Основы математического программирования (стр. 2 )

 

u

m – принимаемые решения (управляемые переменные); u – воздействие среды (неуправляемые переменные); y – реакция системы.

В этом случае целевая функция объекта выглядит следующим образом:

Z = Z (x) = Z (m, u)

В данном случае построение целевой функции предполагает наличие математической модели объекта – среды Y = P(m, u)

Следовательно, Z (m, u) = Z (m, u, P(m, u))

Модели оценки. В этом случае на технологические характеристики связей между входами и выходами объекта накладываются укрупненные технологические или экономические характеристики, связывающие его с внешней средой, что позволяет оценить те или иные состояния комплекса объект – орган управления – среда».

C этой целью принято использовать целевые функции управляемого объекта, это некоторая зависимость

Z = Z (m, u)

m – управляемые переменные; u – воздействие среды (неуправляемые переменные).

Модели оптимизации. Предполагают постановку оптимизационной задачи, например, определить такое значение m ϵ M, которое обеспечивает максимум Z = Z (m, u) при известном u.

Множество альтернатив задается ограничениями m ϵ M – допустимых значений управляемых переменных. Иногда известны только пределы изменения неуправляемых переменных u ϵ U.

Классификация по принципам моделирования.

Кибернетические модели. Предполагается более или менее точное знание структуры системы (объекта, процесса).

Оператор Y = P (m, u) представляет собой функцию, систему уравнений (например, дифференциальных).

При различных начальных условиях, внешних воздействиях (управляемых – m, неуправляемых – u) данные модели позволяют получить реакцию Y с целью последующей оценки стратегий или оптимизации управления.

Например, распространенным представлением о производственных процессах является производственная функция Кобба-Дугласа

n Y = AПmi i=1

ai

Частный случай: например

Y = A m1a1 m2a2 m3a3

m1 – трудозатраты; m2 – материалы m3 – капитал (основные фонды).

Показатели ai являются эластичностями факторов

Ai = (ΔY/Y)/ (Δmi/mi)

Обычно ai < 1, что правильно отражает «закон убывающей производительности»

Один из экономистов XVIII в. Сформулировал этот закон следующих образом:

«Один землекоп выроет канаву за 10 час.;

Два землекопа выроют канаву за 5 час.;

Но 1000 землекопов не выроют канаву за 1/100 часа, а скорее разобьют друг другу голову лопатами.»

Статистические модели. Здесь применяется обратный подход – восстановление структуры системы, иногда это называется идентификацией системы.

Обычно статистические модели предполагают наличие объективно обусловленной связи между m и Y, «зашумленной» случайными воздействиями u.

Классификация по критериям оценки.

Модели оценки и оптимизации предполагают использование некоторого критерия оптимальности.

Критерий оптимальности – показатель, выражающий меру экономического эффекта принимаемого решения.

Это мо жжет быть, например, максимум прибыли, минимум трудовых затрат, кратчайшее время достижения цели.

Это важнейший компонент любой экономико-математической модели оптимизации. Чем больше (если нужен максимум) или чем меньше (если нужен минимум) показатель критерия, тем больше удовлетворяет нас решение задачи.

Критерию оптимальности соответствует целевая функция, экстремальное значение которой характеризует предельно допустимую эффективность моделируемого объекта.

Модели с векторным критерием оценки.

Векторный критерий включает в себя множество показателей.

Например, пусть задан некоторый технологический процесс P(m), включающий в себя расход факторов производства: труда, материалов, оборудования и выпуск продукта Y по цене co за единицу.

Здесь факторами являются:

m1 – труд; m2 – материал; m3 – оборудование.

Тогда стоимости единицы факторов, соответственно с1, c2, c3

Возможны следующие целевые функции (или критерии):

G1 = Y – выпуск продукции.

G2 = coY – валовая выручка.

G3 = c1m1 + c2m2 + c3m3 – издержки производства.

G4 = G2 – G3 – валовая прибыль.

G5 = G3/Y – себестоимость.

G6 = Y/m1 – производительность труда в натуральном исчислении.

G7 = Yco/m1 – производительность труда в стоимостном исчислении.

G8 = m1/Y – трудоемкость в натуральном исчислении.

G7 = (G2 – G3)/G1 – рентабельность.

G8 = m2/Y – материалоемкость в натуральном исчислении.

G9 = Y/m3 – фондоотдача в натуральном исчислении.

Модели со скалярным критерием оценки.

Многообразие критериев оценки даже в таком простом случае создает ряд проблем, которые решаются следующим образом:

1. Один из критериев объявляется главным (глобальным), а все остальные используются в качестве ограничений (в этом обычно заключается постановка и решение задачи математического программирования).

2. Решается задача скаляризации векторного критерия.

Это происходит следующим образом:

Имеется вектор критериев

Х = (х1, х2, … , хn)

На основе некоторых соображений (например, экспертных оценок) строится вектор весов

W = (w1, w2, … , wn)

Затем осуществляется приведение вектора критериев к скалярному значению Z.

Аддитивная свертка Z =	n
∑	xiwi
i=1
Мультипликативная свертка Z =	n
∏	xiwi
i=1

Классификация по условиям принятия решений.

Эти разновидности – принятие решений в условиях определенности, риска, конфликта, неопределенности.

Условия определенности.

Известна целевая функция Z = Z (m, u), и u – фиксирована.

Условия риска.

Известна целевая функция Z = Z (m, u), а внешние неуправляемые переменные (u ϵ u) являются случайными величинами.

Условия конфликта.

Известна целевая функция Z = Z (m, u), и (u ϵ u) - выход враждебно настроенной системы (например, игровая модель).

Условия неопределенности.

Целевая функция Z = Z (m, u) неточно известна или не полностью построена, либо нет информации об U.

Классификация по уровням или функциям управления.

Принято выделять следующие уровни управления:

· Целеобразование (целеполагание) – определение цели системы (формально целевой функции и ограничений)

· Организация – структурообразование, построение такой структуры системы, которая наилучшим образом удовлетворяет поставленным целям.

· Планирование – определение желаемого состояния системы и путей его достижения.

· Контроль – анализ отклонений реального протекания процесса от плановых характеристик.

Классификация по управляемости.

Централизованное и децентрализованное управление.

Классификация по фактору времени.

Статические модели – предполагается, что переменные ее состояния на изучаемом отрезке времени остаются неизменными.

Динамические модели - изменяются во времени.

Классификация по степени абстрактности моделей.

Аналитические модели. Представляют собой математические соотношения, предполагающие аналитический метод решения, поиски максимума. Для исследования аналитических моделей достаточно ручки и бумаги.

Вычислительные модели. Предполагают использование вычислительных средств для решения аналитических моделей высокой размерности или с использованием функций, которые удобнее представлять в табличной форме. В данном случае чаще используют численные методы (интегрирования дифференциальных уравнений, поиска экстремумов и пр.)

Имитационные модели. Это реализация наиболее сложных и громоздких алгоритмов описания сложных систем, включающих случайные процессы, дифференциальные, интегральные и рекурсивные уравнения. Фактически это экспериментальный метод изучения объекта с помощью ЭВМ. Процесс имитации заключается в следующем: сначала строится математическая модель изучаемого объекта, затем эта модель преобразуется в программу для ЭВМ., вводятся необходимые данные и ведется наблюдение за тем, как изменяются интересующие показатели.

Имитация применяется в тех случаях, когда модель слишком сложна, чтобы можно было использовать обычные аналитические методы.

Для многих проблем экономики имитация неизбежна, особенно если процессы имеют нелинейный характер и осложнены разного рода вероятностными характеристиками.

Классификация по виду используемых функций.

Линейные модели. Это тип моделей, в основе которых лежат линейные зависимости, связывающие вход системы с выходом или целевую функцию с выходными данными.

m

Z = ∑yibi

i=1

Следует отметить, что линейные зависимости часто встречаются в реальности (Закон Ома U = IR второй закон Ньютона А = ma).

Нелинейные модели. В данном типе моделей учитываются действительные нелинейные связи между факторами или используются методы аппроксимации линейных зависимостей).

Классификация по дискретности.

Дискретные модели. Все элементы такой системы дискретны.

Непрерывные модели.

Деление систем на непрерывные и дискретные во многом произвольно, зависит от цели и глубины исследования. Часто непрерывные системы приводятся к дискретным с помощью введения различных шкал, балльных оценок и пр.

Классификация по степени учета вероятностных факторов.

Детерминированные модели. В данном случае либо известны все функциональные зависимости, либо неизвестными влияниями можно пренебречь без особой потери точности результатов.

Вероятностные (стохастические) модели. Модели, в которых параметры, условия функционирования и характеристики состояния представляются случайными величинами.

.

1.3. Элементы теории принятия решений

Рассмотри еще один аспект классификации математических методов – элементы теории принятия решений.

В данном случае будем говорить о принятии решений при управлении, как способа разрешения проблемной ситуации.

___________________________________________________________________

Проблемная ситуация предполагает наличие:

· цели;

· ресурсов;

· альтернатив (способов действий);

· свойств окружающей среды.

Проблемная ситуация предполагает неудовлетворенность лица, принимающего решение, и необходимость действий для устранения проблемы.

Для описания проблемной ситуации можно использовать целевую функцию управляемого объекта. Это может быть функция

Z = Z(x) = Z{m, u}

где х – переменные, влияющие на Z, причем x = (m, u)

где m – управляемые переменные, u – неуправляемые (т. е. действия внешней среды).

Множество альтернатив задается ограничениями:

x ϵ X, X ={M, U}

где m ϵ M – множество допустимых значений управляемых переменных;

u ϵ U – пределы изменения неуправляемых переменных.

Целью в данном случае обычно является оптимизация (максимизация или минимизация) Z по m ϵ M

Например,

max Z (m, u)

m ϵ M

Классификацию решений, как мы уже отмечали ранее можно провести по ситуации выбора: условия определенности, условия риска, условия конфликта, условия неопределенности.

Пример.

Пусть некоторая организация покупает единицу товара по 10 руб., упаковывает и продает по 20 руб.

Тогда в зависимости от стратегии закупки (mi) и состояния внешней среды (спрос ui), которые (предположим) имеют следующие допустимые значения:

M = <m1, m2, m3> = <100, 200, 300>

U = <u1, u2, u3, u4> = <0, 1, 300>

Необходимо выбрать стратегию закупки для максимизации прибыли.

Заполним следующую таблицу.

	ui	Принятие решений в условиях
u1	u2	u3	u4	Определенности, риска, конфликта	Неопределенности
0	100	200	300	А	Б	В	Г	Д	Е	Ж
mi	m1	100	-1000	1000	1000	1000	1000	1000	-1000*	1000	-1000*	1000	400
m2	200	-2000	0	2000	2000	2000*	1400*	-2000	2000	-2000	2000	800
m3	300	-3000	-1000	1000	3000	1000	800	-3000	3000*	-3000	3000*	1200*

В темных клетках вычисляются значения Yij =(mi, uj). Этот элемент показывает, какова будет прибыль организации, если закупки составляют mi, а спрос uj.

Yij = min <mi, uj>*20 – mi*10

Рассмотрим различные варианты принятия решений:

1. Условия определенности.

Пусть известна u = u3 = 200. Тогда очевидно, что оптимальным решением является

m* = m2 = 200

Метод решения здесь простой – простой перебор альтернатив.

2. Условия риска.

Здесь внешние неуправляемые переменные (u ϵ U) являются случайными величинами с известными законами распределения.

Предположим, что известно P(u1) = 0, P(u2) = 0,3. P(u3) = 0,5, P(u4) = 0,2.

4

Z(mi) = ∑yijP(uj)

j= 1

Z(m1) = -1000*0 + 1000*0,3 + 1000*0,5 + 1000*0,2 = 1000