Руководство по изучению дисциплины Высшая математика (стр. 3 )

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Элементы линейной алгебры

=

Если , , то

,

причем , ,

, ( по -тому столбцу)

, ( по -той строке)

,

,

Элементы векторной алгебры

= ()

() =

Направляющие косинусы вектора

Работа силы А = . Момент силы = .

= = =

Элементы аналитической геометрии

Уравнения прямой на плоскости

Уравнения плоскости

Уравнения прямой в пространстве

= , где

= , где

Введение в математический анализ

, если

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

=

, , … ,

ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

Правило Лопиталя

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ЛЕКЦИОННОМУ КУРСУ

Элементы линейной алгебры

1. Дать определение матрицы. Сформулировать правила выполнения линейных операций над матрицами, умножения матриц, транспонирования.

2. Может ли быть равной нулю произведение двух ненулевых матриц? Привести примеры. Каковы свойства умножения матриц?

3. Дать определение определителей II и III порядков.

4. Как свести вычисление определителя - го порядка (4) к вычислению определителей II и III порядков?

5. Дать определение ранга матрицы. Ранг какой матрицы равен 0? Чему равен ранг матриц , , ?

6. Какие преобразования матрицы называются элементарными? Изменяют ли они ранг матрицы?

7. Какая матрица называется обратной к матрице ? Для какой матрицы существует обратная? Как решить матричные уравнения и с невырожденной матрицей ?

8. Дать определение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и ее решения. Какие СЛАУ называются совместными, несовместными, определенными, неопределенными?

9. Сформулировать критерий совместности линейной системы (теорема Кронекера-Капелли) и следствие для системы однородных уравнений.

10. Каково условие существования нетривиального решения системы однородных уравнений с неизвестными?

Элементы векторной алгебры

1. Что называется геометрическим вектором?

2. Какие векторы называются коллинеарными? Компланарными? Равными?

3. Какие векторы называются линейно зависимыми? Линейно независимыми? Что называется базисом?

4. Что является базисом на прямой? На плоскости? В пространстве?

5. Что является базисом в декартовой ортогональной системе координат (ДОСК)?

6. Что называется координатами вектора в ДОСК?

7. Что означает линейная зависимость векторов и ?

8. Что называется скалярным произведением векторов? Сформулировать его свойства. Как вычислить скалярное произведение в произвольном базисе? В ДОСК?

9. Как вычислить проекцию вектора на направление, заданное другим вектором? Как найти работу вектора силы?

10. Как найти длину вектора в произвольном базисе? В ДОСК?

11. Что называется ортом вектора? Что такое направляющие косинусы? Как они связаны с ортом вектора? В чем заключается основное свойство направляющих косинусов?

12. Как найти угол между двумя векторами?

13. Сформулировать необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов в координатной форме.

14. Что называется правой тройкой векторов? Левой тройкой?

15. Дать определение векторного произведения двух векторов. Сформулировать его свойства.

16. Как вычислить векторное произведение в произвольном базисе? В ДОСК?

17. Как найти площадь параллелограмма? Площадь треугольника? Синус угла между векторами? Момент силы?

18. Чему равно векторное произведение коллинеарных векторов?

19. Что называется смешанным произведением трех векторов? В чем заключается его геометрический смысл?

20. Как вычислить смешанное произведение в произвольном базисе? В ДОСК?

21. Что означает линейная зависимость векторов , и ?

22. Как вычислить объем параллелепипеда? Объем тетраэдра?

Элементы аналитической геометрии

1. Дать определение линии, точки пересечения двух линий. Какими способами можно задать линию?

2. Каким уравнением задается прямая на плоскости?

3. Что называется вектором нормали к прямой? Направляющим вектором?

4. Какой вид имеет уравнение прямой, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору? Параллельно заданному вектору?

5. Какой вид имеет уравнение прямой с угловым коэффициентом? Каков геометрический смысл углового коэффициента?

6. Дать определение угла между прямыми на плоскости, заданными различными уравнениями. Как его найти? Каковы условия параллельности прямых? Перпендикулярности прямых?

7. Как вычисляется расстояние от точки до прямой на плоскости? Как найти расстояние между параллельными прямыми?

8. Какие линии на плоскости называются алгебраическими кривыми 2-го порядка?

9. Что называется окружностью? Каким уравнением задается окружность?

10. Что называется эллипсом? Как выглядит его каноническое уравнение?

11. Что называется гиперболой? Как выглядит её каноническое уравнение?

12. Что называется параболой? Как выглядят её канонические уравнения?

13. При помощи каких преобразований плоскости общее уравнение кривой 2-го порядка приводится к каноническому виду?

14. Каким уравнением задается плоскость? Что называется вектором нормали к плоскости?

15. Какой вид имеет уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору?

16. Исследовать уравнение плоскости.

17. Дать определение угла между плоскостями. Как его найти? Сформулировать условия перпендикулярности и параллельности двух плоскостей.

18. Как вычисляется расстояние от точки до плоскости? Как найти расстояние между параллельными плоскостями?

19. Каким образом задается линия в пространстве? Как можно задать прямую в пространстве?

20. Как привести общие уравнения прямой в пространстве к каноническому виду?

21. Дать определение угла между прямыми в пространстве. Как его найти? Как определить взаимное расположение прямых в пространстве?

22. Как определить взаимное расположение прямых в пространстве?

23. Как определить взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве?

24. Дать определение поверхности 2-го порядка.

25. Дать определение цилиндрической поверхности.

26. Дать определение поверхности вращения.

Введение в математический анализ

1. Что называется функцией действительного аргумента? Как можно задать функцию?

2. Что называется числовой последовательностью?

3. Какие последовательности называются ограниченными, неограниченными, бесконечно малыми, бесконечно большими? Являются ли последовательности и неограниченными? Какая из последовательностей и является бесконечно малой? Являются ли эти последовательности ограниченными?

4. Какая числовая последовательность называется сходящейся? Что называется пределом последовательности? Дать геометрическую интерпретацию предела.

5. Являются ли сходящимися последовательности , , , ?

6. Чему равен , где , – многочлены степени и соответственно, при , , ?

7. Что называется пределом функции в точке и на бесконечности? Какие различия в поведении функции , , при и при ?

8. Дать определение односторонних пределов функции в точке . Чему равен и ?

9. Какие функции называются бесконечно малыми (б. м.) в точке ? Как сравнить б. м. функции ?

10. Какие б. м. называются эквивалентными? В чем состоит принцип замены б. м. ? Когда он применяется? Привести примеры эквивалентных б. м..

11. Какая функция называется непрерывной в точке , на ? Дать геометрическую иллюстрацию определения.

12. Какие функции называются элементарными? Как исследовать на непрерывность элементарные и неэлементарные функции?

13. Что называется точкой разрыва функции? Как классифицируются точки разрыва? Какого рода разрывы имеют функции , , , ?

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1. Что называется производной функции в точке ? Каков геометрический и механический смысл производной? Чему равна производная постоянной величины? Почему?

2. Что называется касательной к кривой в заданной точке ? Написать уравнение касательной к кривой в точке .

3. Какая функция называется дифференцируемой в точке ? Что называется дифференциалом функции ? Что означает инвариантность формы первого дифференциала?

4. Дать определение производных и дифференциалов высших порядков.

5. Каков геометрический смысл теорем Ферма, Ролля, Лагранжа?

6. Сформулировать правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида и .

7. Как раскрываются неопределенности вида , , , , ?

8. Какие функции называются возрастающими, убывающими, монотонными на ? Сформулировать признак монотонности дифференцируемой функции на интервале .

9. Какая точка называется точкой максимума (минимума) функции ? Сформулировать необходимое условие существования экстремума дифференцируемой функции. Является ли это условие достаточным? Привести контрпримеры.

10. Сформулировать достаточное (любое) условие существования экстремума функции в точке .

11. Какая кривая называется выпуклой вверх (вниз) на интервале ? Что называется точкой перегиба кривой?

12. Какое условие является необходимым для существования точки перегиба? Какое – достаточным для существования точки перегиба?

13. Что называется асимптотой кривой? Какие асимптоты может иметь кривая? Сколько вертикальных, горизонтальных, наклонных асимптот может быть у графика функции ? Привести примеры функций, имеющих:

a) одну, две, три вертикальные асимптоты;

b) бесконечное множество вертикальных асимптот;

c) одну вертикальную асимптоту и одну горизонтальную;

d) одну вертикальную асимптоту и одну наклонную;

e) две горизонтальные асимптоты.