Физическая кинетика (стр. 3 )

d ( w (k1 ) - w (k ) - W (q)) [Nk1 (n(q) + Nk ) - Nk n(q) ] .

Показать, что сохраняется полное число волн N(k)= < a*k ak >.

5. В среде возбуждаются два типа волн с законами дисперсии w (k) и W (q).

Кинетическое уравнение для числа волн n(q) = <b*q bq > принимает вид

d n(q)/dt = p Sk1, k2 |Vk1, k2, q |2 D (k1- k2 – q) d ( w (k1 ) - w (k2 ) - W (q)) x

x [Nk1 (n(q) + Nk2 ) - Nk1 n(q) ].

Найти равновесный тепловой спектр для N0(k) и n0(q).

6. В среде возбуждаются два типа волн с законами дисперсии w (k) и W (q).

Кинетическое уравнение для числа волн n(q) = <b*q bq > принимает вид

d n(q)/dt = p Sk1, k2 |Vk1, k2, q |2 D (k1- k2 – q) d ( w (k1 ) - w (k2 ) - W (q)) x

x [Nk1 (n(q) + Nk2 ) - Nk1 n(q) ],

а для числа волн N(k)= < a*k ak > принимает вид

d N(k)/dt = p Sk1, q |Vk, k1, q |2 D (k- k1 – q) d ( w (k ) - w (k1 ) - W (q)) x

x[ Nk1 n(q) - Nk (n(q) + Nk1 )] + p Sk1, q |Vk, k1, q |2 D (k1- k – q) x

d ( w (k1 ) - w (k ) - W (q)) [Nk1 (n(q) + Nk ) - Nk n(q) ] .

Показать, что сохраняется полная энергия волн

E = Sk w (k ) Nk + Sq W (q ) n(q).

7. Для звуковых волн найти с точностью до числовых множителей

константу трехволнового взаимодействия Vk, k1, k2. Гамильтониан среды имеет вид

H = ∫ d r [ r v2/2 + e(r)],

где r - плотность среды, v = d f /d r - скорость, f - потенциал, e - внутренняя энергия единицы массы. Каноническими переменными в данной задаче являются плотность и потенциал скорости. Рассмотриваюися звуковые волны небольшой амплитуды, так что возмущение плотности r1 << r0 и скорость движения среды v << cs - скорости звука.

8. Найти для капиллярных волн на поверхности воды глубиной h с точностью до числовых множителей константу трехволнового взаимодействия Vk, k1, k2. Амплитуду волны как функцию двумерного вектора r и времени t обозначим h(r,t). При условии h << l, где l - длина волны, течение жидкости можно рассматривать как потенциальное, т. е. cкорость v(r, t) можно представить в виде v = d f /d r. Энергия волн есть

H/r = ∫d r ∫ dz r v2/2 + (s/2 r) ∫ d r (d h /d r)2

Каноническими переменными являются h(r, t) и f(z= h(r, t), r, t).

9. Показать, что для двумерной турбулентности средние значения волновых векторов для спектра энергии

k1 = ∫ k E(k) d k/E,

где энергия E = ∫ d r r v2/2 = ∫ E(k) d k,

и для спектра энстрофии

k2 = ∫ k H(k) d k/H,

где энстрофия H = ∫ d r W2/2, а завихренность W определяется как ротор скорости, в двух измерениях являющийся скалярной величиной, удовлетворяют неравенствам:

k1 < k* < k2,

где k*=(H/E)1/2 .

10. В газе частиц массой m находится небольшая примесь газа частиц массой

M >> m. Газы находятся в равновесии при температуре T, длина свободного

пробега тяжелых частиц l. Оценить коэффициент диффузии по импульсам

тяжелых частиц.

11. В газе частиц массой m находится небольшая примесь газа частиц массой

M >> m. Газы находятся в равновесии при температуре T, длина свободного

пробега тяжелых частиц l. Оценить коэффициент диффузии по энергии

тяжелых частиц.

12. В газе частиц массой m находится небольшая примесь газа частиц массой

M >> m. Газы находятся в равновесии при температуре T, длина свободного пробега тяжелых частиц l. Найти (по порядку величины) связь коэффициентов диффузии в координатном и импульсном пространствах тяжелых частиц.

13. Фотоны с энергией e рассеиваются на электроном газе с температурой T. Оценить коэффициент диффузии фотонов по энергии в случае e << T << me c2 .

14. Найти среднеквадратичное смещение < r2 > броуновской частицы

за время t. Уравнение движения имеет вид