , , , , , .

4.5. , , , , , , , , .

4.6. , , , , , , , , , .

4.7. , , , , , , , , .

4.8. , , , , , , , , , .

4.9. , , , , , , , , , .

4.10. , , , , , , , , .

5. Даны вершины треугольника АВС. Найти:

а) уравнение стороны AB;

б) уравнение высоты CH;

в) уравнение медианы AM;

г) точку N пересечения медианы AM и высоты CH;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне AB;

е) расстояние от точки С до прямой AB.

5.1. , , . 5.2. , , .

5.3. , , . 5.4. , , .

5.5. , , . 5.6. , , .

5.7. , , . 5.8. , , .

5.9. , , . 5.10. , , .

6. Решить следующие задачи.

6.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельно оси Oz.

6.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую , , .

6.3. Найти проекцию точки на плоскость .

6.4. Определить, при каком значении B плоскости и будут перпендикулярны.

6.5. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку и отсекает на осях координат отличные от нуля отрезки одинаковой величины.

6.6. Определить, при каких значениях n и A прямая перпендикулярна к плоскости .

6.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и перпендикулярно к плоскости .

6.8. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к плоскостям и .

6.9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , параллельно вектору .

6.10. Определить, при каком значении C плоскости и будут перпендикулярны.

7. Составить канонические уравнения:

а) эллипса; б) гиперболы; в) параболы.

(A и B – точки, лежащие на кривой, F – фокус, a – большая (действительная) полуось, b – малая (мнимая) полуось, - эксцентриситет, - уравнения асимптот гиперболы, D – директриса кривой, 2c – фокусное расстояние).

7.1. а) , ; б) , ; в) D: .

7.2. а) , ; б) , ; в) D: .

7.3. а) , ; б) , ; в) ось симметрии Oy и .

7.4. а) , ; б) , ; в) ось симметрии Oy и .

7.5. а) , ; б) , ; в) D: .

7.6. а) , ; б) , ; в) D: .

7.7. а) , ; б) , ; в) D: .

7.8. а) , ; б) , ; в) D: .

7.9. а) , ; б) , ; в) ось симметрии Oy и .

7.10. а) , ; б) , ; в) ось симметрии Oy и .

2.2 Экзаменационная работа

1. Вычислить определитель:

1) разложив его по элементам -ой строки;

2) разложив его по элементам -го столбца;

3) методом понижения порядка.

1.1. 1.2.

, ,

1.3. 1.4.

, ,

1.5. 1.6.

, ,

1.7. 1.8.

, ,

1.9. 1.10.

, ,

2. Исследовать на совместность неоднородную систему линейных алгебраических уравнений и решить ее:

1) матричным методом;

2) по формулам Крамера.

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5. 2.6.

2.7. 2.8.

2.9. 2.10.

3. Вершины пирамиды находятся в точках А, В, С и D. Вычислить:

а) площадь указанной грани;

б) площадь сечения, проходящего через середину ребра и две вершины пирамиды;

в) объем пирамиды.

3.1. , , , ; а) ; б), и .

3.2. , , , ; а) ; б) , и .

3.3. , , , ; а) ; б) , и .

3.4. , , , ; а) ; б) , и .

3.5. , , , ; а) ; б) , и .

3.6. , , , ; а) ; б), и .

3.7. , , , ; а) ; б), и .

3.8. , , , ; а) ; б) , и .

3.9. , , , ; а) ; б) , и .

3.10. , , , ; а) ; б) , и .

4. Даны четыре точки А, В, С и D. Составить уравнения:

а) плоскости ABC;

б) прямой AB;

в) прямой DM, перпендикулярной к плоскости ABC;

г) прямой CN, параллельной прямой AB;

д) плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно к прямой AB.

Вычислить:

е) синус угла между прямой AD и плоскостью ABC;

ж) косинус угла между координатной плоскостью xOy и плоскостью ABC.

4.1. , , , .

4.2. , , , .

4.3. , , , .

4.4. , , , .

4.5. , , , .

4.6. , , , .

4.7. , , , .

4.8. , , , .

4.9. , , , .

4.10. , , , .

5. Решить следующие задачи.

5.1. При каком значении p прямые и являются параллельными?

5.2. Найти точку пересечения прямой и плоскости .

5.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости xOz.

5.4. Составить общие уравнения прямой, образованной пересечением плоскости с плоскостью, проходящей через ось Oy и точку .

5.5. При каких значениях B и D прямая лежит в плоскости xOy?

5.6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторам и .

5.7. Составить уравнения прямой, проходящей через точку параллельно оси Ox.

5.8. Составить уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно к прямой .

5.9. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно к прямым и

5.10..Найти точку, симметричную точке относительно прямой .

6. Построить кривые в полярной системе координат по точкам, придавая значения через промежуток , начиная с .

а) Предварительно составить уравнение кривой в полярной системе координат.

б) Найти уравнение полученной линии в прямоугольной системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить вид кривой.

6.1. а) , б)

6.2. а) , б)

6.3. а) , б)

6.4. а) , б)

6.5. а) , б)

6.6. а) , б)

6.7. а) , б)

6.8. а) , б)

6.9. а) , б)

6.10. а) , б)