Практические занятия «Аналитическая геометрия»

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

«АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Всякой линии L на плоскости XOY соответствует некоторое уравнение F(x,y)=0 с двумя переменными x и y . Это уравнение линии L.

Прямая линия на плоскости

Прямая линия задается уравнением первой степени относительно x и y.

. (6)

Это общее уравнение прямой . Здесь коэффициенты А и В есть координаты нормального вектора (рис. 21).

Существуют другие виды уравнения прямой . Так, решив уравнения (6) относительно у, получим (если ): Это уравнение прямой c угловым коэффициентом.

у

b

О х

Рис. 21

Здесь - угловой коэффициент прямой, b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси OY (рис. 21).Если С0, то уравнение (6) можно записать в форме

. Здесь а и b - величины отрезков, которые прямая отсекает на осях ОХ и OY (рис. 21).

Если прямая проходит через две заданные точки и , то ее уравнение имеет вид .

Пример. Прямая проходит через точки и . Написать ее уравнение, найти угловой коэффициент и отрезки, которые она отсекает на осях координат.

Решение. - oбщее уравнение прямой. Отсюда следует, что или - уравнение прямой с угловым коэффициентом. Здесь . Из уравнения . Итак, а=11, b=.

Если прямые и пересекаются в точке М (рис. 22), то угол поворота от и определяется по формуле

. (7)

В частности, если , то и . Если же , то . Из формулы (7) следует, что или .

у

М

О х

Рис. 22

Пример. Найти угол между прямыми и .

Решение. Так как .

Так как . .

Кривые второго порядка

Так называются линии, которые описываются уравнениями второй степени относительно х и у. К ним относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

1. Окружность

- каноническое уравнение, х, у – текущие координаты окружности, О – центр окружности, r – радиус окружности.

у

О х

2.

- каноническое уравне-ние , а – большая полуось эллипса, b – малая полуось. - фокусы эллипса. Величины а, b, с связаны формулой .

Эллипс

у

b a

О c х

3.

-каноническое уравнение, а – действительная полуось, b - мнимая полуось, - фокусы гиперболы, - уравнения асимп-тот; величины связаны формулой .

Гипербола

Y

b c

O a x

- каноническое уравнение, - параметр параболы, О – вершина параболы, - фокус параболы. Прямая -директриса. Уравнение : . Если изменить расположение кривой относите-льно системы координат, то изменится и урав-нение кривой, которое уже не будет каноническим. При этом возможны следующие случаи:

4. Парабола

y

N O F

x

Центр кривой перенесен в точку без изменения направления осей симметрии. Уравнения полученных кривых называют нормальными.

y y

O x O x

y y

O x

Полярная система координат

Она задается полярной осью ,на которой указаны начало отсчета О и единица

масштаба (рис.23).

у

y

O O

1 x

Рис. 23 Рис. 24

В полярной системе всякая точка М имеет две координаты: расстояние от полюса О до точки М, то есть , и угол , который образует радиус-вектор с осью . Числа называются полярными координатами точки М. Они изменяются в границах , .

Если полярную систему координат естественным образом совместить с декар-

товой системой XOY (рис. 24), то . Это формулы, с помощью которых можно перейти от декартовых координат к полярным. Из этих формул следует, что . Таким образом, полярные координаты выгодны в тех случаях, когда уравнение линии содержит выражение .

Пример. Уравнение кривой записать в полярных координатах.

Здесь .

Поэтому . Эта кривая называется лемнискатой Бернулли (рис. 25).

О О

Рис. 25 Рис. 26

Пример. Построить кривую . Эта кривая называется кардиоидой (рис. 26). Строим таблицу значений, придавая аргументу значения с постоянным шагом .

	0					…
	2а	1,7а	а	0,3а	0	…	2а

В обобщенной полярной системе координат допускаются отрицательные значения полярного радиуса . В этой системе , . При этом точки строятся симметрично относительно полюса О. Например, из уравнения лемнискаты следует, что .

Здесь . Строим таблицу значений.

	-	-	-	0
	0						0

Уравнению соответствует та часть лемнискаты, которая расположе-на в первой и четвертой четвертях, а уравнению - во второй и треть-ей четвертях.

Кривые, заданные параметрически

Линию L на плоскости XOY можно рассматривать как траекторию движущейся точки М (х, у) . При этом ее координаты х и у изменяются в зависимости от некоторого параметра t. Обычно в качестве параметра t выступает либо время движения, либо угол поворота. Таким образом, параметрические уравнение линии L имеют вид .

Примеры некоторых кривых, заданных параметрически

у Циклоида

О х

Астроида Окружность

у у М (х, у)

у

О а х О х х

Здесь t – угол поворота радиуса-вектора движущейся точки. Циклоиду описывает точка М, лежащая на окружности радиусом а, когда окружность движется по оси ОХ и описывает полный оборот. Астроиду описывает также точка, лежащая на окружности радиусом а/2 , при ее движении внутри окружности радиусом а.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

В пространстве XYZ всякой поверхности Р соответствует уравнение F(x,y,z)=0 c тремя переменными x, y, z . Линия L в трехмерном пространстве определяется как результат пересечения двух поверхностей: L = . Таким образом, аналитически линия L задается системой двух уравнений с тремя переменными.Простейшей из поверхностей является плоскость.

Плоскость

Плоскость задается уравнением первой степени относительно x,y,z. . Это общее уравнение плоскости. Здесь А, В, С - координа

ты нормального вектора (рис. 27).

z z

2

c

-5 O y

O 4

в у x

a

x

Рис. 27 Рис. 28

Если плоскость проходит через точку , то ее уравнение имеет вид . Чтобы построить плоскость, рекомендуется

ее уравнение записать в «отрезках»: .

Пример. Построить плоскость 5х - 4у + 10z – 20 = 0 (рис. 28).

Решение. 5х – 4у + 10z= 20, , .

Итак, а = 4, b = - 5, с = 2 .

Известно, что если точки , , не лежат на одной прямой, то они определяют единственную плоскость. Ее уравнение имеет вид

.

Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

Решение. .

Разложим определитель по элементам первой строки:

.

.

Пусть заданы две плоскости ,

. Угол между ними численно

равен углу между их нормальными векторами и , поэтому

.

В частности, если , то и .Если же , то ; тогда т. е. .

Пример. Какой угол образуют плоскости , ?

Решение. Здесь .

. .

Прямая линия в пространстве

Известно, что две плоскости пересекаются по прямой . Поэтому уравнения прямой имеют вид

Это общие уравнения прямой в трехмерном пространстве.

Положение прямой будет определено, если известны некоторая точка на этой прямой и вектор , которому прямая параллельна (рис. 29). Если - произвольная точка прямой , то . Так как , то

. (8)

Здесь - направляющий вектор прямой .

z z

М y

O

О

x

х

Рис. 29 Рис. 30

Уравнеия (8) называются каноническими уравнения прямой .

Как и на плоскости, прямую в пространстве можно задать с помощью двух точек и , через которые она проходит:

.

Пример. Написать уравнение прямой , которая проходит через точки .

.

В механике часто используются параметрические уравнения прямой : .

Пример. Уравнения полученной прямой записать в параметрической форме. Приравнивая каждое из отношений параметру t, получим

. Отсюда следует, что x = - t + 1, y = 7t – 3, z = - 7t + 5.

Угол между двумя прямыми - это угол между их направляющими векторами (рис. 30) .

Поэтому .

Если , то , поэтому . Если , то и , поэтому .

Пример. Написать уравнения прямой , которая проходит через точку параллельно прямой : .

Решение. Так как , то .Это значит, что в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор . Канонические уравнения искомой прямой имеют вид .

Криволинейные поверхности второго порядка

Это поверхности, заданные уравнением второй степени с тремя переменными. К ним относятся сфера, трехосный эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды, конусы второго порядка. Их уравнения имеют следующий вид:

- сфера; - эллипсоид;

- однополостный гиперболоид;

- двуполостный гиперболоид;

- эллиптический параболоид;

- гиперболический параболоид.

1. Сфера 2. Эллипсоид

z R z

c

-R - a

О R O

R R y - b b y

R a

x

x -R - c

z

3. Однополостный гиперболоид 4. Двуполостный гиперболоид

z

в c

O O

y - c y

а

х x

5. Эллиптический параболоид 6. Гиперболический параболоид

z

z

y

O x

O y

x