Интегральное исчисление и функции многих переменных (стр. 2 )

Доказательство этого свойства следует из формулы Тейлора для многочлена . Действительно, пусть . Очевидно, что все производные этого многочлена, начиная с порядка , будут тождественно равны нулю. Поэтому разложение функции по формуле Тейлора в точке будет иметь вид (остаток в форме Лагранжа тождественно равен нулю)

.

Если число является корнем многочлена и - порядок первой отличной от нуля производной , то

== , .

б) Если z = u + i v, v¹0 комплексный корень многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное комплексное число= u - i v также является корнем многочлена. Это утверждение следует из свойств операции комплексного сопряжения: , , для действительного числа x справедливо равенство . Поэтому, если z корень многочлена P(x) = a0+…+akxk+…+ anxn , то == ==P( ).

Тогда существует единственное представление многочлена в виде

P(x) = (x2+px+q)b , b ³ 1, Q(z)¹0,

(x - z)(x - )=(x - u - i v)(x - u + i v)=(x-u)2+v2=x2-2ux+u2+v2= x2+px+q.

в) Любой многочлен можно разложить в произведение по своим корням

,

где A – старший коэффициент многочлена, a1,a2,…, ar -действительные корни кратностей a1,a2,…, ar , а z1,z2,…, zs комплексные корни кратностей b1,b2,…, bs. Связь между комплексными корнями и сомножителями в разложении многочлена следующая x2+pkx+qk=(x - zk)(x - ).

Определение. Рациональная функция ( отношение двух многочленов) ) называется правильной дробью, если порядок многочлена числителя строго меньше порядка многочлена в знаменателе.

Утверждение. Любую рациональную функцию можно представить в виде многочлена (целая часть) плюс правильная дробь.

, - R(x) – многочлен, дробь - правильная.

R(x) –называется целой частью, а дробь P1/Q1 –остатком. Остаток и целую часть можно получить делением «уголком».

Пример: Выделить целую и дробную часть

Таким образом,

2.Разложение дроби на элементарные

Лемма 1. Пусть правильная дробь и a – вещественный корень многочлена Q(x), т. е. Q(x)=(x-a)aQ1(x), Q1(a)¹0,a ³ 1. Тогда существует A и многочлен P1(x) такие, что

,

где - правильная дробь.

Доказательство: Рассмотрим разность (где A - некоторое, пока неопределенное число)

.

Дробь справа правильная, так как порядок P(x) и AQ1(x) меньше порядка знаменателя. Положим , тогда для числителя число a будет корнем и =(x-a)P1(x). Если это выражение поделить на Q(x), то получиться требуемое равенство.

Лемма 2. Пусть правильная дробь и z=u+iv (v¹0) – комплексный корень многочлена Q(x), т. е. Q(x)=(x2+px+q)bQ1(x), Q1(z)¹0,b ³1. Тогда существуют вещественные числа M, N и многочлен P1(x) с вещественными коэффициентами такие, что

,

где - правильная дробь.

(без доказательства).

Определение. Дроби вида

называются элементарными.

Теорема. Пусть P(x)/Q(x) – правильная дробь, P, Q – многочлены с вещественными коэффициентами, старший коэффициент Q равен 1 и

разложение многочлена по попарно простым корням

a1,a2,…,ar, z1,z2,…,zs, (x - zk)(x - )=x2+pkx+qk

кратностей a1,…,ar,b1,…,bs . Тогда дробь P(x)/Q(x) может быть представлена в виде суммы элементарных дробей. В этом представлении каждому сомножителю будет соответствовать сумма дробей вида , а каждому сомножителю будет соответствовать сумма дробей .

Другими словами существуют вещественные числа , такие, что справедлива формула

=+…+++…+ (1.1)

Доказательство. По лемме 1

.

Таким образом, у второго слагаемого кратность корня a1 в знаменателе понижена на единицу и к применяем лемму 1 еще раз. Повторяя эту процедуру нужное число раз, мы получим последнее слагаемое, знаменатель которого не будет иметь своим корнем a1 .

= +.

Точно также поступаем с остальными действительными корнями знаменателя.

=+…++.

У последнего слагаемого знаменатель имеет только комплексные корни и к нему применяется лемма 2. В результате, появляется последняя серия слагаемых, соответствующих комплексным корням.

3.Метод неопределенных коэффициентов

Для нахождения коэффициентов разложения (1.1) выписывают это разложение с неопределенными коэффициентами, приводят правую и левую часть к общему знаменателю. В полученном равенстве для числителей приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x. В результате получают систему уравнений для определения коэффициентов разложения.