Физическая кинетика (стр. 4 )

d p/dt = f (t),

где f - случайная сила с гауссовой статистикой: <fi(t) >=0,

<fi(t) fj(t')> = d ij d (t-t') . Начальные условия: p(t=0)=0, r(t=0)=0.

15. В ферромагнетике в начальный момент времени имелось отклонение

от равновесного значения намагниченности вида

d M(x, 0) = d M0 exp(- x2/ 2 l2).

Найти как будет меняться со временем намагниченность, ограничившись

квадратичным приближением для свободной энергии.

16. В начальный момент времени было n0 радиоактивных ядер, распадающихся

с постоянной l (вероятность распада одного ядра в единицу времени).

Написать кинетическое уравнение для вероятности P(n, t) найти n

радиоактивных ядер в момент времени t. Найти

< D n2 > = < (n2(t) - <n(t)>2) >.

17. Двухуровневая квантовая система с матричными элементами гамильтониана

H11 = H12 = H21 = 0; H22 = e.

взаимодействует с термостатом с температурой T>> e . В начальный момент времени ситема находится в состоянии

F(0) = (3)1/2/2 |0> + 1/2 |1>,

где |0> , |1>- основное и возбужденное состояния системы. Найти матрицу плотности двухуровневой системы в момент времени t. Время релаксации диагональных компонент матрицы плотности T1, недиагональных - T2.

18. Матричные элементы гамильтониана частицы со спином 1/2, с собственным магнитным моментом m, в магнитном поле B, направленном вдоль оси z,

можно представить в виде

H11 = - m B; H12 = H21 = 0; H22 = + m B .

В начальный момент времени система находится в состоянии

F(0) = 1/ (2)1/2 |0> + 1/ (2)1/2 |1>

где |0> и |1> - основное и возбужденное состояния системы.

Найти среднее значение магнитного момента

< Mx > = Sp (m sx r)

в момент времени t, где

( sx)11 = 0; ( sx)12 = ( sx)21 = 1; ( sx)22 = 0.

Частица взаимодействует с термостатом, время релаксации диагональных компонент

матрицы плотности T1, недиагональных - T2.

Экзаменационные билеты по курсу «Физическая кинетика»

Билет №1

1. Классические волны в сплошных средах. Гамильтониан трехволнового

взаимодействия.

2. Уравнение Ланжевена для броуновской частицы.

3. Двухуровневая квантовая система с матричными элементами гамильтониана

H11 = -e/2; H12 = H21 = 0; H22 = e/2 .

взаимодействует с термостатом с температурой T>> e . В начальный момент времени ситема находится в состоянии

F(0) = 1/(2)1/2 |0> + 1/(2)1/2 |1>,

где |0> , |1>- основное и возбужденное состояния системы. Найти матрицу плотности двухуровневой системы в момент времени t. Время релаксации диагональных компонент матрицы плотности T1, недиагональных - T2.

Билет №2

1. Кинетическое уравнение для трехволнового взаимодействия.

Термодинамическое равновесие и H-теорема.

2. Замедление нейтронов в тяжелых средах.

3.. В ферромагнетике в начальный момент времени имелось отклонение

от равновесного значения намагниченности вида

d M(x, 0) = d M0 exp(-| x|/ l).

Найти как будет меняться со временем намагниченность, ограничившись

квадратичным приближением для свободной энергии.

Билет №3

1. Затухание волн в термостате. Оценка затухания звука в трех измерениях.

2. Полимерная цепь в случайном потоке.

3. Найти корреляционную функцию < pi(t1) pj(t2)> броуновской частицы. Уравнение движения имеет вид

d p/dt = f (t),

где f - случайная сила с гауссовой статистикой: <fi(t) >=0,

<fi(t) fj(t')> = d ij d (t-t') . Начальные условия: p(t=0)=0.

Билет №4

1. Масштабная инвариантность в кинетическом уравнении и колмогоровские

спектры на примере звуковых волн.

2. Кинетика кипения жидкости в поле тяжести.

3. Найти корреляционную функцию < r i(t1) pj(t2)> броуновской частицы. Уравнение движения имеет вид

d p/dt = f (t),

где f - случайная сила с гауссовой статистикой: <fi(t) >=0,

<fi(t) fj(t')> = d ij d (t-t') . Начальные условия: p(t=0)=0, r(t=0)=0.

Билет №5

1. Системы с разделяющимися масштабами и уравнения Ланжевена и Фоккера-Планка.

2. Кинетическое уравнение для реакции активации и распада.

3. Найти колмогоровский стационарный спектр для поверхностных волн на «мелкой»

воде.

Билет №6

1. Переход от кинетического описания к гидродинамическому.

2. Уравнения Блоха.

3. Найти колмогоровский стационарный спектр для поверхностных волн на «глубо - кой» воде.

Билет №7

1. Кинетика фазовых переходов первого рода. Теория Зельдовича.

2. Затухание спиновых волн при взаимодействии с тепловыми магнонами

в пределе длинных волн.

3. Найти колмогоровский стационарный спектр для спиновых волн.

Билет №8

1. Кинетика фазовых переходов второго рода. Модель Глаубера.

2. Затухание спиновых волн при взаимодействии с тепловыми магнонами

вблизи порога распада.

3. Найти температурную зависимость характерного времени неупругих столкновений электронов друг с другом.

Билет №9

1. Кинетическое описание реакций в классических системах с использованием

методов квантовой теории на примере реакции аннигиляции.

2. Колмогоровские спектры для волн на поверхности воды - спектры

Захарова-Филоненко и Каца-Конторовича.

3. Найти температурную зависимость характерного времени неупругих столкновений электронов с фононами.

Билет №10

1. Описание релаксации двухуровневой системы методом матрицы плотности.

2. Колмогоровский спектр для звуковых волн - спектр Захарова-Сагдеева.

3. Показать, что уравнение Паули

d pn /dt = Sm Wmn pm – pn Sm Wnm

сохраняет нормировку Sm pm=1.

Билет №11

1. Кинетика фазовых переходов первого рода. Теория Лифшица-Слезова.

2. Затухание спиновых волн при взаимодействии с тепловыми магнонами

вблизи порога распада.

3. Показать, что уравнение Паули

d pn /dt = Sm Wmn pm – pn Sm Wnm

приводит к возрастанию энтропии S= - Sm pm ln(pm).

Билет №12

1. Кинетика фазовых переходов первого рода. Теория Зельдовича.

2. Термодинамическое равновесие и H-теорема для трехволнового взаимодействия.

3. Решить уравнение Паули

d pn /dt = Sm Wmn pm – pn Sm Wnm

для двухуровневой системы с начальными условиями p0(t = 0) = 1, p1(t = 0) = 0.

Билет №13

1. Уравнения Ланжевена и Фоккера-Планка.

2. Кинетика кипения жидкости в невесомости

3. В газе частиц массой m находится небольшая примесь газа частиц массой

M >> m. Газы находятся в равновесии при температуре T, длина свободного пробега тяжелых частиц l. Найти (по порядку величины) связь коэффициентов диффузии в координатном и импульсном пространствах тяжелых частиц.

Билет №14

1. Уравнения Блоха.

2. Уравнение Ланжевена для броуновской частицы.

3. В среде возбуждаются два типа волн с законами дисперсии w (k) и W (q). Гамильтониан волн с учетом их взаимодействия имеет вид

H = Sk w (k) a*k a k + Sk W (k) b*k b k +

(½) Sk1, k2, q (Vk1, k2, q a*k2 a k1 bq + c. c.) D (k1- k2 - q).

Кинетическое уравнение для числа волн N(k)= < a*k ak > принимает вид

d N(k)/dt = p Sk1, q |Vk, k1, q |2 D (k- k1 – q) d ( w (k ) - w (k1 ) - W (q)) x