Интегральное исчисление и функции многих переменных (стр. 3 )

Пример. ,

,

1 = A(x2+4x+4)+B(x2+x -2)+C (x- 1) откуда ,

A=-B, 3A+C=0, 6A-C=1, A=1/9, B=-1/9, C=-1/3.

4.Вычисление интегралов от элементарных дробей

I. Дроби вида .

для a¹1 и .

II. Дроби вида .

1) b = 1

, где u=x+p/2, a2=q - p2/4. Далее ln ( u2+a2 )+С.

+C.

2) b > 1.

Рассмотрим интегралы вида . Интегрируя по частям, получим

==

==.

Откуда получаем рекуррентное соотношение

, , или окончательно

позволяющее вычислять последовательно интегралы Jn , последующий по предыдущему, .

Пример. Вычислить интеграл . Далее И окончательно получим .

§4 Интегрирование некоторых иррациональностей

1.

Через R(u,v,…,w) здесь обозначается рациональная функция, то есть выражение, которое может быть получено с помощью конечного числа операций сложения и деления над выражениями u,v,…,w и произвольными константами. Отметим, что суперпозиция рациональных функций будет также рациональной функцией. Дифференциал от рациональной функции равен рациональной функции, умноженной на дифференциал независимого переменного.

Пример. Выражение можно представить в виде , где .

Интегралы такого вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью замены , m – общий знаменатель дробей a,…,g (берут наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей).

Пример. Свести интеграл к интегралу от рациональной функции. В этом примере, наименьшее общее кратное m=18 и, следовательно, надо сделать замену , откуда находится . После чего находится . Интеграл такой заменой будет сведен к интегралу от рациональной функции: =.

2.Интегралы вида . Подстановки Эйлера

a) a > 0,

В этом случае ax2+bx+c=ax2+2 xt+t2, откуда –рациональная функция. Таким образом, подинтегральное выражение примет вид

=R1(t) - рациональная функция от t. Кроме того, dx=, где - также некоторая рациональная функция.

b) Корни x1, x2 квадратного трехчлена ax2+bx+c вещественные, тогда .

Если x1 = x2 , то =|x – x1| и иррациональность отсутствует. Если x1 ¹ x2, то полагают и задача сводится к ранее рассмотренной.

. Наличие модуля приводит лишь к тому, что потребуется рассматривать два случая: и .

В случае вещественных корней x1, x2 можно так же сделать замену .

c) c>0

. Тогда ax2+bx+c= x2t2+2 xt+ с, ax+b= xt2 +2t,

- рациональная функция. После замены получим

=R1(t) - рациональная функция от t, dx=R2(t)dt.

Этими тремя подстановками исчерпываются всевозможные случаи. Действительно, если a<0 и c<0 и действительных корней нет, то выражение ax2+bx+c=< 0 для всех x и область определения выражения пуста.

3. Интегрирование дифференциальных биномов m, n, p – рациональные числа.

Сделаем замену x=, xm(a+bxn)pdx=. Таким образом, задача свелась к интегрированию биномов вида. Интегралы можно вычислить в следующих трех случаях:

а) p – целое (a+bt)p tq=R( t, tq ).

б) q – целое (a+bt)p tq=R( t, (a+bt)p ).

в) p+q – целое (a+bt)p tq=

4. Интегрирование некоторых классов трансцендентных функций

a) sin x, cos x ) dx

Универсальная тригонометрическая подстановка , x=2 arctg t,

sin x =, cos x = . Иногда к цели быстрее ведут подстановки t=sin x, t=cos x, .

б) sinmx cosnx dx, m и n – рациональные.

Замена t = sin x ( или t = cos x ), cos x = , dt =dx, тогда

sinmx cosnx dx = . Точно также для областей интегрирования, где .

в) Интегралы видаcos bx dx, sin bx dx, arccos bx dx, ,

arcsin bx dx, arctg bx dx, arcctg bx dx, ln x dx вычисляются методом интегрирования по частям.

5. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции

а) Дифференциальные биномы

(a+bxn)pxm, когда не является целой ни одна из трех дробей p, , +p.

б) Интеграл .

в) Интегралы вида , где - многочлен степени 3, 4 в ряде случаев не выражается через элементарные функции (эллиптические интегралы ). В частности, следующие интегралы не являются элементарными функциями

, , 0<k<1;

или ( после замены )

, .